§2不定积分的计算 不定积分的计算(1) 教学内容:第一换元积分法(凑公式法)分部积分法 要求:掌握凑公式法的技巧和方法 掌握分部积分中,"的选取原则和技巧 难点:分部积分中,的选取原则和技巧 不定积分的计算一般由三种方法: 1)凑公式法 2)部积分法 2)第二变量替换法 今天讲前两种方法: 第一类换元法一一凑公式法 d sin2x= 5sin +2xd sin 2x 2x(sin 2x)dx =10sn·2xcos2xax 10sin 2xcos 2xdx 2x(sin 2x)'dx sin 42xd sin 2x udu=u'5 tc 引出凑公式法 定理 若JJ(x)ax=F(x)+c, x)连续可导,则 ∫)(0=F()+c
§2 不定积分的计算 不定积分的计算（1） 教学内容：第一换元积分法（凑公式法） 分部积分法 要 求：掌握凑公式法的技巧和方法 掌握分部积分中 的选取原则和技巧 难 点：分部积分中 的选取原则和技巧 不定积分的计算一般由三种方法： 1） 凑公式法 2） 部积分法 2） 第二变量替换法 今天讲前两种方法： 一 第一类换元法 ——凑公式法 引出凑公式法: 定理 若 连续可导, 则
该定理可叙述为:若函数g()能分解为g()=几)1()则有 ∫g=几如0=)) f(x)ax=F(x)+c=[()]+c 凑公式法:表面看J(x)ar 不符合基本积分公式,但作变换,令 (x)=,]f(x)=g(h ,而」g(x)d 符合基本积分公式。 x sin xdx 例 但作变换,令x=2后 xsin xax=l cosx+c 例2 不符合基本积分公式,稍微变换一下 令 arct 例 sec xdx 不符合基本积分公式,但用三角函数公式整理 ∫k a(sin x 231+sin x 令 后,化成 1..1+x )du=hn I C=-In
该定理可叙述为： 若函数 能分解为 则有 . 凑公式法： 表面看 不符合基本积分公式，但作变换，令 后 ，而 符合基本积分公式。 例 1 但作变换，令 后 例 2 不符合基本积分公式，稍微变换一下 ＝ ， 令 例 3 不符合基本积分公式，但用三角函数公式整理 令 后，化成
凑公式法的关键是设法把f(x)kx凑成g(91x)d(x)的形式,使 Jg)符合基木积分公式。 分部积分 我们讲导数时,知道 Lu(xv(x)]=u(xv(x)+u(xv'(x) 从而有 u(xjv(x)=u' (xjv(x)dx+u(xyv'(x)dx 移项得 Ju(x)v(x)dx=u(x))v(x)-u'(x)v(x)dx 或 u(x)dv(x)dx=u(x)v(x)-v()du(x) 我们称这个公式为分部积分公式。 (xv'(x)dx 不容易积分,但」2(x(x)ax容易积分时,我们就可 以用分部积分把不容易积分 的J(xn(xah 计算出来 例4 若令=x,V=C03x→y=mx 代入分部积分公式 xcos xdx= xsin x- sin xdx= xsin x+cosx+ 但若令 =cx,y=x→v=x2,代入分部积分公式
凑公式法的关键是设法把 凑成 的形式，使 符合基本积分公式。 二 分部积分 我们讲导数时，知道 从而有 移项得 或 我们称这个公式为分部积分公式。 当 不容易积分，但 容易积分时，我们就可 以用分部积分把不容易积分 的 计算出来 例 4 若令 ， 代入分部积分公式 但若令 ， 代入分部积分公式
xcos xdx=-cos x+ 这比原积分还复杂,由此可知,在用分部积分公式时,u,v的选择不是随意 的,那个作u,那个作V ,应适当选取,否则有可能计算很复杂甚至计算不出来 分析分部积分公式,我们可总结出下面一个原则 般应把(相比之下)容易积分,积分后比较简单的函数作为v,积分较 难或积分后比较复杂的函数 作为。 xin xax 例4 相比之下显然,x容易积分,所以取 =hnx,y=x→ν=x2/2 xIn xdx=x C 分部积分公式也可以连续用多次 x2 例5 积分是它本身,x积分是x2相比之下,e容易积分,应选 X=2e xe dx 再用一次分部积分公式 Jxe dx=xe-2(xe - dx)(x2-2x+2)e*+C
这比原积分还复杂，由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意 的，那个作 u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。 分析分部积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 ，积分较 难或积分后比较复杂的函数 作为 。 例 4 相比之下显然， 容易积分，所以取 分部积分公式也可以连续用多次 例 5 积分是它本身， 积分是 相比之下， 容易积分，应选 ， 再用一次分部积分公式
例6 e,COsx二者积分难度相当,随意取那个作u都可,比如取= cos bx =e代入分部积分公式 ∫∞csba=ecbx+je“snbx 再分部积分一次 -e cosbx+-[-ea sin bx-=ea cosbx 出现循环,将上式最后一项移到左端合并整理 +)J°c=(-cosx+2ambx 分部积分使用的类型:一般说下面类型的不定积分 ∫x'1g”x,Je“,Jx2 sin bxdx,」 x c> 等常用分部积分来计算。 习题课(凑公式法和分部积分法) 1常用的几种凑公式法 凑法1J(ax+b)x=-f(ax+b)(ax+b)=-f(a)h
例 6 二者积分难度相当，随意取那个作 u 都可，比如取 代入分部积分公式 再分部积分一次 出现循环，将上式最后一项移到左端合并整理 分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分 等常用分部积分来计算。 习题课(凑公式法和分部积分法) 1 常用的几种凑公式法 凑法 1