(+d.)=1-fdt. 2)时问演化方程 由时间演化算符的结合律： d+d,)=0u+d,0u,)=l-it06o. 即 0u+d6)-0u2=-i0u,o) h0iu,=i0u) 这就是量子力学的基本时间演化方程。 将方程右乘初始状态a,l〉，有 h。u,6la,）=i心u4la.4） h马1a,)=la,) 这就是态的时间演化方程，Schroedinger方程。 下面讨论基本演化方程的解。如果哈密顿算符不含时间，例如在沿Z方向常磁场中的磁 相互作用户~jB, 0u,6)=e- 如果哈密顿算符含时间，但不同时间的户对易，例如磁场强度变化但方向不变时的磁相互作 用i)-jB0, (V.t)e 如果哈密顿算符含时间，且不同时间的户不对易，例如磁场强度和方向都变化时的磁相互作 用0-j.0), iu=1+2Afj-了w.fifiv） 称为Dyson级数。 以下主要考虑哈密顿算符不含时间的情形
2 0 0 ˆ ˆ ( ,)1 i U t dt t Hdt 。 2）时间演化方程 由时间演化算符的结合律： 00 0 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ( , ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ) i U t dt t U t dt t U t t Hdt U t t ， 即 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ( , ) (, ) ˆ ˆ(, ) ˆ ˆˆ (, ) (, ) U t dt t U t t i HU t t dt i U t t HU t t t 这就是量子力学的基本时间演化方程。 将方程右乘初始状态 0 ,t ，有 00 00 ˆ ˆˆ (, ) , (, ) , ˆ , , i U t t t HU t t t t i tHt t 这就是态的时间演化方程，Schroedinger 方程。 下面讨论基本演化方程的解。如果哈密顿算符不含时间，例如在沿Ｚ方向常磁场中的磁 相互作用 ˆ ˆ H JB z ， 0 ˆ ( ) 0 ˆ(, ) i H t t Utt e ， 如果哈密顿算符含时间，但不同时间的 Hˆ 对易，例如磁场强度变化但方向不变时的磁相互作 用 ˆ ˆ () () Ht JBt z ， 0 ˆ ( ') ' 0 ˆ(, ) t t i H t dt Utt e ， 如果哈密顿算符含时间，且不同时间的 Hˆ 不对易，例如磁场强度和方向都变化时的磁相互作 用 ˆ ˆHt J Bt () () ， 1 1 00 0 0 12 1 2 1 ˆ ˆˆ ˆ ( , ) 1 ... ( ) ( )... ( ) n n t t t n n n tt t i U t t dt dt dt H t H t H t ， 称为 Dyson 级数。 以下主要考虑哈密顿算符不含时间的情形
3)定态 如果体系初始时处于哈密顿算符户的本征态， |a,o)=E),E)=EE〉， la,）=e0-w'1a,}=e-w'1a,6） 表明态随时间的变化只改变一个相位，任意力学量A的平均值 a.a.)=(a.lieia.)=(a.a.) 不随时间变化。故称能量本征态为定态. 如果体系初始时不处于定态，则t时刻处于定态E)的几率幅 (Ea,=(Ee1a,=e-(Ea,6) 几率 KEla.1)=KEla.t) 不随时间改变。任意时刻处于定态的几率与初始时相同。说明：如果体系初始时处于定态， 则永远处于定态，如果体系初始始不处于定态，则永远不处于定态， 4)电子自旋进动 考虑电子自旋磁矩与外磁场相互作用。设外磁场在乙方向， i-品=思=成，a=品0 时间演化算符 0(.0)=e=e ,户有共同本征态s) 小s)=±》.ls)=±l》 设体系初始时处于三的本征态)， a=-方)+方以 在任意时刻，态 a,=0u,0la,0:
3 3）定态 如果体系初始时处于哈密顿算符 Hˆ 的本征态， 0 0 0 ˆ () () 0 0 ˆ , , , ,, , i i Ht t Et t t E HE EE te t e t 表明态随时间的变化只改变一个相位，任意力学量 Aˆ 的平均值 0 0 () () 0 0 00 ˆˆ ˆ ,, , , , , i i Et t Et t t A t t e Ae t t A t 不随时间变化。故称能量本征态为定态。 如果体系初始时不处于定态，则 t 时刻处于定态 E 的几率幅 0 0 ˆ () () 0 0 ,,, i i Ht t Et t E t Ee t e E t 几率 2 2 0 Et Et , , 不随时间改变。任意时刻处于定态的几率与初始时相同。说明：如果体系初始时处于定态， 则永远处于定态，如果体系初始始不处于定态，则永远不处于定态。 4）电子自旋进动 考虑电子自旋磁矩与外磁场相互作用。设外磁场在 Z 方向， ˆ ˆ ˆ ˆ , 0 z z e eB eB H sB s s mc mc mc 时间演化算符 ˆ ˆ ˆ( ,0) z i i Ht s t Ut e e ˆ ˆ ,z s H 有共同本征态 z s ˆ ˆ , 2 2 zz z z z s s s Hs s 。 设体系初始时处于 ˆx s 的本征态 x s ， 1 1 ,0 2 2 x z z s ss ， 在任意时刻，态 ˆ , ( ,0) ,0 t Ut
体系处于s)的几率为 sef-a方小（后）*方引 方方方宁+方s=s号 由几率守恒，体系处于态s)的几率， la.)=1-sla.=sin2 在任意时刻的平均值 )=a,小，la=∑kla=sla,f-Ksaf {ow受-sm}-osm 同理， (，传)-sinot ()=0 y 平均值()在自旋空间的时间演化类似于经典力学中的Larmor进动，o称为Larmor频率 5)能量时问不确定关系 由 (r）≥分
4 体系处于 x s 的几率为 2 2 ˆ 2 2 2 2 11 11 , 22 22 11 1 1 cos 22 2 2 2 z i s t x zz zz i i t t zz z z s t s se s s t s s e s es 由几率守恒，体系处于态 x s 的几率， 2 2 2 , 1 , sin 2 x x t st st ， 在任意时刻的平均值 2 22 2 2 ˆ ˆ ,, , , , 2 2 cos sin cos 2 2 22 x x x xx x x s s ts t s s t s t s t t t t 同理， ˆ sin 2 ˆ 0 y z s t s 平均值 ˆ s 在自旋空间的时间演化类似于经典力学中的 Larmor 进动， 称为 Larmor 频率。 5）能量时间不确定关系 由 2 2 2 ˆ ˆ 4 x p
有 M=《 由狭义相对论 x=(化，x,P(Ep) 可猜想 a证≥ 即能量时问不确定关系。 但是，在经典力学→量子力学中，x,P,E→元，户，月，但1仍然是一个经典量。那么，△ 是什么意思？ a〉-a-(a）《）= 对于任意力学量ò，由 (⊙)0=a,ola,, o-(层a小oe小+a9a小+ao层a小 a小=lz小， (.( 何-aioa小+aa+aoaa) a-(阅 若力学量ò不显含时间， ⊙)6.]》， 那么，0，户的不确定关系为 wXw-(io.m-9】
5 有 2 x p ， 2 A Aˆ 由狭义相对论 x t x, = ， p=E p, ， 可猜想 2 t E ， 即能量时间不确定关系。 但是，在经典力学量子力学中， ˆ x,, ,, pE xpH ˆ ˆ ，但t 仍然是一个经典量。那么，t 是什么意思？ 2 2 H HH ˆ ˆˆ ， 2 t ? 对于任意力学量Oˆ ，由 O ,O , ˆ ˆ t tt ， 有 Oˆ O , O , , , ,O , ˆˆ ˆ d t tt tt t dt t t t 由 ˆ ,, i tHt t ， ˆ i t tH , , t ， 有 ˆ 1 O1 O , ,, , , , ˆˆ ˆ ˆ ˆ d t HO t t t t OH t dt i t i ˆ 1 O ˆ ˆ O H, i t = 若力学量Oˆ 不显含时间， 1 O , ˆ ˆ ˆ d O H dt i = ， 那么，Oˆ ， Hˆ 的不确定关系为 2 2 2 2 2 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 4 d O O H OH i dt ， ˆ 2 d O O E dt
若取 4rog6刨 MAE≥ 故，△的物理意义是力学量O的平均值变化一个标准方差△O所需的时间，显然，△1与 所测力学量ò有关， 例：在定态，A正=0，但⊙)在定态与时同无关.品⊙)=0，A=a0层何例m
6 若取 ˆ = / d O t O dt ， 有 2 t E 。 故，t 的物理意义是力学量Oˆ 的平均值变化一个标准方差O 所需的时间。显然，t 与 所测力学量Oˆ 有关。 例： 在定态， 0 E ，但 Oˆ 在定态与时间无关， O 0 ˆ d dt ， = O/ Oˆ d t dt