四、模糊集合的模糊程度 模糊熵 A的模糊熵E(A),在单位超立方体I中从0到1，其中顶点的熵为 0,表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐 渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式： 任2}=(0) X=(11) E(A)= 1(A,Area) 三 X2 1'(A,Arr) 6=(00) 红=(10) 4=3A=0.14o=1.0.a-3+42 1,17 b 23_17 3412 E(A)= 1
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 A的模糊熵E(A)，在单位超立方体I n中从0到1，其中顶点的熵为 0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐 渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式： 1 1 ( , ) ( ) ( , ) near far a l A A E A b l A A = = 1 3 1 1 7 2 3 17 7 ( , ), (0,1), (1,0), , , ( ) 3 4 3 4 12 3 4 12 17 A A A a b E A = = = = + = = + = = near far
四模糊集合的模糊程度 模糊熵 了 熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或 一段信息的不确定性。 了模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。 了一般的定义[山： (1)分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0； (2)[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊 性应最大 （3)模糊集A与A距[1/2]的1远近程度是相同的，则 要求A与A的模糊程度一样 (4)模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A 越接近[1/2]，A的模糊性越大；A越远离[1/2]，A的模 糊性越小
熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或 一段信息的不确定性。 模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。 一般的定义[1]： （1）分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0； （2）[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊 性应最大 （3）模糊集A与 距[1/2]的1远近程度是相同的，则 要求A与 的模糊程度一样 （4）模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A 越接近[1/2],A的模糊性越大； A越远离[1/2],A的模 糊性越小 。 C A C A 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
四、模糊集合的模糊程度模糊熵 2}=01) X=(11) 模糊熵定理： M(A∩A) E(A) M(AA) X2 M(AUA) AAAE A- M(A 中=(00) {}=(10) 23 模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各 自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西 方逻辑”的终止。( M(404)=0,M(A04)=n,E(4)=0
模糊熵定理： ( ) ( ) ( ) c c M A A E A M A A = 模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各 自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西 方逻辑”的终止。（ ） ( ) 0, ( ) , ( ) 0 c c M A A M A A n E A = = = 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
四、模糊集合的模糊程度模糊熵 另外的一种定义（类似于信息论中熵的定义) E(A0=-k∑[Ax,)nA(x)+(1-Ax,》(1-Ax,川 k>0是常数 很多文章是用这个定义来求模糊熵
= = − + − − n i i i i i E A k A x A x A x A x 1 ( ) [ ( )ln ( ) (1 ( ))ln(1 ( ))] k>0是常数 很多文章是用这个定义来求模糊熵 另外的一种定义（类似于信息论中熵的定义） 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
五、 模糊集合间的包含关系二包含度定理 主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship): AcB if and only if m(x)<mp(x)for all x 如果A=(.30.7)和B=(.4.7.9),那么A就是 B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然 这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的 是二值定义下的子集性(Zadeh's1965)
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)： ( ) ( ) A B if and only if m x m x for all x A B 如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9)，那么A就是 B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然， 这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的, 是二值定义下的子集性(Zadeh’s1965)