橢球坐標系坐標變換關係 (a2+x)(a2+1)(a2+v x (a2-b2)(a2-c2) (b2+1)(b2+1)(b2+y) (b2-a2)(b2-c2) 2_(C2+1)(c2+)(c2+y) (c2-a2)(c2-b2) λ>-c2>1>-b2>y>-a2
𝑥 2 = 𝑎 2+𝜆 𝑎 2+𝜇 𝑎 2+𝜈 (𝑎2−𝑏2)(𝑎2−𝑐 2) 𝑦 2 = (𝑏 2+𝜆)(𝑏 2+𝜇)(𝑏 2+𝜈) (𝑏 2−𝑎2)(𝑏 2−𝑐 2) 𝑧 2 = (𝑐 2+𝜆)(𝑐 2+𝜇)(𝑐 2+𝜈) (𝑐 2−𝑎2)(𝑐 2−𝑏2) 𝜆 > −𝑐 2 > 𝜇 > −𝑏 2 > 𝜈 > −𝑎 2
度規因子 d ax 2 dy)2 az 2 g d 0 1/(-)(-v g元 2 S(λ) 1(-2)(u-V) 9u-2 S() 1(v-)(v-4) v S(v) 其中S(a)=(a2+σ)(b2+a)(c2+a)
𝑔𝜎 = 𝑑𝒓 𝑑𝜎 = 𝜕𝑥 𝜕𝜎 2 + 𝜕𝑦 𝜕𝜎 2 + 𝜕𝑧 𝜕𝜎 2 ◦ 𝑔𝜆 = 1 2 (𝜆−𝜇)(𝜆−𝜈) 𝑆(𝜆) ◦ 𝑔𝜇 = 1 2 (𝜇−𝜆)(𝜇−𝜈) 𝑆(𝜇) ◦ 𝑔𝜈 = 1 2 (𝜈−𝜆)(𝜈−𝜇) 𝑆(𝜈) ◦ 其中𝑆 𝜎 = (𝑎 2 + 𝜎)(𝑏 2 + 𝜎)(𝑐 2 + 𝜎)
橢球坐標系下的 Laplace算子的形式 1 a/g2930l 9193 au (g19z0 9192g3Laq1( g1 aq1/aq2 g2 aq 3(g30q3 v 4 (-)(λ-v)(u-y) (=)√(a(√S(mx 0 +(x-y)-S()( S(u +(-p)√S(v) v 在這個問題中,分離變量法不能應用!
𝛻 2𝑢 = 1 𝑔1𝑔2𝑔3 𝜕 𝜕𝑞1 𝑔2𝑔3 𝑔1 𝜕𝑢 𝜕𝑞1 + 𝜕 𝜕𝑞2 𝑔1𝑔3 𝑔2 𝜕𝑢 𝜕𝑞2 + 𝜕 𝜕𝑞3 𝑔1𝑔2 𝑔3 𝜕𝑢 𝜕𝑞3 𝛻 2𝑢 = 4 (𝜆−𝜇)(𝜆−𝜈)(𝜇−𝜈) [ 𝜇 − 𝜈 𝑆(𝜆) 𝜕 𝜕𝜆 𝑆(𝜆) 𝜕𝑢 𝜕𝜆 + 𝜆 − 𝜈 −𝑆 𝜇 𝜕 𝜕𝜇 −𝑆 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝜇 + 𝜆 − 𝜇 𝑆 𝜈 𝜕 𝜕𝜈 𝑆 𝜈 𝜕𝑢 𝜕𝜈 ] 在這個問題中，分離變量法不能應用！
方程的解(利用疊加原理) 〉勻強電場產生的電勢為 Eo·r= 0 EoLx-e Eog 令 λ)(a2+)(a2+v) Ox a-C (b2+)(b2+u)(b2+v) oyy (b2-a2)(b2-c2) (C2+)(c2+1)(c2+y) q 〉極化電荷的電勢 °q1=q1x+q1y+q °q2=卯2x+q2y+q2z 總電勢 球内p1=甲+ q t oy t p t oz t 1z 球外p2=φ+q’2=qox+qzx+qoy+q2y+q0z+q22
勻強電場產生的電勢為 ◦ 𝜑0 = −𝑬𝟎 · 𝒓 = −𝐸0𝑥𝑥 − 𝐸0𝑦𝑦 − 𝐸0𝑧𝑧 令 ◦ 𝜑0𝑥 = −𝐸0𝑥𝑥 = −𝐸0𝑥 (𝑎2+𝜆)(𝑎2+𝜇)(𝑎2+𝜈) (𝑎2−𝑏 2)(𝑎2−𝑐 2) ◦ 𝜑0𝑦 = −𝐸0𝑦𝑦 = −𝐸0𝑦 (𝑏 2+𝜆)(𝑏 2+𝜇)(𝑏 2+𝜈) (𝑏 2−𝑎2)(𝑏 2−𝑐 2) ◦ 𝜑0𝑧 = −𝐸0𝑧𝑧 = −𝐸0𝑧 (𝑐 2+𝜆)(𝑐 2+𝜇)(𝑐 2+𝜈) (𝑐 2−𝑎2)(𝑐 2−𝑏 2) 極化電荷的電勢 ◦ 𝜑′1 = 𝜑′1𝑥 + 𝜑′1𝑦 + 𝜑′1𝑧 ◦ 𝜑′2 = 𝜑′2𝑥 + 𝜑′2𝑦 + 𝜑′2𝑧 總電勢 ◦ 球内𝜑1 = 𝜑0 + 𝜑 ′ 1 = 𝜑0𝑥 + 𝜑 ′ 1𝑥 + 𝜑0𝑦 + 𝜑 ′ 1𝑦 + 𝜑0𝑧 + 𝜑 ′ 1𝑧 ◦ 球外𝜑2 = 𝜑0 + 𝜑 ′ 2 = 𝜑0𝑥 + 𝜑′2𝑥 + 𝜑0𝑦 + 𝜑′2𝑦 + 𝜑0𝑧 + 𝜑′2𝑧