复旦大学：《微电子学与固体电子学》教学资源（博士学位论文）射频集成电路片上电感的分析与优化设计 Analysis and Optimum Design of On-Chip Inductor for RF ICs

第二章片上电感的物理模型与特性分析 根据上述的假设和定义电感第m半圈的末端电压[Vend(m)]为： Vend(m)=Vbe (2.5) 由于电感半圈之间是顺序连接的，这样电感第m半圈的末端电压'end(m)等 于电感第m-1半圈的开始电压eg(m): Vbeg (m)=Vend(m-1),Vbeg()=Vbeg (2.6) metal tracks m s Substrate 2.8片上电感的寄生电容示意图 如图2.8所示，将电感的第半圈分成数值大的k个单元。根据假设2)， 其中的第i个单元的电压V,为： m=em)-天(arm) (2.7) 其中， △ym=kn（m-ym)）=yn（m-)-yn(m=m(e-y）(2.8) 这样根据(2.5一2.8)，就能得到电感任意部分的电压。 将电感线圈的半圈分成k个单元，根据(2.5一2.8)两个相邻半圈x和y相 对应的第i个单元的电压△V(xy)为： △V(x,y)=△(x)-△'y) ,6-（a,o-ao列 -w-月ja 意 19

第二章 片上电感的物理模型与特性分析 19 根据上述的假设和定义电感第 m 半圈的末端电压[Vend(m)]为： ( ) 1 () m j j end beg beg end tot l V mV V V l = =− − ∑ (2.5) 由于电感半圈之间是顺序连接的，这样电感第 m 半圈的末端电压 Vend(m)等 于电感第 m－1 半圈的开始电压 Vbeg(m)： Vbeg (m)＝Vend(m-1)， Vbeg(0)= Vbeg (2.6) 2.8 片上电感的寄生电容示意图 如图 2.8 所示，将电感的第 m 半圈分成数值大的 k 个单元。根据假设 2）， 其中的第 i 个单元的电压 Vi为： i beg () () () ( ) i Vm V m Vm k = − ⋅Δ (2.7) 其中， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) beg end end end beg end tot l m Vm V m V m V m V m V V l Δ = − = −− = − (2.8) 这样根据（2.5－2.8），就能得到电感任意部分的电压。 将电感线圈的半圈分成 k 个单元，根据（2.5－2.8）两个相邻半圈 x 和 y 相 对应的第 i 个单元的电压ΔVi(x,y)为： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (, ) () () () () () () ( 1) ( 1) i ii beg beg x y end beg end end beg end tot tot y j jx y x tot tot V xy V x V y i i V x Vx V y Vy k k i i l l Vx V V Vy V V kl kl l i l l V l kl − = Δ =Δ −Δ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − ⋅Δ − − ⋅Δ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ = −−⋅ − − −−⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − = +⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ( ) beg end −V (2.9)

第二章片上电感的物理模型与特性分析 令x半圈电感与衬底相邻，这样该半圈电感第i个单元的电压△V(x,Xsubstrate), 如果认为衬底是良好接地的，这样有△Vx,0),可以根据(2.7)得到该电压： 如果衬底不是良好接地的，衬底接地部分与该半圈电感第个单元对应的衬底部 位的阻抗为Zs,Vsb不再是零电位，衬底寄生电容也相应的发生变化。 有了相应的假设和定义，以及(2.5-2.9)，就可以进行下面的计算。 2.3.1.2电感贮存电能和寄生电容 贮存在电感寄生电容中的电能分为两部分，一部分贮存在电感相邻线圈之间 的寄生电容中，一部分贮存在电感与衬底之间的寄生电容中。无论电容是串联还 是并联关系，寄生电容贮存的能量是直接相加的关系。电感贮存的电能等于等效 电容和相关压差平方的一半。而电压差和电感的长度相关，进而计算出等效电容 的大小。 为了使推导更具有普遍性，这里没有将整个单层金属平均分成无穷多的相同 单元0，而是将电感底层线圈的第m半圈或第m整圈分成k个单元，其中的第 i个单元的电压为V(),而衬底为零电位，这样贮存在i个金属单元和衬底之 间电容中的电能为： A.-(-j-C(m-(V(m-0-]C-("--(V(m 其中，Cm(m)表示第m半圈和衬底之间的单位电容，包含单位面积的平板电 容和边缘电容：贮存在第m半圈或第整圈电感金属和零电位衬底之间的等效 电容的电能表示为： E=∑AE= m-0 c.m网aj月 em-x.mum计传jp 安m侧-(aw:g2awoj i)r(amqm-人(ma(m+与(am a--哈小北e,j月 mC(m) (2.10) 20

第二章 片上电感的物理模型与特性分析 20 令 x 半圈电感与衬底相邻，这样该半圈电感第 i 个单元的电压ΔVi(x,xsubstrate) , 如果认为衬底是良好接地的，这样有ΔVi(x,0) ，可以根据（2.7）得到该电压； 如果衬底不是良好接地的，衬底接地部分与该半圈电感第 i 个单元对应的衬底部 位的阻抗为 Zsub,j，Vsub,j不再是零电位，衬底寄生电容也相应的发生变化。 有了相应的假设和定义，以及(2.5-2.9)，就可以进行下面的计算。 2.3.1.2 电感贮存电能和寄生电容 贮存在电感寄生电容中的电能分为两部分，一部分贮存在电感相邻线圈之间 的寄生电容中，一部分贮存在电感与衬底之间的寄生电容中。无论电容是串联还 是并联关系，寄生电容贮存的能量是直接相加的关系。电感贮存的电能等于等效 电容和相关压差平方的一半。而电压差和电感的长度相关，进而计算出等效电容 的大小。 为了使推导更具有普遍性，这里没有将整个单层金属平均分成无穷多的相同 单元[1.10]，而是将电感底层线圈的第 m 半圈或第 m 整圈分成 k 个单元，其中的第 i 个单元的电压为 Vi(m)， 而衬底为零电位，这样贮存在 i 个金属单元和衬底之 间电容中的电能为： ( ) ( ) 2 2 , 1 1 () ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 2 m m c ms i i ms i w l E i Cm Vm C m Vm k ⎛ ⎞ Δ =⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 其中,Cms(m)表示第 m 半圈和衬底之间的单位电容，包含单位面积的平板电 容和边缘电容；贮存在第 m 半圈或第 m 整圈电感金属和零电位衬底之间的等效 电容的电能表示为： ( )2 , _, , _, 1 1 2 1 2 2 2 _ 1 _ 1 () 0 2 1 () () () 2 1 1 11 () () 2 () () () 2 1 ( ) 2 k k c m s m c m s i ms i i i k m m ms beg i k plate m s beg beg i plate m s be E E C mV w l i C m V m Vm k k C m V m V m Vm i Vm i k kk C mV = = = = =Δ = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −Δ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − Δ +Δ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ∑ ∑ ∑ ∑ ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 _ 2 2 _ 1 ( 1)(2 1) () () () () 6 1 1 () () () () () 2 3 1 1 ( ) ( 1) ( 1) 2 3 1 2 g beg k plate m s beg beg plate m m m s end end beg end beg end tot tot k kk m V m Vm Vm k k C m V m V m Vm Vm l l C mV m V m V V V V l l →∞ ⎛ + ++ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −Δ + Δ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − Δ +Δ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −− − − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ _ () () plate Bm C m m s ￾ (2.10)

第二章片上电感的物理模型与特性分析 其中，C(m)(=Cm(m)w)为第m半圈电感与衬底之间的平板电容， 怎小怎e心 求出电感的第m半圈金属与衬底之间的等效电容的电能，通过将Em,(m)累 加就可以得到平面的或者叠层的电感与衬底之间电容贮存的能量E。m fn-fin.(m (2.11) 其中，M表示与衬底直接相邻的半圈电感的数量。 将电感线圈的半圈分成无穷多的k个单元，两个相邻半圈x和y相对应的第 i个单元的电压为△Vx,y),根据(2.9)，可以得到贮存在i个金属单元之间寄 生电容中的电能： 其中， C(x.y)=C(x.y)d 两个相邻半圈x和y在相同的平面的时候，dm表示该平面的金属厚度tm;两 个相邻半圈x和y在不同的平面叠层时，dm表示两个相邻半圈x和y的宽度(w,= wy);Cmm(x,y)表示两个相邻半圈x和y之间的单位面积寄生电容。 两个相邻半圈x和y之间寄生电容储存的电能为： Eemm(,y)=】 . …是i 21

第二章 片上电感的物理模型与特性分析 21 其中， _ ( ) ( ) ( ) plate C m C mwl m s ms m m = 为第 m 半圈电感与衬底之间的平板电容， ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 () 3 m m j j j j m beg beg end beg beg end beg end tot tot tot l l l Bm V V V V V V V V l ll − = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ =− − ⋅− − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∑ 。 求出电感的第 m 半圈金属与衬底之间的等效电容的电能，通过将 , _ ( ) Ecm s m 累 加就可以得到平面的或者叠层的电感与衬底之间电容贮存的能量 Ecm s , _ ： ,_ ,_ 1 ( ) M cm s cm s m E Em = =∑ (2.11) 其中，M 表示与衬底直接相邻的半圈电感的数量。 将电感线圈的半圈分成无穷多的 k 个单元，两个相邻半圈 x 和 y 相对应的第 i 个单元的电压为ΔVi(x,y)，根据（2.9），可以得到贮存在 i 个金属单元之间寄 生电容中的电能： ( ) ( ) 2 1 2 2 , _ 1 1 1 () () (, ) (, ) (, ) (, ) 2 2 y j plate j x c mm i mm i mm beg end tot tot l i ly lx E xy C xy V xy C xy V V kl k l − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − Δ = ⋅ ⋅Δ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ 其中， (, ) (, ) 2 plate x y mm mm m l l C xy C xy d ⎛ ⎞ + = ⋅⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 两个相邻半圈 x 和 y 在相同的平面的时候，dm表示该平面的金属厚度 tm；两 个相邻半圈 x 和 y 在不同的平面叠层时，dm表示两个相邻半圈 x 和 y 的宽度（wx= wy）； Cmm(x,y)表示两个相邻半圈 x 和 y 之间的单位面积寄生电容。 两个相邻半圈 x 和 y 之间寄生电容储存的电能为： ( ) ,_ , _ 1 2 1 2 1 1 (, ) 1 1 ( , ) 2 1 ( , ) 2 k c m m c mm i i y j k plate jx y x mm beg end i tot tot y j k plate j x mm tot E xy E l i l l C xy V V kl k l l C xy l = − = = − →∞ = = Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − = ⋅ ⋅⋅ +⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ￾ ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 3 y yx j jx y x beg end tot tot ll l l l V V l l − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ − + +⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ∑

第二章片上电感的物理模型与特性分析 对上式求和就能得到所有的相邻线圈之间的寄生电容存贮电能之和Eemm: △Eenm(x,y） C(x, (2.12) 其中，Ca(m)(仁Cm(m)wnm)为第m半圈电感与衬底之间的平板电容， 这样有， (2.13) 其中， 的意思是将电感中所有的相邻半圈的等效寄生电容不重复地相 加：这样将具体电感结构的相关参数带入就可以得到平面的或者叠层的电感的相 邻线圈之间寄生电容。 电感寄生电容与电感相邻导体之间的串并联结构和电压差相关，求解电感的 寄生电容就是求解相邻导体间的平板电容系数k。而为串并联影响因子k即和电 压影响因子k的乘积。下面那就以平面螺旋电感和垂直螺线管电感为例求解上 述参数。 2.3.2平面螺旋电感的寄生电容定量计算 平面螺旋电感寄生电容贮存的电能分为两部分：贮存在Cms中的电能 (E方贮存在Cmm的电能(Em),电感的两个端口的压差为Vs。这样总 的电感贮存电能表示为： 22

第二章 片上电感的物理模型与特性分析 22 对上式求和就能得到所有的相邻线圈之间的寄生电容存贮电能之和 Ec,m_m： ( ) ( ) ( ) 2 2 ,_ _ , 1, 1 2 1 1 2 2 2 2 1, 1 1 (, ) 2 1 1 ( , ) 2 3 n c m m m m beg end c mm x y y y j yx j n plate jx jx y x mm beg end x y tot tot tot E C V V E xy l ll l l l C xy V V ll l = = − − = = = = =⋅ ⋅ − = Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − = ⋅ ⋅ + +⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 1, 1 1 1 (, ) 2 3 y y j yx j n plate jx jx y x mm beg end x y tot tot tot l ll l l l C xy V V ll l − − = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − =⋅ ⋅ + +⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ （2.12） 其中， _ ( ) ( ) ( ) plate C m C mwl m s ms m m = 为第 m 半圈电感与衬底之间的平板电容， 这样有， ( ) 2 1 1 2 2 _ 2 1, 1 1 (, ) 3 y y j yx j n plate jx jx y x m m mm x y tot tot tot l ll l l l C C xy ll l − − = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − = ⋅ + +⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ (2.13) 其中， 2 1, 1 n x y = = ∑ 的意思是将电感中所有的相邻半圈的等效寄生电容不重复地相 加；这样将具体电感结构的相关参数带入就可以得到平面的或者叠层的电感的相 邻线圈之间寄生电容。 电感寄生电容与电感相邻导体之间的串并联结构和电压差相关，求解电感的 寄生电容就是求解相邻导体间的平板电容系数 kc。而为串并联影响因子 ksp 和电 压影响因子 kv 的乘积。下面那就以平面螺旋电感和垂直螺线管电感为例求解上 述参数。 2.3.2 平面螺旋电感的寄生电容定量计算 平面螺旋电感寄生电容贮存的电能分为两部分：贮存在 Cm_s 中的电能 ( , _ spiral ECm s ); 贮存在 Cm_m 的电能（ , _ spiral ECm m ），电感的两个端口的压差为 Vs。这样总 的电感贮存电能表示为：

第二章片上电感的物理模型与特性分析 1 Be-CV =E2+Egmn 1 Cspiraly2 1 Cspiraly2 (2.14) = + 2 m s 因此，电感的等效电容(Cg)表示为， (2.15) 图2.9是具有相同金属线宽、间距以及内外直径的单端和差分平面电感。为 了差分电路的使用，设计了两个信号输入端口完全对称的电感，见图2.9()。 由于差分电感的输入信号方式与单端的不同，寄生电容的计算要格外注意。（差 分电感定义为，在几何上两个电感宽口看进去完全对称，而且两个端口的驱动信 号是差分信号) Cm_m_symmetric Cm_m_symmetric Cm_m_se_spiral v.9 2Cm_s Cm_s Cm_s Cms (a) (b) (c) 图2.9具有相同金属线宽、间距以及内外直径的平面电感：(a)差分驱动对称电感(DSP),(b) 单瑞驱动对称电感(SSP,(c)单端电感(SEP).(注释：123456是电感中的电流方向，也可 以说是交流电压由高到底的方向，也是人为定义的半圈电感的序列号：标注的电容为电感的 寄生电容) 从图2.9()可见，对称的差分电感不再是顺序的螺旋结构，而是两个端口看 进去的两个常规螺旋电感拼接而成，电感的几何形状完全对称，几何的对称确保 了电学的对称，在差分驱动的时候，电感的对称中心信号电压为零。该中心接地 (直流电压)与否这一点都可以理解为信号地。为了便于理解，图210画了n 圈电感的电压剖面和分布电容。 23

第二章 片上电感的物理模型与特性分析 23 ( ) 2 , ,_ ,_ 2 2 _ _ 2 _ _ 1 2 1 1 2 2 1 2 C total eq s spiral spiral Cm s Cm m spiral spiral mm s ms s spiral spiral mm ms s E CV E E CV CV CCV = = + = + = ⋅+⋅ (2.14) 因此，电感的等效电容( spiral Ceq )表示为， _ _ spiral spiral spiral CCC eq m m m s = + (2.15) 图 2.9 是具有相同金属线宽、间距以及内外直径的单端和差分平面电感。为 了差分电路的使用，设计了两个信号输入端口完全对称的电感，见图 2.9(a)。 由于差分电感的输入信号方式与单端的不同，寄生电容的计算要格外注意。（差 分电感定义为，在几何上两个电感宽口看进去完全对称，而且两个端口的驱动信 号是差分信号） 1 2 + Vs 1 2 − Vs Vs Vs Signal Ground 1 5 3 4 2 6 1 5 3 4 2 6 1 2 3 6 4 5 Cm_m_symmetric Cm_m_symmetric Cm_m_se_spiral Cm_s Cm_s 0 Cm_s Cm_s 1 2 1 2 Signal Ground (a) (b) (c) 图 2.9 具有相同金属线宽、间距以及内外直径的平面电感：(a)差分驱动对称电感(DSPI); (b) 单端驱动对称电感(SSPI); (c) 单端电感 (SEPI). (注释：123456 是电感中的电流方向，也可 以说是交流电压由高到底的方向，也是人为定义的半圈电感的序列号；标注的电容为电感的 寄生电容) 从图 2.9 (a)可见，对称的差分电感不再是顺序的螺旋结构，而是两个端口看 进去的两个常规螺旋电感拼接而成，电感的几何形状完全对称，几何的对称确保 了电学的对称，在差分驱动的时候，电感的对称中心信号电压为零。该中心接地 （直流电压）与否这一点都可以理解为信号地。为了便于理解，图 2.10 画了 n 圈电感的电压剖面和分布电容