由出f在[a.矿上可积现故有[Tf(on) - Tf(0) I / (n)n(a)da - /~ f(a)0(n)dr /≤ /I f(a) Il n(r) - (r) [ dr1 f(r) / damala<r≤b / n(a) - 0(r) / 0, (n → 00)。这说明T，的确是D上的甚义使数。不了析实变使数的人不妨将上例中的积分理析为Riemann积分现至出熟“实变使数的人现我们不妨多说谈句。个师将例1中的积分理析为Lebesgue积分现并放将谈乎处处相等的最也可积使数不通区言现但上述至称关系f→TED'是一至一的。事实上现若有Rl上的最也可积使数f函展Tf()=0 VpD,但可以定明f(a)=0,a.e.。为此现只需定明于在任意有限区推[a,可]上谈乎处处为零。记sgnf(r),e[a,b],g(z) =0.r$[a,b]。但gEL'(Rl)，由Weierstrass定理可知存在D中的使数列(gn)现函展|9m≤1,n=1,2,放Il gn - g llL(RI)→ 0,n-→8。由Lebesgue控制收敛定理有[° I f(a) [ dar=f(a)g(a)daf(r)g(r)dc=limnf(r)gn(r)d = 0可见f()在[a,b]上谈乎处处为零。总都现起如最也可积使数之至称一如甚义使数。6
BG f U [a,b] " T &C | Tf (ϕn) − Tf (ϕ) | =| Z b a f(x)ϕn(x)dx − Z b a f(x)ϕ(x)dx | ≤ Z b a | f(x) || ϕn(x) − ϕ(x) | dx ≤ Z b a | f(x) | dxmaxa≤x≤b | ϕn(x) − ϕ(x) |→ 0,(n → ∞) dN[ Tf _; D "_-95L -?~4&5L_-p"6x_T2~t Riemann T sGG4&5L_ zU-tN[0p 6 1 x_T2~t Lebesgue T *p[CKK `_ / T5L-e) Y"Js=) f → Tf ∈ D′ ;1s1 _:4" C R1 "_/ T5L f 5^ Tf (ϕ) = 0 ∀ϕD, Y 5j[ f(x) = 0,a.e. tM q j[ f U7C i [a,b] "[CKKtB_ g(x) = sgnf(x), x ∈ [a,b], 0, x /∈ [a,b] Y g ∈ L 1 (R1 ), B Weierstrass j2 lRU D x_5L {gn} 5^ | gn |≤ 1,n = 1, 2, · · · , k gn − g kL1(R1)→ 0, n → ∞ B Lebesgue &vA;j2C Z b a | f(x) | dx = Z b a f(x)g(x)dx = Z +∞ −∞ f(x)g(x)dx = limn Z +∞ −∞ f(x)gn(x)dx = 0 l f(x) U [a,b] "[CKKtB m S/ T5L ms=1-95L 6
有一个广义函数在广义函数理论谓占有得殊的地位，这就常下即定义的Dirac函数：定义5（Dirac函数）记() = p(0), V E D,不难证明s常线性的，而且当n→Φ，有[n(0) -(0) / 0,故[8(on) - 8() 1=/ n(0) - (0) /→ 0。于常常D上的广义函数，称为Dirac函数。从上即的例子可使看出，广义函数的确大大扩充了函数的范围，那么，我们能不能对这些函数（导数呢？或者次，如何定义当们的导数呢？本节的开始给了我们一我的示，当的示我们按如下方式定义广义函数的导数。定义6对包意fED(R'),定义D上的广义函数f为：f'(p)=-f(p), VpED其谓()常g()的经典意义下的导数。称f为f的导数。按照定义6，Dirac函数的导数常什么呢？由Dirac函数的定义外8（）=-(）=-(O)。我们也可使（出Heaviside函数的导数，事实上，由于Y常局部可积函数，故对包意ED,有Y'() = -Y(0)/~Y(r)'(r)da-0(r)dcI= (0) = 8()。这就常次，Heaviside函数的导数恰好常Dirac函数。由广义函数导数定义不难看出，广义函数的包意阶导数都常存在的，并且其各阶导数仍然常一个广义函数。正如微积分7
C1-95LU-95L2Mx_C^E_ w dÆ ;Yj9_ Dirac 5L 'y 5 Dirac 1℄_ δ(ϕ) = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D, - j[ δ ; _ uZ ϕn → ϕ C | ϕn(0) − ϕ(0) |→ 0, & | δ(ϕn) − δ(ϕ) | =| ϕn(0) − ϕ(0) |→ 0 G; δ ; D "_-95L =t Dirac 1℄ O"Y_6 5 G -95L_TT+C?5L_ }r `Q zUf-fsd5L[Ld R N = j9ZU_[Ld |_6 ?zU1z_8 Z_8 zUÆ7j9-95L_[L 'y 6 s7 f ∈ D′ (R1 ), j9 D "_-95L f ′ t f ′ (ϕ) = −f(ϕ ′ ), ∀ϕ ∈ D yx ϕ ′ (x) ; ϕ(x) _ f79_[L= f ′ t f _ !℄ Æbj9 6 Dirac 5L_[L;3Qd B Dirac 5L_ j9l δ ′ (ϕ) = −δ(ϕ ′ ) = −ϕ ′ (0) zU/ 5G Heaviside 5L _[L :4" BG Y ;/ T5L &s7 ϕ ∈ D, C Y ′ (ϕ) = −Y (ϕ ′ ) = − Z +∞ −∞ Y (x)ϕ ′ (x)dx = − Z +∞ 0 ϕ ′ (x)dx = ϕ(0) = δ(ϕ) dÆ;N Heaviside 5L_[L~9; Dirac 5L B-95L[Lj9- G -95L_7z[Lm ;RU_ *yz[L;1-95LiqT 7
中是考处的等样，有时我在从要了泛一个以数可列的在子是一个什么样的以数。换新话说，不义以数可列们展引意义下的在子是否处是一个不义以数赋如果基案是学定的，等么，般可列对应的各阶儿数可列是否也收因到在子以数的各阶几数赋下则应个定理此基了这些问题。定理1设(fn)m=CD(Rl)，使对与意ED，在子limnfn(）总或们，则或们fED(RI)，使得limnfn(O) = f(P), VpED定理2设(fn)m=1CD(RI),f ED(R'),使对与意ED,有limnfn(0)=f(0)。则对与意自数数k，limnf(k)(0)=f(h)(p),VpED。定理2的证明是容例的，直接以用几数的定义可得f(k)(p)=(-1)*f(p(k),V E D。零此广难得到定理2的证明。定理1的证明要麻烦一些，从要以用归纳在子定义D上的拓制，具体地说，想是取RI的悉子代，并又Dk =(EDI suppp CK)。则D是Dk的归纳在子夫直观地需，我在有D=UkDk区从而可以将问题转换到Dk上不讨此夫有兴趣者可以函考[1]区存许有学会问，如果们现典微大系意义下是一个可几以数，它的几数与不义几数是否一致这赋零于直线上的与意连续以数都是向部可大以数，零系部大系必式及不义儿数的定义广难验证当于是直线上按现典意义可几的以数时，其现典几数与不义几数恰义一样夫可函知[2]区应般指熟的是，不义以数的几数广仅积积扩数了可几以数的结围，而且使得求几运算工之现典微大系要灵丛得为，这一点从上则的讨此意知。我在也可以将定义3中的直线换成n维知氏空间Rn中的性代2，也似定义以数空间D(2)=C°(2)。数由们D(2)上也似定义收因概定如下：8
x; K_`- C2zU .?~15L _U ; 13Q-_5LLHN -95L U^z79 _U ;K;1-95L 0S;$j_ `Q s=_z[L ;/A;\U 5L_z[ L Y=j2MS?dy` 'C 1 ) {fn}∞ n=1 ⊂ D′ (R1 ), 5s7 ϕ ∈ D, U limnfn(ϕ) RU YRU f ∈ D′ (R1 ), 5^ limnfn(ϕ) = f(ϕ), ∀ϕ ∈ D 'C 2 ) {fn}∞ n=1 ⊂ D′ (R1 ),f ∈ D′ (R1 ), 5s7 ϕ ∈ D, C limnfn(ϕ) = f(ϕ) Ys7 L k, limnf (k) n (ϕ) = f (k) (ϕ), ∀ϕ ∈ D j2 2 _j[;6_ ny5A[L_j9 ^ f (k) (ϕ) = (−1)k f(ϕ (k) ), ∀ϕ ∈ D BM- ^\j2 2 _j[j2 1 _j[.N{1 . 5A/aU j9 D "_jv a N Æ; R1 _ V *F DK = {ϕ ∈ D | suppϕ ⊂ K} Y D ; DK _/aU n* zUC D = ∪KDK O u 5py`L\ DK "-\MC 55 [1] R CNy 0 f U fqT79;1 [5 L Z_[LI-9[L;1td BGn "_7: !5Lm;/ T5L B/T!7W-9[L_j 9- ,jZ f ;n "Æ f79 [_5L2 y f [LI-9[L~91- 5l [2] =pG_; -9 5L_[L-TT+^? [5L_}r u5^[ RT m fqT.CP^t d1eO"Y_\M7l zU/ 5pj9 3 x_n L> n ul>%i Rn x_ V Ω /Pj95L%i D(Ω) = C∞ 0 (Ω) BU D(Ω) "/ Pj9A;j 8
定问7设(pn)CD(2)，ΦED(2)，个果(n)满曹：夫1区或们2中的紧集K，以得supp(pn)CK，n=1,2,·;夫2区对任立正整换大α=（α1,α2…an），都有[0n)们2辟一致收敛到%。其中8°=8°1228"表示的1=Q1+Q2+…+0引混合偏几换。面何(n）们D中收敛到，记数n→。定问8夫广问函数区设D(2)个定联7，T常D(2)到复平面c的了射，满曹：(1)夫线开区对任立Q,βEC,,ED(2)，有T(ap+Bb)=aT+βT,(2)夫连续开区对D(2)中任立可列(on)，需m→，面Ton-→To。面何T为D(2)辟的广问函数，记数TED(2庆运TED(2)区阶们还可以定联样联偏几换个下：定问9对任立fED(2),定联D(2)辟的样联以换a;f为：O,f() =-f(op), i= 1,2,...,n, VpED。其中ai(a)常(a)的经典立联下的偏几换。何af为f的似导数。们辟述定联之下，但有类丛R1系形的结论都常正确的，这里广再赞述。样联以换与样联几换到底能从阶们带来什么义还呢赋一个样为人们出悉的解只分方程的是用由段常对方程数Fourier变换，从而指只分方程变成代换方程，但按点是的以换论，能科Fourier变换的以换受到了积限扑。关之原因们流积分Jrm P(r)erp(-2ria ·E)de可能广或们。例个，对p>1,LP(Rn）中的以换就广能科Fourier变换。个应克服这一困难呢赋样联以换为阶们解决了这个接等。为了扩充Fourier变换的结围，有先需要对起更以换空间数适当的扩充，则引转但中的急降以换，以这具以换全体数为9
'y 7 ) {ϕn} ⊂ D(Ω) ϕ ∈ D(Ω) 0 {ϕn} P 1 RU Ω x_V K 5^ supp(ϕn) ⊂ K, n = 1, 2, · · ·; 2 s7ihLÆ α = (α1,α2, · · · ,αn) mC {∂ αϕn} U Ω "1tA;\ ∂ αϕ yx ∂ αϕ = ∂ α1 ∂ α2 · · · ∂ αn ϕ (8 ϕ _ | α |= α1 + α2 + · · · + αn zO> r[LY= {ϕn} U D xA;\ ϕ _ ϕn → ϕ 'y 8 0y1℄) D(Ω) j9 7 T ; D(Ω) \ s Y C _?& P (1) s7 α,β ∈ C, ϕ,ψ ∈ D(Ω) C T(αϕ + βψ) = αTϕ + βTψ, (2):!s D(Ω) x7 {ϕn} ϕn → ϕ Y Tϕn → Tϕ Y= T t D(Ω) "_ 0y1℄ _ T ∈ D′ (Ω)R T ∈ D′ (Ω) zUK 5j9-9r[L 'y 9 s7 f ∈ D′ (Ω), j9 D(Ω) "_-95L ∂if t ∂if(ϕ) = −f(∂iϕ), i = 1, 2, · · · ,n, ∀ϕ ∈ D yx ∂iϕ(x) ; ϕ(x) _ f79_r[L= ∂if t f _ P! ℄ U"Jj9m YC/P R1 _}Mm;i_ d4-TJ -95LI-9[L\bf zUU-3Q9Kd 1 -tUG_~q_;ABq;s Fourier &L Oupq&>VL YÆe;_5LM f Fourier &L_5LD\?T v)mN;UGT Z Rn ϕ(x)exp(−2πix · ξ)dx f-RU6 s p > 1, L p (Rn ) x_5LÆ-f Fourier &L=! d1) d -95LtzU~?dy `t?+C Fourier &L_}r C .sS 5L%i <Z_+C Y<Yx_Xs5L 5d5L at 9
基本函换空间，些后类似定义问导的广义函换及问导换。可以定谈，则灵的LP(Rn）（p>1）都敛该基本函换空间导的广义函换，从而可以定义问Fourier射数。分一步可以定谈Fourie射数将求导存积射成乘中存积（限于微区及本等的主说，详细通容不在此处叙述，灵兴线难可以以考[3])。使用这一混想，可以人助引们确定一具微分方程的基本解（以见[4])。84导子个果说以导两节关于导换概拓的间广为少与引们于悉的函换沾点边，题苏本节要妨绍的导换概拓的间广则与函换几充毫不相人了，这就敛导取。它福早出现在李代换中，问基本混想敛，将微积分中两个可导函换乘积的求导中则抽象出甚，用它甚定义一般代换导的导取。然体地说，典关A敛某个处导的代换，D敛A到趣身的线性了控满曹D(ry) =(Dr)y +r(Dy),Va,y EA,则称D敛A导的一个导子。对于任意的代换A，在它导所都存在曹够为的导取（话非它敛为数的），例个，对任意rEDDr(y)=ry-ya定义了A导的一个导取，这不的导取通常称致说导子。定问10处K导的非是什代数u指的敛K导满曹下列这件的一个向量空间限对任意a,yEu,相应地灵一个乘积ayeu，它满曹双线性这件(1)(i+a2)y=aiy +2y,r(yi+y2) =ryi +ry2(2)a(ry) = (ar)y = r(ay),当些，引们也可以定义然灵单言此起1的为数环K导的非结成代换，问方中之复类似导述定义。但这实主要考束处导的代换。定问11个果非结成代换u中的乘中满曹结成数(3)(ry)z=r(yz),10
S 5L%i B/Pj9y"_-95LWy[L 5j[ YC_ L p (Rn ) p > 1 m;S 5L%i"_- 95L Ou 5j9y Fourier &L1. 5j[ Fourier &Lp[RT&>?xRT GqW `_` e-UMK J C 55 [3] 5Ad1OÆ 5zUj1q_S ~5l [4] §4 ! 0N5"=|)G[Lj_i-t$IzUG_ 5L℄e$ `Q |.%_[Lj_i-YI5L[ C8- ? dÆ;[ ZVG U3VLx yS OÆ; pqTx= [5L?T_[xYEG - AZ-j91VL"_[ a N f) A ;^ K"_VL D ; A \ *_ ?&P D(xy) = (Dx)y + x(Dy), ∀x,y ∈ A, Y= D ; A "_1 ! sG7_VL A UZ"Ym RU %t_[ HZ;tL_ 6 s7 x ∈ D, Dx(y) = xy − yx j9? A "_1[ d-_[ e;=t N! 'y 10 K K "_ +;3 ℄U p_; K "P dn _1>%i s7 x,y ∈ U, = C1?T xy ∈ U ZP M dn (x1 + x2)y = x1y + x2y, x(y1 + y2) = xy1 + xy2 (1) α(xy) = (αx)y = x(αy), (2) Z zU/ 5j9CXwMS 1 _tLI K "_} >VL yxm /P"Jj9Yd4. KK"_V L 'y 11 0}>VL U x_?xP }>L (xy)z = x(yz), (3) 10