《高等量子力学》课程教学资源（讲义）高等量子力学讲义（二）

定义：用方差的乘积《）△〉指述A店之间测量的不确定度。如何估计这个不确 定度？ 显然，对任意的态a),B)和任意的复数1，线性组合态a)+B)的内积 (《a+(Blx)la+B)≥0 取 器 (ala)BlB\≥aB(Schwarz不等式) 令 |a=△4Ψ)，|B)=△BΨ〉 有 a4a）≥aiB。 为 Ka-Re(aia+a(aij≥a(ai-(ai-(i订 )X）≥a-(a8 等号对应Schwarz不等式取等号和（△4AB)的实部为零 必 (AB(v(B-(B)(B)-(B (△B△）=B-(a-(a=(B）-(a) 故 X）≥a可， 说明：两个力学量的不确定度由它们的对易关系和态w)控制。 5.表象变换 选取合适的表象可简化计算。不同表象的基矢之间的变换称为表象变换

4 定义：用方差的乘积     2 2   A B ˆ ˆ 描述 ˆ ˆ A, B 之间测量的不确定度。如何估计这个不确 定度？ 显然，对任意的态  ,  和任意的复数 ，线性组合态     的内积    *       0 取        ， 有 2      （Schwarz 不等式） 令 ˆ ˆ       A B , 有     2 2 2     A B AB ˆ ˆ ˆ ˆ 。 因 为         2 2 22 2 1 * ˆ ˆ Re Im Im ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 AB AB AB AB AB AB i                 故       2 2 2 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 2 A B AB BA i            ， 等号对应 Schwarz 不等式取等号和 A B ˆ ˆ 的实部为零。 由          A B A A B B AB A B ˆ ˆ ˆ ˆ   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ          Bˆ A B B A A BA B A ˆ   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ 故     2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 A B AB i             ， 说明：两个力学量的不确定度由它们的对易关系和态  控制。 5. 表象变换 选取合适的表象可简化计算。不同表象的基矢之间的变换称为表象变换

设有两个表象： 1表象：基失)，)=以 M表象：基矢m),m〉=mm) lm）=∑m)=∑S） 表象变换矩阵S, Sn=m） 是M表象的基矢在I表象的表示。 1)任意失量的变换 I表象：a)=∑lila), a)是矢量la)在l）方向的分量，或称a)在I表象的表示。 M表象：la-∑lm)(mla） (ma是失量|a在m)方向的分量，或称a)在M表象的表示。 (mla）-∑(ml)a)-∑my'a-∑sa-∑st(a), 或者写成矩阵形式 a=S'a 2)任意算符的变换 1表象：T,=）, M 表 象 T=m1m-Σ(mlr网-∑m旷4rm-∑sT,5.=∑s7,s 或者写成矩阵形式： TM=S*TS。 3)表象变换矩阵是么正矩阵 (s）,=∑ss=∑ss。=∑mWlm'=∑mml）=）=6, SS*=1, 同理可证：SS=1

5 设有两个表象： I 表象： 基矢 i ， ˆ I i ii  M 表象：基矢 m ，Mˆ m mm  im i i m i im S i     表象变换矩阵 S， im S im  是 M 表象的基矢在 I 表象的表示。 1）任意矢量的变换 I 表象： = i a i ia  ， i a 是矢量 a 在 i 方向的分量，或称 a 在 I 表象的表示。 M 表象： m a m ma   m a 是矢量 a 在 m 方向的分量，或称 a 在 M 表象的表示。 * * im mi i i ii ma mi ia im ia S ia S ia        ， 或者写成矩阵形式 M I a Sa  2）任意算符的变换 I 表象： = ˆ T iT j ij ， M 表象： * * , , ,, == = ˆ ˆ ˆ mn im ij jn mi ij jn ij ij ij ij T mT n mi iT j jn im iT j j n S TS S TS       或者写成矩阵形式： T S TS M I   。 3）表象变换矩阵是幺正矩阵   * * im mj im jm ij ij mm m m SS S S S S i m j m i m m j i j           SS 1   ， 同理可证：S S 1  

故S=S 表象变换矩阵为么正矩阵。 注意S不是厄米矩阵，S≠S。 4)表象变换不政变算符的本征值 设 Tla吵，=a）, 则 Tu la)=S'TiSS"la)=S'Tila),=S'hla)=S'la)=la) 说明：在M表象，本征值仍为乙，。可见，表象变换不改变力学量的取值。 例1：表象变换不改变对易关系。 设在1表象，有 [4,B]=C, 则在M表象， [Av:By]=AuBy-By Aw =S'A,SS'B,S-S*B,SS'A,S =S(4,B-B,4)S =S'CS =Cu 说明：对易关系是量子力学基本关系，不随表象的变化而变化。 例2：表象变换不改变矩阵的求迹。 tr(T)=tr(S'T,S)=tr(SS'T)=tr(T)

6 故 1 S S    表象变换矩阵为幺正矩阵。 注意S 不是厄米矩阵，S S   。 4）表象变换不改变算符的本征值 设 I I I I Ta a   ， 则 M I I II I M I I I IM T a S T SS a S T a S a S a a         说明： 在M 表象，本征值仍为I 。可见，表象变换不改变力学量的取值。 例 1：表象变换不改变对易关系。 设在 I 表象，有  AB C II I ,   ， 则在 M 表象，     , M M MM MM II II II II I M A B AB BA S A SS B S S B SS A S S AB BA S SCS C             说明：对易关系是量子力学基本关系，不随表象的变化而变化。 例 2：表象变换不改变矩阵的求迹。 tr T tr S T S tr SS T tr T   M    I II     

6.坐标表象与动量表象 1)连续谱 与自旋角动量3取分离值不同，坐标京与动量户取值连续。 用坐标或动量的本征态构成连续的坐标或动量表象。 本征方程 到x=xx) plp〉=plp〉 基矢 x), p〉 正交归一化 (xx)=6x-x'), (plp)=6(p-p') 完备性条件 了dx)x=1, dp p)pl=1 对于任意态w）: lw）=∫x)xw〉=∫plpXplv） xw以，(plw)是态w)在坐标和动量表象的具体形式，是连续的列 矩阵。 3维空问： 刹)=到)， 创)=列) 量子力学假设：基本对易关系 [,]=0,[,p,]=0,[,p,]=ih6,i,j=l,2,3 坐标动量不确定关系： aK,r住旷-号 2)空间平移变换 定义空间平移算符 i()=下+) i()w）=i(dx)(w） =∫dx+)(利w） (算符只对矢量起作用) =∫dx)(-lw） (积分变量替换) 取空间无限小平移算符 T()=1-讴. (其中生成元R为厄米算符) 平移变换是一么正算符： i)i()=-派1+派=1（忽略二级无穷小）

1 6. 坐标表象与动量表象 1）连续谱 与自旋角动量 ˆz s 取分离值不同，坐标 xˆ 与动量 pˆ 取值连续。 用坐标或动量的本征态构成连续的坐标或动量表象。 本征方程 xˆ x xx  ， pp pp ˆ  基矢 x ， p 正交归一化 x x xx ' ( ')    ， p p pp ' ( ')    完备性条件 dx x x 1  ， dp p p 1  对于任意态  ：    dx x x dp p p     x p  ,  是态  在坐标和动量表象的具体形式，是连续的列 矩阵。 3 维空间： ˆ x x xx    ， ˆ p p pp     量子力学假设：基本对易关系 ˆ ˆ , 0, , 0, , , , 1,2,3 ˆ ˆ ˆˆ i j i j i j ij      xx p p x p i ij           坐标动量不确定关系：       2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆˆ , 2 4 x x x p xp i           2）空间平移变换 定义空间平移算符 3 3 3 ˆ( ) ˆ ˆ () () ( ( T dx x x dx T dx T dx d x x x d x x dx x d x x x dx                        算符只对矢量起作用） － 积分变量替换） 取空间无限小平移算符 ˆ ˆT dx iK dx ( )1     ＝ （其中生成元 ˆ K  为厄米算符） 平移变换是一么正算符：    ˆ ˆ ˆ ˆ T dx T dx iK dx iK dx ()() 1 1 1            （忽略二级无穷小）

平移变换的结合律： i(底)i(,)=1-派底)1-派=l-派(+底)=i(底+，) 有限平移变换是无限小平移变换的多次操作。 对于任意态w), ()w）=∫dxi())w=∫dx割+(w） =∫dx(任+)l+)w以 i)〉=∫dxi())w）=∫dPxi())w〉 =∫dx()w〉=∫dx+)(w, [民i)]lw）=dx版+)w） =∫dx(w） (已忽略二级无穷小) =w） 故有对易关系「元，i()]= [,哀=i运 如果取平移在x,的方向， &=e, 有 [,]=i间， 与量子力学基本对易关系[，户]=⊙ 比较，有 方=献， 表明动量是平移变换的生成元， =l-有方。 由于 p,p,=0, [i.i]-1-方n1-青冰0， 说明，平移与次序无关，平移步骤A血Cd少B与A少D血B效果一样

2 平移变换的结合律： 1 2 1 2 12 12      ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ T dx T dx iK dx iK dx iK dx dx T dx dx ( )( ) 1 1 1 ( )                   有限平移变换是无限小平移变换的多次操作。 对于任意态  ，   3 3 3 3 3 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () () , ˆˆ ˆ ˆ ˆ () () () ˆ ( ) , ˆ, xT dx d x xT dx x x d x x x dx x d x x dx x dx x T dx x d x T dx x x x d x T dx x x x d x xT dx x x d x x x dx x x                                               3 3 ˆ ( ) ( T dx d x dx x dx x d x dx x x dx                      已忽略二级无穷小） 故有对易关系 ˆ ˆ   x, ( ) T dx dx     ＝ 即 ˆ ˆ x, K dx idx           ＝ 如果取平移在 j x 的方向， j dx e     有 ˆ ˆ , i j ij   x K i  ＝ 与量子力学基本对易关系 ˆ , ˆ i j ij   x p i      比较，有 ˆ ˆ p  K    ， 表明动量是平移变换的生成元， ˆ ˆ ( )1 i T dx p dx      ＝ 。 由于 ˆ ˆ , 0, x y   p p    有 ˆ ˆ ( ), ( ) 1 ,1 0 ˆ ˆ x i i T dx T dy p dx pdy                ＝ ， 说明，平移与次序无关，平移步骤 A  dx C dy B   与 A dy D dx B   效果一样