第二章片上电感的物理模型与特性分析 所以衬底涡流几乎可以忽略。线圈之间的互感很大，这也造成了负面影响：1) 由于顶层金属和底层金属的间距小，使得两者的负互感大，进而静互感小：2) 上下两层之间的金属距离很近，造成金属之间的寄生电容大：为了增大电感必然 采用底层金属，使得电感与衬底之间的电容增大，衬底的电场损耗增大：3)上 下两层金属之间的近距离造成邻近效应大，进而金属的串连电阻大：4)使用较 多通孔，造成电感的串联电阻大。当金属的互连线的层数增多，以及采用嵌入式 通孔（通孔的金属和金属互连线相同，多数是铜材料），螺绕环结构会具有一定 优势。图2.3是CMOS工艺互连线层数的发展趋势。 Metal (a) (b) 图2.2模仿分立元件的互连线螺线管(a)和螺绕环(b) 螺线管结构的耦合系数比较大，垂直螺线管结构的线圈半径可以远大于金属 的宽度，这样正互感远大于负互感。随着金属互连线的层数的增多，近几年有些 人研究垂直螺线管结构，如图2.4所示。 Microwave Engineer's View of CMOS Y2008,10 layers Y1998,5 layers EPI LAYER 10-20 -cm Bulk Si 10-20 mo-cm (VERY LOW RESISTIVITY) 图2.3CMOS工艺的互连线层数 图2.4垂直螺线管 图2.5是平面螺旋电感，是目前使用最广泛的电感结构。金属线圈的半径逐 渐缩小，在内圈通过底层金属连接出来。该结构使用的通孔比较少，而且可以将 顶部几层金属并联，降低线圈的串联电阻。线圈的形状一般是四边形、八边形和 圆形。由于四边形的结构和芯片布局布线的方块结构相兼容，而被芯片制造厂商
第二章 片上电感的物理模型与特性分析 14 所以衬底涡流几乎可以忽略。线圈之间的互感很大，这也造成了负面影响：1） 由于顶层金属和底层金属的间距小，使得两者的负互感大，进而静互感小；2） 上下两层之间的金属距离很近，造成金属之间的寄生电容大；为了增大电感必然 采用底层金属，使得电感与衬底之间的电容增大，衬底的电场损耗增大；3）上 下两层金属之间的近距离造成邻近效应大，进而金属的串连电阻大；4）使用较 多通孔，造成电感的串联电阻大。当金属的互连线的层数增多，以及采用嵌入式 通孔（通孔的金属和金属互连线相同，多数是铜材料），螺绕环结构会具有一定 优势。图2.3是CMOS工艺互连线层数的发展趋势。 （a） （b） 图2.2 模仿分立元件的互连线螺线管（a）和螺绕环（b） 螺线管结构的耦合系数比较大，垂直螺线管结构的线圈半径可以远大于金属 的宽度，这样正互感远大于负互感。随着金属互连线的层数的增多，近几年有些 人研究垂直螺线管结构，如图 2.4 所示。 图 2.3 CMOS 工艺的互连线层数 图 2.4 垂直螺线管 图 2.5 是平面螺旋电感，是目前使用最广泛的电感结构。金属线圈的半径逐 渐缩小，在内圈通过底层金属连接出来。该结构使用的通孔比较少，而且可以将 顶部几层金属并联，降低线圈的串联电阻。线圈的形状一般是四边形、八边形和 圆形。由于四边形的结构和芯片布局布线的方块结构相兼容，而被芯片制造厂商
第二章片上电感的物理模型与特性分析 广泛采用。电感一般有两个端口，一个端口接地的电感称为单端电感，见图 2.5(a-d) -}T (b) (c) Common node Underpass Underpass (Port 3) XXX★ Axis of symmetry Port1 Inductor 1 Inductor 2 Port 2 Port 1 Port 2 Inductor 1 (d) (e) (f) 图2.5平面螺旋电感 差分电路具有高的电源电压抑制比，可以消除偶次项噪声等优点，在电路的 设计当中被广泛采用。在差分电路中如果采用两个单端电感，见图2.5()，相邻 线圈的电流方向相反，造成两个电感的磁场方向相反。需要将两个单端电感的距 离拉大，降低相互的不良耦合，无形中增大了电感的芯片面积。一种更好的电感 设计方法见图2.5（①，是采用两个单端电感嵌套结构实现的差分电感。由于电感 的两个信号端口的信号幅度相等、相位相反（差分），使得电流在合并的单端电 感中的电流方向是一致的，相互增加了互感，降低了电感的芯片面积。 电感独立的几何结构参数包括：金属的线宽w、临近金属的间距s、线圈的 圈数n、内直径dn或者外直径dout,还有该线圈所在的金属层位置。 2.2.2寄生与损耗分析 图2.6是片上电感的寄生和损耗模型示意图。任何金属在通常条件下都是具 有阻抗的。集成电路互连线是金属薄膜，用的最多的材料是铝，其次是铜和金， 厚度一般从0.4μm到4μm不等。金属的直流电阻比常规的分立电感大，而且高 频电磁现象一电流拥挤效应以及电感与衬底之间的变压器效应增大了电感的交 流电阻，加剧了电感的欧姆损耗。 金属通电就会有电场，而电感的线圈平行于衬底，意味着电感的电场穿过衬 15
第二章 片上电感的物理模型与特性分析 15 广泛采用。电感一般有两个端口，一个端口接地的电感称为单端电感，见图 2.5(a-d). (a) (b) (c) (d) (e) (f) 图 2.5 平面螺旋电感 差分电路具有高的电源电压抑制比，可以消除偶次项噪声等优点，在电路的 设计当中被广泛采用。在差分电路中如果采用两个单端电感，见图 2.5(e)，相邻 线圈的电流方向相反，造成两个电感的磁场方向相反。需要将两个单端电感的距 离拉大，降低相互的不良耦合，无形中增大了电感的芯片面积。一种更好的电感 设计方法见图 2.5(f)，是采用两个单端电感嵌套结构实现的差分电感。由于电感 的两个信号端口的信号幅度相等、相位相反（差分），使得电流在合并的单端电 感中的电流方向是一致的，相互增加了互感，降低了电感的芯片面积。 电感独立的几何结构参数包括：金属的线宽 w、临近金属的间距 s、线圈的 圈数 n、内直径 din 或者外直径 dout，还有该线圈所在的金属层位置。 2.2.2 寄生与损耗分析 图2.6是片上电感的寄生和损耗模型示意图。任何金属在通常条件下都是具 有阻抗的。集成电路互连线是金属薄膜，用的最多的材料是铝，其次是铜和金， 厚度一般从0.4μm到4μm不等。金属的直流电阻比常规的分立电感大，而且高 频电磁现象—电流拥挤效应以及电感与衬底之间的变压器效应增大了电感的交 流电阻，加剧了电感的欧姆损耗。 金属通电就会有电场，而电感的线圈平行于衬底，意味着电感的电场穿过衬
第二章片上电感的物理模型与特性分析 底。电感与衬底之间有一层绝缘层，一般芯片的衬底接地，这样电感与衬底之间 就会形成电容，称为电感衬底耦合电容或者电感与衬底之间的电容，简写为Cms· 这样电感的不同部位对应的衬底就会有不同的压差，也就会产生不同的电容耦合 衬底电流（图2.6中的1、2和3），以欧姆损耗的方式将电能转换为热能消耗掉。 电感线圈之间是绝缘体，线圈的电压不同，意味着相邻的线圈之间会形成电容， 简称Cm_m。Cm_m会贮存电能，还会将电感一端的信号直接传递到另一端。 eddy currents Metal tracks of inductor intensity rrt inductor metal tracks Substrate grour Substrate FOX capacitive coupling substrate current 图2.6片上电感的寄生和损耗模型示意图 电感线圈平行于衬底使得电感的磁场几乎垂直的穿过衬底。交变的磁场会在 衬底感应出与电感方向相反的涡流。涡流产生的磁场与产生涡流的磁场方向相 反，降低了电感的磁通量，进而降低了电感的磁能贮存。同时涡流的流动会将磁 能转换成电能以焦耳热的形式挥发掉。 在片上电感的几何长度和工作波长相当的情况下，片上电感会象天线一样将 自身的电磁场发射出去，这时频率非常高，达到毫米波。常规电路的工作波长远 远小于电感的长度，所以电感的辐射可以忽略不计。 2.2.3品质因数和自谐振频率 电感是一个元件，定义其性能好坏的基本参数是品质因数(Q)和自谐振频 率()。电感品质因数的基本定义是电感在一个周期内存储能量与损耗能量的 比值： Q1(0)=2π Energy stored (2.1) Energy lost inone cycle 广泛使用的单端电感Q定义为： g,(o)- 、（E阳-E） m(y)=20. (2.2) Re(yu)
第二章 片上电感的物理模型与特性分析 16 底。电感与衬底之间有一层绝缘层，一般芯片的衬底接地，这样电感与衬底之间 就会形成电容，称为电感衬底耦合电容或者电感与衬底之间的电容，简写为Cm_s。 这样电感的不同部位对应的衬底就会有不同的压差，也就会产生不同的电容耦合 衬底电流（图2.6中的i1、i2和i3），以欧姆损耗的方式将电能转换为热能消耗掉。 电感线圈之间是绝缘体，线圈的电压不同，意味着相邻的线圈之间会形成电容， 简称Cm_m。Cm_m会贮存电能，还会将电感一端的信号直接传递到另一端。 图2.6 片上电感的寄生和损耗模型示意图 电感线圈平行于衬底使得电感的磁场几乎垂直的穿过衬底。交变的磁场会在 衬底感应出与电感方向相反的涡流。涡流产生的磁场与产生涡流的磁场方向相 反，降低了电感的磁通量，进而降低了电感的磁能贮存。同时涡流的流动会将磁 能转换成电能以焦耳热的形式挥发掉。 在片上电感的几何长度和工作波长相当的情况下，片上电感会象天线一样将 自身的电磁场发射出去，这时频率非常高，达到毫米波。常规电路的工作波长远 远小于电感的长度，所以电感的辐射可以忽略不计。 2.2.3 品质因数和自谐振频率 电感是一个元件，定义其性能好坏的基本参数是品质因数（Q）和自谐振频 率（fSR）。电感品质因数的基本定义是电感在一个周期内存储能量与损耗能量的 比值： L Energy stored Q( ) 2 Energy lost in one cycle ω π = （2.1） 广泛使用的单端电感 Q 定义为： ( ) 11 11 Im( ) () 2 Re( ) av av m e L av l y E E Q y P ω ω − =− = ⋅ （2.2）
第二章片上电感的物理模型与特性分析 其中，E,E,P“分别表示一个周期内电感的平均存储的磁能、电能和 损耗。y是片上电感的1端口Y参数。 差分电感品质因数可以表示为2山： 0(o)=-my2) (2.3) Re(2) 其中，y2是片上电感的1端口和2端口之间的Y参数。 无论是单端口还是双端口，电感固有的和寄生的参量都折算到电感的输入阻 抗(Zm)当中，只要求出Zm,其品质因数表示为电感输入阻抗的虚部和实部之 比2.12： Q(o)= Im(Zi) (2.4) Re(Zi) 本文采用(2.4)式的电感品质因数计算方法。 采用理想电容和电感并联，不同电容值下的频带宽度和中心波长的比值就是 电感的品质因数2.1]。该方法一般用在电感和电容并联使用的时候，比如LC VCO. 这些品质因数的定义都是将电感作为一个元件，品质因数是评价元件性能的 量度。 电感的自谐振频率定义为电感的品质因数为零时的频率。这时候电感的磁能 等于电能，频率高于后，电感就变成电容了。所以电路设计工程师十分关心电 感的人，它代表电感的使用范围。 2.3电感寄生电容模型 电感是磁能存贮元件，寄生电容是电能存贮元件，根据品质因数的定义，寄 生的电容在三方面影响电感的性能：1)电路电能转化成磁能和存贮在电容中的 电能以及寄生电阻损耗的热能。相同的电路电能情况下，寄生电容增大，意味着 磁能降低，电感的品质因数降低：2)电感与衬底之间的电容还引发衬底的电能 损耗：3)大的寄生电容降低电感的自谐振频率，影响电感的使用范围。分析电 感的寄生电容，得到其与电感的结构和几何参数的关系，进而能够根据具体的电 路需求增大或降低电感的寄生电容，优化电路的性能。 2.3.1分布电容模型 Cms电容的上极板是电感金属，线圈之间是绝缘层，而下极板是一个整体， 有压差必然导致电流，进而造成衬底损耗，所以Cms是低品质因数的电容。越 小的Cms引起的衬底电能损耗就越小。 17
第二章 片上电感的物理模型与特性分析 17 其中， av Em ， av Ee ， av Pl 分别表示一个周期内电感的平均存储的磁能、电能和 损耗。y11是片上电感的1端口Y参数。 差分电感品质因数可以表示为[2.11]： 12 12 Im( ) ( ) Re( ) L y Q y ω = − （2.3） 其中，y12是片上电感的1端口和2端口之间的Y参数。 无论是单端口还是双端口，电感固有的和寄生的参量都折算到电感的输入阻 抗（Zin）当中，只要求出Zin，其品质因数表示为电感输入阻抗的虚部和实部之 比 [2.12]： Im( ) ( ) Re( ) in L in Z Q Z ω = − （2.4） 本文采用（2.4）式的电感品质因数计算方法。 采用理想电容和电感并联，不同电容值下的频带宽度和中心波长的比值就是 电感的品质因数[2.13]。该方法一般用在电感和电容并联使用的时候，比如LC VCO。 这些品质因数的定义都是将电感作为一个元件，品质因数是评价元件性能的 量度。 电感的自谐振频率定义为电感的品质因数为零时的频率。这时候电感的磁能 等于电能，频率高于fSR后，电感就变成电容了。所以电路设计工程师十分关心电 感的fSR，它代表电感的使用范围。 2.3 电感寄生电容模型 电感是磁能存贮元件，寄生电容是电能存贮元件，根据品质因数的定义，寄 生的电容在三方面影响电感的性能：1）电路电能转化成磁能和存贮在电容中的 电能以及寄生电阻损耗的热能。相同的电路电能情况下，寄生电容增大，意味着 磁能降低，电感的品质因数降低；2）电感与衬底之间的电容还引发衬底的电能 损耗；3）大的寄生电容降低电感的自谐振频率，影响电感的使用范围。分析电 感的寄生电容，得到其与电感的结构和几何参数的关系，进而能够根据具体的电 路需求增大或降低电感的寄生电容，优化电路的性能。 2.3.1 分布电容模型 Cm_s电容的上极板是电感金属，线圈之间是绝缘层，而下极板是一个整体， 有压差必然导致电流，进而造成衬底损耗，所以 Cm_s 是低品质因数的电容。越 小的 Cm_s 引起的衬底电能损耗就越小
第二章片上电感的物理模型与特性分析 互连线金属越来越厚，可是为了增大电感线圈之间的耦合，同平面的线圈之 间的距离多采用工艺允许的最小间距，见图2.7。Cmm正比于线圈之间的间距， 随着工艺的提高，设计规则允许的金属线圈之间的最小间距越来越小，尤其是对 于深亚微米以及纳米工艺而言，同平面电感线圈之间的寄生电容不容忽略。叠层 的电感相邻层之间的电容比较大，更要考虑Cmm。从电感的品质因数定义来看， 大的Cmm增大了电感贮存的电能，降低了品质因数。 由于电感线圈之间是绝缘层，而线圈的电阻相对较低，Cmm和Cms相比是 高品质因数电容。 neighbor metal tracks ,sy,t→Cmm 图2.7电感线圈之间的距离与电感磁场耦合 2.3.1.1假设和定义 分布电容模型(DCM)可以定量地精确描述电感的寄生电容Cmm和Cms° 基本的假设来自于电感的电压分布24。假设电感同一线圈具有相同的电压 2152(,在电感圈数较少时，必然引入误差。为了具有普遍性和准确性，这里提 出如下假设2.17-2.1： 1)电感线圈金属具有相同的电阻率和电流；第m半圈内的电感宽度w(m)相 同：同一互连线层的金属厚度t(m)相同： 2)同圈金属与相邻线圈之间及其与衬底之间的单位平板寄生电容相同： 3)电感线圈的电压分布与金属的长度成正比214。这里忽略了电感电流拥挤效 应的影响。 不再假设同一圈电感的电压不变216，就可以将分布电容模型推广到任意形状 电感，而不再只是单端的螺旋电感。 为了计算方便做了如下的定义： 半圈金属的长度分别定义为：1(1)，1(2).1(m),1(2n)。其中，n是电感总的圈 数：m代表电流方向。这样电感的总长度为1(=1)+1(2)，.+1(2n)。 电感高电压端口的交流电压为Veg,低电压端口的交流电压为Ved,这样电 感两个端口的电压差Vs=eg一Vendo
第二章 片上电感的物理模型与特性分析 18 互连线金属越来越厚，可是为了增大电感线圈之间的耦合，同平面的线圈之 间的距离多采用工艺允许的最小间距，见图 2.7。Cm_m正比于线圈之间的间距， 随着工艺的提高，设计规则允许的金属线圈之间的最小间距越来越小，尤其是对 于深亚微米以及纳米工艺而言，同平面电感线圈之间的寄生电容不容忽略。叠层 的电感相邻层之间的电容比较大，更要考虑 Cm_m。从电感的品质因数定义来看， 大的 Cm_m增大了电感贮存的电能，降低了品质因数。 由于电感线圈之间是绝缘层，而线圈的电阻相对较低，Cm_m 和 Cm_s 相比是 高品质因数电容。 图 2.7 电感线圈之间的距离与电感磁场耦合 2.3.1.1 假设和定义 分布电容模型（DCM）可以定量地精确描述电感的寄生电容 Cm_m 和 Cm_s。 基本的假设来自于电感的电压分布[2.14]。假设电感同一线圈具有相同的电压 [2.15-2.16]，在电感圈数较少时，必然引入误差。为了具有普遍性和准确性，这里提 出如下假设[2.17-2.19]: 1) 电感线圈金属具有相同的电阻率和电流；第 m 半圈内的电感宽度 w（m）相 同；同一互连线层的金属厚度 t（m）相同； 2) 同圈金属与相邻线圈之间及其与衬底之间的单位平板寄生电容相同； 3) 电感线圈的电压分布与金属的长度成正比 [2.14]。这里忽略了电感电流拥挤效 应的影响。 不再假设同一圈电感的电压不变[2.16]，就可以将分布电容模型推广到任意形状 电感，而不再只是单端的螺旋电感。 为了计算方便做了如下的定义： 半圈金属的长度分别定义为： l l lm l n (1), (2),... ( ), (2 )。其中，n 是电感总的圈 数； m 代表电流方向。这样电感的总长度为 ( (1) (2),... (2 )) tot l l l ln = + + 。 电感高电压端口的交流电压为 Vbeg，低电压端口的交流电压为 Vend，这样电 感两个端口的电压差 VS＝Vbeg－Vend