李雅普诺夫意义下的稳定性一稳定性定义（3/4）X2即逻辑关系式V>0Vto3>0VoES(xe,8)VtZ tox(t)ES(xe,8)X1X(0) x(0)为真，则x是李雅普诺夫意义下稳定的>若实数(s,to)与初始时刻t无关，即逻辑关系式V>0 38>0 Vto VxoES(xe,o) Vt≥ to x(t)eS(xe,8)为真，则称稳定的平衡态x是李雅普诺夫意义下一致稳定的对于定常系统来说，上述定义中的实数8(s.to）与初始时刻to必定无关，故其稳定性与一致稳定性两者等价但对于时变系统来说，则这两者的意义很可能不同
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(3/4) ✓ 即逻辑关系式 >0 t0 >0 x0S(xe ,) t t0 x(t)S(xe ,) 为真,则xe是李雅普诺夫意义下稳定的. ➢ 若实数(,t0 )与初始时刻t0无关,即逻 辑关系式 x2 x1 x(0) x(0) >0 >0 t0 x0S(xe ,) t t0 x(t)S(xe ,) 为真,则称稳定的平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致稳定的. ❑ 对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0 )与初始时刻t0必定 无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价. ➢ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同
李雅普诺夫意义下的稳定性一稳定性定义（4/4)x口上述定义说明，对应于平衡态x。的每一个球域S(xe,),g一定存在一个有限的球域S(x,8)X1使得t时刻从S(x）出发的系统x(0) x(0)状态轨线总不离开S(xe)则系统在初始时刻t的平衡态x。为在李雅普诺夫意义下稳定的以二维状态空间为例，上述定义的几何解释和状态轨线变化如图5-1所示
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(4/4) ❑ 上述定义说明,对应于平衡态xe的每一个 球域S(xe ,), ✓ 一定存在一个有限的球域S(xe ,), 使得t0时刻从S(xe ,)出发的系统 状态轨线总不离开S(xe ,), ✓ 则系统在初始时刻t0的平衡态xe 为在李雅普诺夫意义下稳定的. x2 x1 x(0) x(0) ➢ 以二维状态空间为例,上述定义的几何解释和状态轨线变 化如图5-1所示
李雅普诺夫意义下的稳定性一稳定性定义5/4)口对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明：李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(x.)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(5/4) ❑ 对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明： ➢ 李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状 态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。 ➢ 系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要 不超过S(xe ,)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理 论则认为不稳定
渐近稳定性（1/3）一渐近稳定性定义5.1.3渐近稳定性口上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在该平衡态附近的某个有限的球域内.并未强调系统的最终状态稳定于何处下面我们给出强调系统最终状态稳定性的李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定性定义
渐近稳定性(1/3)—渐近稳定性定义 5.1.3 渐近稳定性 ❑ 上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在 该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态 稳定于何处. ➢ 下面我们给出强调系统最终状态稳定性的李雅普诺夫意 义下的一致渐近稳定性定义
渐近稳定性（2/3）一渐近稳定性定义X口定义5-3（李雅普诺夫渐近稳定性）若状态方程x'-f(x,t)所描述的系统在初始时刻to的平衡态xX1x(0)是李雅普诺夫意义下稳定的且系统状态最终趋近于系统的平衡态x即Lim,→ x(t)=Xe图5-2则称平衡态x。是李雅普诺夫意义下渐近稳定的若(c,to）与初始时刻t无关，则称平衡态x是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的
渐近稳定性(2/3)—渐近稳定性定义 ❑ 定义5-3(李雅普诺夫渐近稳定性) 若 状态方程 x ’ =f(x,t) 所描述的系统在初始时刻t0的平衡态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的,且系统 状态最终趋近于系统的平衡态xe ,即 Limt→ x(t)=xe x2 x1 x(0) 则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的. ➢ 若(,t0 )与初始时刻t0无关,则称平衡态xe是李雅普诺夫意 义下一致渐近稳定的. 图5-2