《高等量子力学》课程教学资源（讲义）高等量子力学讲义（二）

y D+ B dy A dx X 3)正则量子化 Dirac, 1925:经典力学系统的量子化 分析力学的Poisson括号→量子力学的对易关系 -器影器)·a-的 例如， [x,p,]=6→[，户]=ih6。 4)坐标表象 的矩阵元： (民利》=（民-元）=无（民-元）为对角矩阵 由 i(d)B)=1-1i-d ) 花 i()=dx)在-)=∫dx(p-.() =B)-d(d'x(B) B〉=「dx(-ihv)), (alB)=∫dx(al(-)) 取(=（民，B)=民），得动量算符在坐标表象的矩阵元： 〉=「dx(民(-)〉=(-i)6(民-无) 再取(a=l)=)

3 3）正则量子化 Dirac， 1925： 经典力学系统的量子化 分析力学的 Poisson 括号  量子力学的对易关系     1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , P s ss ss AB AB A B A B AB BA qp pq i i                      例如， , , ˆ ˆ i j ij i j ij P   xp xp i        。 4）坐标表象 ˆ x  的矩阵元： 1 2 212 112 ˆ x xx x x x x x x      ( )( )         为对角矩阵 由 ˆ ˆ () 1 i T dx p dx              和   3 3 3 ˆ( ) T dx d x x x dx d x x x dx x dx d x x x                            有     3 3 ˆ , ˆ p dxx i x p dx x i x                   取 1 2     x , x   ，得动量算符 ˆ p  在坐标表象的矩阵元：      3 1 2 1 2 1 12 ˆ x px dxx x i xx i x x                   再取 1     x , p   ， y x A C dx dy D B

(民创)=∫dx(-h)〉=(v)民〉 即 (医）=(-)低〉 解此一级常微分方程得，动量本征态在坐标表象的表示是平面波， (倒)=Ne l)=可dp民l)=∫fplNf ei- 6(民-元)=Nf(2πj'6(民-元) -m) 1 有 5)动量表象 的矩阵元： (可〉=币（历-）为对角矩阵 (制)=∫dxdx,())) =∫dxd'x 词- jp2的-2aama-a 注意这里是对动量的微分。 坐标算符本征态在动量表象的形式 -a 1 例1：在坐标表象证明元，户为厄米算符。 X=8(x, x=(飞）广=(x-x)x)广=2-xx=6-X=x A.---a2-

4     3 1 1 11 ˆ x pp dxx x i xp i x p                 即 px p i x p 1 11          解此一级常微分方程得，动量本征态在坐标表象的表示是平面波， i p x x p Ne        由        2 1 ( ) 2 3 3 21 2 1 2 3 12 12 3/2 2 1 2 i px x x x d p x p px d pN e xx N xx N                          有  3/2 1 2 i p x x p e          。 5）动量表象 ˆ p  的矩阵元： 1 2 112 ˆ p pp p p p    ( )      为对角矩阵 由           11 2 2 2 11 2 11 3 3 1 2 1 11 1 2 2 2 2 3 3 1 2 2 12 3 () () 3 3 1 1 1 1 112 3 3 ˆ ˆ 1 2 1 1 = ( ) 2 2 i i px p x i i p px p px p x p d xd x p x x x x x p d xd x e x x x e d x xe d x i e i p p                                                   注意这里是对动量的微分。 坐标算符本征态在动量表象的形式   * 3/2 1 2 i p x px x p e            。 例 1：在坐标表象证明 xˆ ， pˆ 为厄米算符。 1 2 1 21 ( ) x x x    x xx ，     12 21 1 2 2 12 2 12 1 21 () ()() x x xx x x x x x xx x xx x xx x              1 2 12 12 1 12 () () x x p i xx i xx x xx                        

R-广-2-j-a2e-ra网小n-n 故和户均为厄米算符。 例2：在坐标表象计算[民，门 动-xch- -可（会sk》%l分都积分） -(品se可}sl (分部积分) 同理可证， 可aka-a会a小-n+m会}al。 故 [氏，=访。 说明：对易关系不依赖于表象。 由不确定关系，坐标与动量不可能同时有确定值。例如，在动量本征态，动量有确 定值，(p(△)p〉=0，但坐标取值为x的几率是 说明粒子在-0<x<0出现的几率处处相等，坐标的取值完全不确定，方差 (pl(△)lp〉=o。 例3：最小不确定波包。 要在不确定关系（△△）》≥A])取等号，得到最小不确定度，态必须满 足： 1)在Schwarz不等式中取等号(aaXa)=《ai△B: 2)Re(△4A8)=0. 1)的解是△Bw)=cA4w),c为常数：

5   12 21 1 2 21 21 12 21 21 12 () () () () () () x x xx x x p p i xx i xx i xx p xx xx xx                                           故 xˆ 和 pˆ 均为厄米算符。 例 2：在坐标表象计算 xˆ ˆ , p     1 2 1 1 2 2 1 21 1 1 2 2 1 1 2 11 1 2 2 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ˆˆ ˆ ˆ - () - ( ) - - xp dx dx x x x p x x dx dx x x i x x x x dx dx i x x x x x x dx i x x x dx x x i x x x                                            （分部积分） （分部积分） 同理可证， 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 pˆ ˆx dx x i x i x x i dx x x i x = x x                        ， 故  xˆ ˆ , p i   。 说明：对易关系不依赖于表象。 由不确定关系，坐标与动量不可能同时有确定值。例如，在动量本征态，动量有确 定值，  2 ppp   ˆ 0 ，但坐标取值为 x 的几率是 2 2 1 2 i px x p e const      ， 说明粒子在     x 出现的几率处处相等，坐标的取值完全不确定，方差  2 pxp   ˆ 。 例 3：最小不确定波包。 要在不确定关系     2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 A B AB i             取等号，得到最小不确定度，态必须满 足： 1）在 Schwarz 不等式中取等号     2 2 2     A B AB ˆ ˆ ˆ ˆ ； 2）Re 0   A B ˆ ˆ 。 1）的解是   B cA ˆ  ˆ  ， c 为常数；

2)即Rcca)》=0,由于a）是实数，故c=a,a为实数。 即 (B-(训w=a(a-(aw 这就是最小不确定性对态四）的限制。取 A=,B=p, (p-(p)w）=a(住-(x)川w） 进入坐标表象，有 （h最-r=a(-6p6.v=) 解为v)=eg。供 是坐标空问的Gaussian波包。 例4：已知在坐标表象的态w)= Le%(氢原子基态)，求动量的平均值。 √πa 由于(w)不是平面波，动量无确定值，取动量为户的几率是K”州， (lw)-∫dF()w)=dF}(w) r或”a等 由于（四）只与动量大小有关，动量大小的平均值 =中pKa ∫pKlv

6 2）即  2 Re 0 ˆ c A         ，由于  2 Aˆ 是实数，故c ia  ， a 为实数。 即     B B ia A A ˆ ˆ    ˆ ˆ  ， 这就是最小不确定性对态  的限制。取 ˆ A x  ˆ ， ˆ B  pˆ ，   p p ia x x ˆ ˆ       进入坐标表象，有       d ˆ , dx i p x ia x x x x x            -  解为    2 2 x x p x a i  x Ae e      ， 是坐标空间的 Gaussian 波包。 例 4：已知在坐标表象的态 0 / 3 0 1 r a r e a      （氢原子基态），求动量的平均值。 由于 x   不是平面波，动量无确定值，取动量为 p  的几率是 2 p   ， * 3 3 p dr pr r dr r p r                 0 3/2 3 / 0 3/2 2 22 3 0 0 1 1 2 2 ( ) i p r r a a dr e e   a  a p        ￾       。 由于 p   只与动量大小有关，动量大小的平均值 2 3 2 2 dp p p p dp p p       

第二章：量子动力学 本章讨论量子力学中的态和力学量的时间演化。在非相对论量子力学中，与其它力学量 用算符表示不一样，时问只是一个参量，仍然是一个经典量，不是算符。 1.时间演化和Schroedinger方程 1)时问演化（平移）算特 初始态： a.to) 从，到1的时间演化： la,）=0,)a,o） 将|a,o)和a,)按算符A的本征态a)展开 la,)=∑la(ala,o) la,）=∑laaa,i） 显然，处于某一确定本征态的几率不一定守恒 Kaa,f≠Kaa,f。 但由归一化条件 (a,a,=(a,oa,o〉=1， 有总的几率守恒 ∑Kala,f=∑ala,f=l 和时间演化算符是么正算符 u,4)0u,6)=1. 要求时间演化的结合律： 042,6)=042,4)04,6)(62>4>6). 无限小时间演化算符可写成 0%。+d,o)=1-2d, 0的么正性心0=1要求是厄米算符 0=0. 考虑到0无量纲，具有频率量纲，由Planck-Einstein的能量频率关系E=ho,可令， =户1h

1 第二章：量子动力学 本章讨论量子力学中的态和力学量的时间演化。在非相对论量子力学中，与其它力学量 用算符表示不一样，时间只是一个参量，仍然是一个经典量，不是算符。 1. 时间演化和 Schroedinger 方程 1）时间演化（平移）算符 初始态： 0 ,t 从 0t 到t 的时间演化： 0 0 ˆ   , (, ) , t Utt t  将 0 ,t 和 ,t 按算符 Aˆ 的本征态 a 展开 0 0 , , , , a a t aa t t aa t         显然，处于某一确定本征态的几率不一定守恒， 2 2 0 at at   , ,  。 但由归一化条件 0 0    ,, , , 1 tt t t   ， 有总的几率守恒 2 2 0 , ,1 a a   at at     和时间演化算符是么正算符 0 0 ˆ ˆ U tt Utt (, ) (, ) 1   。 要求时间演化的结合律： 20 21 10 2 1 0 ˆ ˆˆ Ut t Ut tUt t t t t ( , ) ( , ) ( , ) ( )   。 无限小时间演化算符可写成 0 0 ˆ ˆ U t dt t i dt ( ,)1    ， Uˆ 的么正性 ˆ ˆ U U 1   要求ˆ 是厄米算符， ˆ ˆ    。 考虑到Uˆ 无量纲，ˆ 具有频率量纲，由 Planck－Einstein 的能量频率关系 E   ，可令， ˆ ˆ   H / 