D-1,+a0sina④，+△)e-gco.. (6) 即i。-1,sin'ap3+gco3ax+(di)-2l。sin'ap,△中 -l,sin'a·△p2-△lain'api-2△1gin'ap,△中 -△lsin2a·△p2=0. (7) 前三项为零，又△1，△中是微量，舍去二阶及更高级微量， 于是(7)式变为 (△i)-21 sin*a。△p-△lBin*cap=0.（8) 因关于垂直轴力矩为零，对该轴的动量矩守恒，于是 mulsina=ml2sin2cap=及（恒量） 12p=mina· (9) 以1=1。+△1，中=中。十△中代入(9)式，并舍去高阶 微量，得 1中。+1行△中+21。△1中。= msin o 而10。=msa放有1仔△中+21，△1，=0，或 1。△中+2△1中。=0 (10) 由（8)、(10)两式消去△p得： (△l)+(38 in'ap)△1=0 (11) (11)式中(3sin*a中)为不为零的正常量，故(10)式 为谐振动，即质点的圆周轨道运动是稳定的。（杨德田） 1027(MIT,1979) 质量分别为m1,m:,m,的三个粒子由引力相互作用。 25
(a)写下各质点的运动方程， (b)此系统保持各对质点间定值且相等的距离，并可以 在平面内转动。当各质点间距离为时，确定转动角频串。 (c)当m,>m,m,之m,时，求质点m,对于平衡位置 的运动稳定性条件，只考虑轨道平面内的运动。 解：取质心c为坐标系原点，m1,m,m,的位矢为r1, r,r,如图1.16所示。r1=T1-r,（i,i=1,2,3). (a)第i个质点的运动方程为： 宫 即启贤《=1,2刘 (1) (b)因系统中r1=d,则方程（1)改写为 -9会m-W 3 [-启mr+启mr小 图1.16 [-会m-, +宫ar小 =-9宫m… 即 ,=- (2) 26
其中M=m+m,+m,此式说明每个质点所受的力，方向 指向质心，是一个三维简谐力，转动角频率为： =GMId (c)当m,很小时，m1,m:分别绕质心运动，其运动 方程为 1=GmL IuL i,i=1,2,且+i r1t:1 =-Gm1?, -0影-6 T13 转动角频率为： w.=G(m:+m,) Y程： 选取以质心为原点，以ω，为转动角速度的转动参照 系，写出质点m,的运动方程： =7+9得r+o7,-2m,ax, 当m,处于稳定位置时，必有，.又若m,处在稳定位置处 静止时，则r,应满足如下关系： 祭-+祭，-w+ar=0, T. 即 -c(贤+器》+c(-）+w,=0. 其中利用了m1之m,m,分m,所得的关系mr,=一m,r: 稳定位置r,所满足的关系，说明m,所处稳定位置必在m1,m:
的联线上。 假设m,在m1,m:联线上有一平衡位置的小位移，将 产生离开平衡位置的合力，不再回到稳定位置，所以这种偏 离将是不稳定的，若在垂直于m1,·m,联线方向有一平衡位 置的横向小位移，将产生恢复到平衡位置的合力（ωr,一项 因横向偏离很小，几乎不变)，所以这种偏离将是稳定的. 这里考虑到横向小偏离，r,几乎不变，恢复过程中，也很 小，所以这里一2m,0×+,可略. (王琛) 1028(Chi,1980) 一个光滑球安放在水平面上，一个点粒子无摩擦地从球 的最高点开始沿球滑下。令球半径为R。描述粒子落到平面 爸前的路径（图1.17） 解：利用能盘守恒 acoa6). 粒子受到球的径向力 图1.17 P-grw0-罗 当F=0时，约束解除，粒子离开球面。得到 ∫w2/R=gco80. la2=2gR(1-co30) 即 co30=2/3,0=48.2°. v=√2gR/3. 粒子沿球面运动至0=48.2°时离开球面，作以抛物角 为8,2，初速度为，√仔R斜下抛运动，这-段是弛物线
直至落到地面。 (邓悠平) 1029(MIT,1982) 在磁单极场中的点电荷 质量为m,带电量为©的点电荷，在强度为g的磁单极 子场中运动（磁单极子位于原点）·其运动方程为 mi=-gexT, 磁单极子可以看成无限重， (a)证明动能T=之m()'是运动常数。 (b)证明J=L+平也是运动常数，这里L=mr×. (c)利用(b)证明这个带电粒子在一个张角为5的直 立圆维表面上运动，（满足条件c05=乳，于是它的对 称轴，见图1.18（提示：考虑r·J) 定义一个新变量R: R品e7xok si西Er、 1 -j(r·)], 其中j=J/1J],R位于垂直于了的平 面内，R!=R={r{,所以R可以用旋 图1.18 转”到图示平面内得到，可以利用关系 式mR×=J, (d)找出R的运动方程. (e)用求有效势V.1(R)的方法解(d)的运动方程， 29