第一章、粒子数表象 在本章中，我们将介绍如何更有效地处理全同粒子体系的对称性引起的符 号问题。首先，我们引入一些记号. $1.0置换及其奇偶性 将整数列(1,2,3，·，V)的任意一个重新排列称为一个置换，记作 A=(阳品P) (1) 这里，P()为将整数k置换后所得的数。例如，在置换 -(G88) (2) 中，我们有P(1)=4,P(2)=1,P(3)=5,P(④=2和P(⑤)=3。显然全部置换 的总数等于N个数全部排列的个数，即N!. 下面的置换值得特别一提， =(G…0) (3) 这种置换称为对换，记作（化，）。特别是当方-k+1时，对换（化，k+1)称为 一个相邻对换或轮换， 两个置换户与户的乘积定义为 (n)nn )(nd)nan) -(R0RR）=A (4) 它也是一个置换。例如 (G88)688)-(68) (5) 有了置换乘积的定义之后，我们可以证明，任何一个置换都可以写成相邻对 换的乘积。例如 3231)=3,4233,40,2B,42384231223— (6) 1
45 9( 0 ?BEZwP[C:/ 1 |fu1jz`g|y_-$y -vfVw-;# E- $ 1.0 7"#!1 PNY (1, 2, 3, · · · , N) y8*#\ _r#Y9Eh Pˆ = 1 P(1) 2 P(2) 3 P(3) · · · · · · N P(N) ! . (1) Iv P(k) rPNY k Y94`xyYx:?Y9 Pˆ = 1 4 2 1 3 5 4 2 5 3 (2) Zw1 P(1) = 4, P(2) = 1, P(3) = 5, P(4) = 2 . P(5) = 3 41TY9 ybYz4 N Y1T yYA N! ~yY9TxdM#e Pˆ = 1 1 2 2 · · · · · · k j · · · · · · j k · · · · · · N N ! . (3) I[Y9_r9Eh (k, j) dMRt j = k + 1 I9 (k, k + 1) _r #9= 9 }Y9 Pˆ 1 6 Pˆ 2 ya?+r Pˆ 1Pˆ 2 = 1 P1(1) 2 P1(2) · · · · · · N P1(N) ! 1 P2(1) 2 P2(2) · · · · · · N P2(N) ! = 1 P3(1) 2 P3(2) · · · · · · N P3(N) ! ≡ Pˆ 3. (4) a!R#Y9x: 1 4 2 5 3 2 4 1 5 3 1 3 2 1 3 5 4 2 5 4 = 1 2 2 4 3 3 4 5 5 1 . (5) 1Y9a?y+R4wl'P8/#Y9l'Æ` 9ya?x: 1 3 2 2 3 4 4 1 = (3, 4)(2, 3)(3, 4)(1, 2)(3, 4)(2, 3)(3, 4)(2, 3)(1, 2)(2, 3). (6) 1
它称为一个置换的相邻对换乘积分解。一般而言，这一分解不是唯一的。但 是，任一分解的奇偶性是确定的。因此，若一置换可以分解成奇数个相邻对 换的乘积，我们称其为奇置换。否则称为偶置换。 一个要特别指出的事实是，若定义一个置换P的奇偶性为(-1)P,则将其 第二行任意两个数对换后所得的置换的奇偶性为(-1)户+1。 最后，我们讨论一个数列分割的问题.若将按数列1,2,3，…，N编号的球 放到m个碗中，并要求第一个碗中有m1个球，第二个碗中有2个球，第m 个碗中有nm个球（自然，我们要求n1+n2+…+nm=N),问一共有多少种 不同的放法？答案是 N！ K=nn2 (7) $1.1单粒子态 一个量子力学系统，在特定的边条件下，其定态Schrǒdinger方程的全部正 交归一本征解给出了一个完备函数族。特别是在略去了粒子之间的相互作用 之后，单体定态Schr心dinger的本征函数族{n(e)》,可以用来近似地描写粒子 之间相互作用较弱时的多粒子态。为了回顾我们在本科量子力学课程中学到 的有关单粒子态的知识，让我们先来看两个例子。 例11：考虑一个正方盒子，设其边长为L,当一个粒子在盒内运动时，其 定态Schrodinger方程为 六（品+器+）0=o © 这个方程的通解为 p(r)=Ck exp(k·r). 9 为了确定k及归一化常数Ck，我们需要加上适当的边条件。常用的边条件 为所谓周期性边条件，即要求)在两两相对的盒壁上取相同的值。例如在 x方向的两个盒壁上，我们要求 (侵=（台 (10) 2
a_r#Y9y9a?Y#> I#YRRq#ys R8#Yy# R2y,i<#Y9l'Y`#Y 9ya?w_"r#Y9A_r Y9 # dMUdyPKR<+#Y9 Pˆ y# r (−1)Pˆ AP" } 8*}Y94`xyY9y# r (−1)Pˆ+1 f4w #Yyvf<P;Y 1, 2, 3, · · · , N G-y+ v m oZN ,}#oZ1 n1 +} oZ1 n2 +} m oZ1 nm + (a4w , n1 + n2 + · · · + nm = N) v#"1B[ Rjy n<R K = N! n1!n2! · · · · · · nm! . (7) $ 1.1 Æ8* #~`{|k?dyFhO~"b Schr¨odinger by1TO R)#BMY d#n,YddMR?0z`RLy5h/ R4qgb Schr¨odinger yBM,Yd {ψn(x)} l'/s_\|Æz` RL5h/U=Iyz`br:%w?Bk~`{obZv y1'qz`byQL5wsi}x` 1.1: j#O1`D"F\r L t#z`?1=I" b Schr¨odinger br − h¯ 2 2m ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 ! ϕ(r) = Eϕ(r). (8) IbyiYr ϕ(r) = Ck exp (ik · r). (9) r2 k )#6[Y Ck w IStyFhO[/yFhO r`u℄!FhOA , ϕ(r) ?}}y1E.jyTx:? x y}1Ew , ϕ L 2 , y, z = ϕ − L 2 , y, z . (10) 2
由看我们例到 exp(k5+vy+k=ep（-ik与+iky+k) (11) 或是 exp(ikzL)=1. 12 这就要求 k=2,%=0h2… 同理，我们例到k,及k:可取的案许部为： =艺后-2m%=0,1,2 14 因看，这个体系单粒成态的全体由下式给出 Pmm)(,)=C xp(2五nr+ng+n） (15) 最后，我们由下式决定归一化常数C [%[Raaanle,u.r -n4f=we-i (16) 由看我们解例C=办=六定而当(，n2m)≠(a,2,)时，我们有 ar饭司 =0. (17) 因看，一组正交归一的单粒成态由下式给出 9mz,刘=市ep(径mt+ay+n%)） 1 (18) 3
0iwxv exp ikx L 2 + ikyy + ikzz = exp −ikx L 2 + ikyy + ikzz , (11) =R exp (ikxL) = 1. (12) Ia , kx = 2π L nx, nx = 0, ±1, ±2, · · · · · · (13) juwxv ky kz l.y<Tr ky = 2π L ny, kz = 2π L nz, ny, nz = 0, ±1, ±2, · · · · · · (14) ,iIg|qz`by1g0~N d ϕ(nx,ny,nz)(x, y, z) = Cnx,ny,nz exp i 2π L (nxx + nyy + nzz) . (15) f4w0~Nf)#6[Y Cnx,ny,nz Z L/2 −L/2 Z L/2 −L/2 Z L/2 −L/2 dxdydz|ϕ(n1,n2,n3)(x, y, z)| 2 = Z L/2 −L/2 Z L/2 −L/2 Z L/2 −L/2 dxdydz|Cnx,ny,nz | 2 = |Cnx,ny,nz | 2L 3 = 1. (16) 0iwYx Cnx,ny,nz = √ 1 L3 = √ 1 V t (n1, n2, n3) 6= (ne1, ne2, ne3) Iw1 Z L/2 −L/2 Z L/2 −L/2 Z L/2 −L/2 dxdydz ϕ(n1,n2,n3)(x, y, z) ∗ ϕ(en1,en2,en3) (x, y, z) = 1 V Z L/2 −L/2 Z L/2 −L/2 Z L/2 −L/2 dxdydz exp (i(n1 − ne1)x + i(n2 − ne2)y + i(n3 − ne3)z) = 0. (17) ,i#eOR)#yqz`b0~N d ϕ(n1,n2,n3)(x, y, z) = 1 √ V exp i 2π L (n1x + n2y + n3z) . (18) 3
这里，量子数m1,2,g=0,士1，士2，…。当粒子同时有自旋自由度时，我 们可将体系的单粒子态改写为 we)=即（受ar+g+)) 1 e名=不即(2mr+a+m)们） (19) 下面，我们用记号k=(,2,n3,o)来简记本征态的量子数，而用q来标记 其自由度（红，弘，云，s,$)。当我们对q积分时，∫g应理解为对r求积分，而对 内部自由度求和，利用Kronecker符号，我们可将单粒子态的正交归一条件写 成 da pi (q)pa(q)=8mka. (20) 例1.2：在一维谐振子势V(x)=w2x2中运动的粒子的全部定态本征函数 可被写作： -(偿)”ma(6骨.-012 (21) 其中Hn(x)为厄密多项式。它们是Schrǒdinger方程 2m惊a)+2mu2ra(回)=E(回 n2 d (22) 在无穷远处为零的正交归一解。按照量子力学的基本原理，Schrodinger方程 (22)的任何一个解，都可以按照这些函数作展开，即 红，)=∑am.倒ep(-会) (23) 最后，我们要介绍一个下面常要用到的恒等式 ∑Pe9)piq）=∑4 lq）)=6r-r)6,s=i4-q. (24 证明：按照Dirac函数的定义，对于任何一个单粒子波函数p(q,t),恒等 式 dav(a.t)6(d-)=(d,t) (25) 4
Iv~`Y n1, n2, n3 = 0, ±1, ±2, · · · · · · tz`jI1aa0Iw lPg|yqz`bÆr ϕe(n1,n2,n3,↑)(x, y, z, ↑) = 1 √ V exp i 2π L (n1x + n2y + n3z) 1 0 ! ϕe(n1,n2,n3,↓)(x, y, z, ↓) = 1 √ V exp i 2π L (n1x + n2y + n3z) 0 1 ! . (19) ~w/E- k = (n1, n2, n3, σ) sMEBMby~`Y / q sKE "a0 (x, y, z, s, sz) tw q ?I R dq .uYr r ,? Ta0,.w/ Kronecker -wlPqz`byOR)#hOÆ ` Z dq ϕ∗ k1 (q)ϕk2 (q) = δk1,k2 . (20) 1.2: ?#s K`Q V (x) = 1 2mω2x 2 Z=yz`y1TbBM,Y lAÆh ψn(x) = mω πh¯ 1/4 1 2 n/2 √ n! e −mωx2/2¯hHn x rmω h¯ , n = 0, 1, 2, · · · (21) "Z Hn(x) r NaR Schr¨odinger b − h¯ 2 2m d 2 dx2 ψn(x) + 1 2 mω2 x 2ψn(x) = Enψn(x) (22) ?x*;fryOR)#Y;G~`{y>B9u Schr¨odinger b (22) y8/#Yl';GI ,YhBhA ϕ(x, t) = X n anψn(x) exp −i En h¯ t . (23) f4w [C#~[ /vy3zN X k ϕk(q ′ )ϕ ∗ k (q) ≡ X k hq ′ |ϕkihϕk|qi = δ(r ′ − r)δs ′s ≡ δ(q ′ − q). (24) 6 ;G Dirac ,Yy+48/#qz`Q,Y ϕ(q, t) 3z N Z dq ϕ(q, t) δ(q ′ − q) = ϕ(q ′ , t) (25) 4
成立。又由于 plg,=∑as(g)ep(-元Et) (26) 我们有 ∫西E%运E%oe即( (d)o.exp()davi.(a)e.() =于于%ae,e即( =∑，(g)ep（E =(g,t). (27) 这样，我们就验证了恒等式(24)。 $1.2全同粒子波函数 现在，我们考虑体系内有N个全同粒子时的情况。很自然，同单粒子时的 情况一样，N个粒子的一般波函数应该可以按照一组正交归一函数展开，即 (g,92,…,9N)=∑C1(g,g,…,9N） (28) 这里，{}的选取，应该满足以下几个条件 (1)正交归一； (②)体现体系是由N个单粒子组成的； (③)满足全同粒子体系应该满足的统计规律。 对于第三个条件，我们做一点说明。根据量子力学的基本原理，若全同粒 子体系是由玻色子组成的，则波函数应该满足 (91,,9,…,9,…,9N）=(91,…,,…,9,…,9w (29 而对于费米子体系，则要求 (q1,…,g,,,…,9N)=-(q1,…,g,…,9,…,qN) (30) 5
`y304 ϕ(q, t) = X k akϕk(q) exp − i h¯ Ekt , (26) w1 Z dq X k1 ϕk1 (q ′ )ϕ ∗ k1 (q) X k2 ak2ϕk2 (q) exp − i h¯ Ek2 t = X k1 X k2 ϕk1 (q ′ )ak2 exp − i h¯ Ek2 t Z dqϕ∗ k1 (q)ϕk2 (q) = X k1 X k2 ϕk1 (q ′ )ak2 exp − i h¯ Ek2 t δk1,k2 = X k1 ak1ϕk1 (q ′ ) exp − i h¯ Ek1 t = ϕ(q ′ , t). (27) I wa P3zN (24) $ 1.2 $,8 ' ?wjg|1 N 1jz`Iy)r2a4jqz`Iy )r# N z`y#>Q,Y.l';G#eOR)#,YBhA ψ(q1, q2, · · · , qN ) = X l Clψl(q1, q2, · · · , qN ). (28) Iv {ψl} y.. '~ChO (1) OR)# (2) gg|R0 N qz`e`y (3) 1jz`g|. ykD( 4}>hOwg#~[ ~`{y>B9u<1jz `g|R0O?`e`yAQ,Y. ψ(q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = ψ(q1, · · · , qj , · · · , qi , · · · , qN ). (29) 4`g|A , ψ(q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = −ψ(q1, · · · , qj , · · · , qi , · · · , qN ). (30) 5