李雅普诺夫意义下的稳定性一范数（1/2）1)范数口范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离对n维空间中任意两点x，和x，它们之间距离的范数记为Ix1-x2ll.由于所需要度量的空间和度量的意义的不同相应有各种具体范数的定义在工程中常用的是2-范数，即欧几里德范数，其定义式为/Z(x1; - x2, )2x-xll=其中x和x2分别为向量x和x的各分量
李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(1/2) 1) 范数 ❑ 范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离. ➢ 对n维空间中任意两点x1和x2 ,它们之间距离的范数记为 ||x1 -x2 ||. ➢ 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种 具体范数的定义. ➢ 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为 2 1 2 1, 2, 1 ( ) n i i i x x = x x − = − 其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量
李雅普诺夫意义下的稳定性一范数（2/2)常用的n为维空间中的其它范数有x - x2ll = 2x, -X2,i1-范数[x, -x2 l = max 1, -X2.;80-范数
李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(2/2) ➢ 常用的n为维空间中的其它范数有: 1-范数 -范数 1 2 1, 2, 1 1 n i i i x x = x x − = − 1 2 1, 2, max i i i x x x x − = −
李雅普诺夫意义下的稳定性-球域（1/12）球域口以n维空间中的点x为中心在所定义的范数度量意义下的长度8为半径内的各点所组成空间体称为球域，记为S(x）即S(xe）包含满足x-x<的n维空间中的各点xxYX1Xi2范数下球域1范数下球域8范数下球域
李雅普诺夫意义下的稳定性-球域(1/1) x2 x1 xe 范数下球域 x1 2) 球域 ❑ 以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长 度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe ,), ➢ 即S(xe ,)包含满足||x-xe ||的n维空间中的各点x. x2 x1 xe 2范数下球域 x1 x2 x1 xe 1范数下球域 x1
李雅普诺夫意义下的稳定性一稳定性定义（1/4）3）李雅普诺夫稳定性定义X2口基于上述数学定义和符号.我们有如下李雅普诺夫意义下稳定性的定义EX1x(0) x(0)图5-1
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(1/4) 3) 李雅普诺夫稳定性定义 ❑ 基于上述数学定义和符号,我们有如下 李雅普诺夫意义下稳定性的定义. x2 x1 x(0) x(0) 图5-1
李雅普诺夫意义下的稳定性一稳定性定义（2/4）X2口定义5-2（李雅普诺夫稳定性）若状态方程x'=f(x,t)所描述的系统X1X(0) x(0)对于任意的>0和任意初始时刻to都对应存在一个实数8(s,to）>0使得对于任意位于平衡态x的球域S(xe,)的初始状态xo当从此初始状态xo出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,8)内,则称系统的平衡态x是李雅普诺夫意义下稳定的
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(2/4) ❑ 定义5-2(李雅普诺夫稳定性) 若状态方程 x ’ =f(x,t) 所描述的系统, ➢ 对于任意的>0和任意初始时刻t0 , ➢ 都对应存在一个实数(,t0 )>0, ➢ 使得对于任意位于平衡态xe的球域 S(xe ,)的初始状态x0 , x2 x1 x(0) x(0) ➢ 当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域 S(xe ,)内, 则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的