平衡态(3/4)口李雅普诺夫稳定性研究的平衡X2态附近（邻域）的运动变化问题若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态，则称该X1平衡态是渐近稳定的不稳定渐近稳定平衡态平衡态若发散掉则称为不稳定的若能维持在平衡态附近某稳定平衡态个邻域内运动变化则称为稳定的，如上图所示
平衡态(3/4) ❑ 李雅普诺夫稳定性研究的平衡 态附近 (邻域 )的运动变化问题 . ➢ 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后 都趋于该平衡态 ,则称该 平衡态是渐近稳定的 ; ➢ 若发散掉则称为不稳定的 , 若能维持在平衡态附近某 个邻域内运动变化则称为 稳定的 ,如上图所示 . xe xe xe 稳定 平衡态 不稳定 平衡态 渐近稳定 平衡态 x2 x1
平衡态(4/4)口显然，对于线性定常系统x'=Ax的平衡态x是满足下述方程的解Ax=0当矩阵A为非奇异时线性系统只有一个孤立的平衡态x。=0而当A为奇异时，则存在无限多个平衡态.且这些平衡态不为孤立平衡态，而构成状态空间中的一个子空间>对于非线性系统，通常可有一个或几个孤立平衡态，它们分别为对应于式f(x,t)=0的常值解
平衡态(4/4) ❑ 显然,对于线性定常系统 x ’ =Ax 的平衡态xe是满足下述方程的解. Axe=0 ❑ 当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0; ➢ 而当A为奇异时,则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不 为孤立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间. ➢ 对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态,它们分 别为对应于式f(x,t)0的常值解
平衡态(5/4)口例如对于非线性系统[x = -xix =xi +x2-x2其平衡态为下列代数方程组[-x = 0[X +X2- = 0的解，即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态000Xe,310-1
平衡态(5/4) ❑ 例如,对于非线性系统 = + − = − 3 2 1 2 2 1 1 x x x x x x 其平衡态为下列代数方程组 + − = − = 0 0 3 1 2 2 1 x x x x 的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态. − = = = 1 0 1 0 0 0 xe,1 xe,2 xe,3
平衡态(6/4)口对于孤立平衡态总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的原点>因此，不失一般性为了便于分析，我们常把平衡态取为状态空间的原点值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局部性特点因此在讨论稳定性时，通常还要确定平衡态的稳定邻域(区域）
平衡态(6/4) ❑ 对于孤立平衡态,总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的 原点. ➢ 因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状 态空间的原点. ❑ 值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局 部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻 域(区域)
李雅普诺夫意义下的稳定性(1/1）5.1.2李雅普诺夫意义下的稳定性口在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前我们先引入如下几个数学名词和符号：范数球域然后介绍李雅普诺夫意义下的稳定性的定义
李雅普诺夫意义下的稳定性(1/1) 5.1.2 李雅普诺夫意义下的稳定性 ❑ 在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数 学名词和符号： ➢ 范数 ➢ 球域 然后介绍 ➢ 李雅普诺夫意义下的稳定性的定义