式(1)中:5是G(S)的零点,i=1,2 P,是G(S)的非零极点,j=1,2…r s表示有N个数值为的极点,且Nr=n,n为系统的 阶数 K叫开环系统的增益,K”叫开环系统的根轨迹增益, K与K的本质相同,仅它们间的值有一系数关系,即: K= K (2) ∏I(-P2) 闭环系统的特征方程为1+G()=0,即:G0(s)=-1,将式(1)代入 K∏I(s-=,)KII s-2e e(2k+1)x(3) SI(s-P) j(N+∑) IIIs-p
式(1)中: 阶数. i z 是G0(S)的零点, i=1,2,….m j p 是G0(S)的非零极点, j=1,2,….r N s 表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的 K叫开环系统的增益, K’叫开环系统的根轨迹增益, K与K’的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即: (2) ( ) ( ) 1 ' 1 = = − − = r j j m i i p z K K 闭环系统的特征方程为: 1+ G0 (s) = 0 ,即: G0 (s) = −1 ,将式(1)代入 (3) ( ) ( ) (2 1) 1 ( ) 1 ' 1 1 ' 1 1 + = + = = = = − − = − − = = j k r j j N j N m i j i r j j N m i i e s s p e K s z e s s p K s z r j j m i i
式(3)中:-=是(--)的模;-P是(-以)的模; O是(-)的幅角;,是(-P)的幅角;是$的幅角; k=0,±1,+2…,n=N+r 式(3)叫根轨迹方程,此方程又可分为下面两个方程: s-p K ∑0-N-∑的=(2k+1)zk=0,±1±2, (5) 式(4)叫根轨迹的幅值条件,式(5)叫根轨迹的相角条件.在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点,即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点,因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件.根轨迹上某一点对应的K的值可由幅 值条件求出
式(3)中: 式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程: i s − z 是 ( )i s − z 的模; j s − p 是 ( )j s − p 的模; i 是 ( )i s − z 的幅角; j 是 ( )j s − p 的幅角; k = 0,1,2 , n = N + r (2 1) 0, 1, 2, (5) (4) 1 1 1 ' 1 − − = + = − − = = = = = N k k s z s p K r j j m i i m i i r j j 式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅 值条件求出. 是 s 的幅角;
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹,将会非常不方 便.人们利用前面介绍的几个式子,导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则,可方便地绘制出根轨迹的大至形状,叫概略根 轨迹,这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 4-2根轨迹绘制的基本法则 本节通过一个例子,介绍绘制根轨迹的七条法则,但对法则 不予推导和证明 需指出的是,绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值,一般以K为参变量 例:某闭环系统的开环传递函数为: G(s)= K(s+1)S+10(8+7+j2s+7-j2) s(S+6(+8+05+j)(s+0.5-j)(s+4+j3)(S+4-j3)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方 便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了. 4-2 根轨迹绘制的基本法则 本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明. 需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量. 例: 某闭环系统的开环传递函数为: ( 6)( 8)( 0.5 )( 0.5 )( 4 3)( 4 3) ( 1)( 10)( 7 2)( 7 2) ( ) ' 0 s s s s j s j s j s j K s s s j s j G s + + + + + − + + + − + + + + + − =
上例中: n=7,m=421=-1,2=-10,3=-7+j2,24=-7-j2 B1=0,P2=-6,P2=-8,p=-0.5+j,p3=-0.5-j2p=4+j3,D=-4-j3 将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上,习惯上用叉 号标记开环极点,用小圆圈标记开环零点,如下图: 6 2 4X p 10 xp1 Z p p
上例中: 将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图: 0, 6, 8, 0.5 , 0.5 , 4 3, 4 3 7, 4; 1, 10, 7 2, 7 2 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 p p p p j p j p j p j n m z z z j z j = = − = − = − + = − − = − + = − − = = = − = − = − + = − − 0 p1 1 2 3 -6 p2 -8 p3 -10 z2 -1 z1 p4 p5 p6 p7 z3 z4 jω σ
法则1根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K=+∞ 注意:当n>m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m-n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点 法则2根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有 限零点个数m和有限极点个数m中的大者相等它们是连续的并与 实轴成镜像对称. 法则3实轴上的根轨迹:实轴上的某一区段若其右边开环 实数零点个数和实数极点个数之和为奇数该区段必是条完整的 根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分
法则1 根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K’= +∞. 注意: 当n> m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点. 法则2 根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有 限零点个数m和有限极点个数n中的大者相等. 它们是连续的并与 实轴成镜像对称. 法则3 实轴上的根轨迹:实轴上的某一区段,若其右边开环 实数零点个数和实数极点个数之和为奇数,该区段必是条完整的 根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分