经典电磁场。根据电动力学,矢势A(r,t)与光的电场强度E和磁 场强度H的关系为 A E (1-7-1) H=又×A (1-7-2) 对于自空间,D=eE,B=AH,P=0,J0将(171和(1-7-2) 式代入麦克斯韦方程组的(1-59)式,考虑到上述情形,采用库伦 规范 A=0 (17-3) 则得到自由空间中的矢势A(r,t)的方程为 VAr,t) 1子A(r,t) (1-7-4 现在求矢势A(r,t),为此对上面的方程进行变量分离,令 A(r,)=∑A(r)f(t) (1-7-5) 式中求和号表示对给定体积中光的模式数目求和,用l表示其中 的第l个光模式。将(1-7-5)式代入(1-7-4)式,得到 V2(A(r));f2(t) (A1(r)),f(t) (】-7-6) z 于是得到 V2A(r)+2A(r)=0 f2(t)+c(t)=0 若令k=c/c2,上式的解为 A1(r)≈u2 fi(o)=fle (1-7-10) 上式中是A(r)的单位矢量。设讨论体积v内的光辐射场,封闭 体积的边长为D,体积V=D3。周期性边界条件为 A(x =0,y, 2)=A(= D,y, 2)sF
所以有下列关系 ik D (1-7-12) 于是A1(r)满足 A1(r)·A:(r)d A1(r)·A.(r)dv=Von (17-13) 最后求出矢势A(r,t)的表示式为 A(r,t)=∑[A(n)f(t)+A(r)f(t)](1-7-14) 现在讨论给定体积V内,这组光场的总能量W,根据电动力 学W为 EeZ+uoi) 将(1-7-1)和(1-7-2)式代入,得到 dA 1 L()2+(V A)2]d(1-7-16) 将A(r,t)代入,经计算得到 W=2∑af(t)f;(t) (1-7-17) 引入无量纲的量 q(t)=(eV)"2[f(t)+f:(t)] (1-7-18) 户2(t) eV)2a[f(t)-f(t)](1-7-19 由此可解出f2(t)和f(t)为 f2(t)=(e)l2(2a)-[q(t)+ip2(t)](1-7-20) f(t)=(∈V)-12(2a1)-c(t)一i2(t)](1-7-21) 将上二式代入(1-7-17)式,得到光场的总能量为 ∑)(+) (1-7-22) 所以第l个光模式的能量可表示为 W (p2十9) 34
上式表明,光场的总能量与一组线性谐振子能量相等所以一种光 模式与经典力学中质量为1,动量为p,坐标为q的一种线性谐振 子相当,称此为场振子。这是在经典电磁学和经典力学范围内得出 的结果。 现在将光辐射场量子化,由上面讨论可知,相当于将场振子运 动量子化在量子力学中的线性谐振子问题是大们熟悉的,在此基 础上先将光场总能量算符化,这相当于将1723)式中的典和q 算符化。使用量子力学中线性谐振子的结果,引入算符b2(t)和 b(t): b2(t)=(2h)1叫92(t)十(t)] (1-7-24) b(t)=(2ha1)-12[1(1)-i2(t)](1-7-25) 因为由(1-7-20)和(1-7-21)式看出,cq(t)+ip(t)正比于f4(),所 以此处的b(t)也有同f(t)相同的时间关系: 6 ct)= be (1-7-26) b()=冰e (1-7-27) 由(1-7-24)和(1-7-25)式求出q2(t)和p2(t)为 )12[b(t)+b(t)] A()=i()[b(t)-b(t)] (17-29) 将它们代入(1-7-22)式,光场的哈密顿算符为 H=∑质b+) 算符b和b的对易关系,可由p与q算符的对易关系求出 bb+-b62= (1-7-31) b一bb2 (1-7-32) bb一bb=0 (1-7-33) 由(1-7-31)式得到 626t=1+bib (1-7-34)
代入(1-7-30)式得到 H 1 hh(bb+…) (1-7-35) 实际上 bt br 是第l个光模式中的光子数目,b是第l个光模式的光了产生算 符,b1是光子湮没算符。 金和关 再来讨论光的电磁场的矢势A(r,t)的算符化问题,由(1-7- 14)式看出这要求出f(t)和f()的算符形式。为此可先将(1-7 20)和(1-7-21)式算符化然后与(1-7-24)(1-7-25)式联合在一起, 求出f()(t)与b(t),b2(t)的关系为 f2(t)=( 2(t (l-7-37) ZEY w f(t)=( 五 22)1/2计() (1-7-38) 将它们代入(1-7-14)式,其中A(r)用(1-7-9)式代入,最后得到电 磁场的矢势A(r,t)的算符的形式为 A(r,t) √2 W E-u Le,"bi(t)+e"b() (1-7-39) 上式中的b(t)研(t)与时间关系如(1-7-26)(1-7-27)式所示。 由此可求出光的电场强度算符E和磁场强度算符的表示 式,因为 E(r,t)÷ 将(1-7-39)式代入,得到 E(r,t) 方cu NBeo keIb, (t) (1-7-40
而磁场强度与矢势A之间关系为 1 V×A 将(1-7-39)式代入,得到磁场强度算符为 H(rt) h cu, X m)le b=e 6t(] cA (1-7-41) s1-8二能级原子与光场相互作用的 哈密顿算符 研究原子与光场相互作用时表现出的各类量子光学现象,无 论是按照半经典理论,还是按全量子理论处理,一般总是首先要写 出问题的相互作用哈密顿算符 首先讨论由原子与光场组成的系统的总能量H,它显然是光 场能量、原子的电子能量和原子与光场相互作用能量之和,由经典 电动力学可表示为 (n2+cq2)+ 2n[P2-eA(r1,t)]3 上式中P是正则动量,它与普通动量P=m之间关系为 P,=my+lA (1-8-2) 由(1-8-1)式得到系统的哈密顿算符为 1}=12(的+)++∑2[P,-A(,1)下 ∑(+)+∑r+∑ 2n = P A(,, t) 37