《高等量子力学》课程教学资源（讲义）高等量子力学讲义（二）

)=± 在成的本征态构成的表象(3表象人号是一个对角矩阵，对角元是士号 0 解本征方程 88 得归一化的本征态为 )-0k)-0 现在5，表象求解5,5，的矩阵形式。由三.的本征态的完备性条件，有 1〉=卫s)s）=(ss训s)+(sss 由级联Stern-Gerlach实验，具有确定s,值的态在通过Z方向磁场（测量s,的装置）后分 裂为强度相等的两束，具有s和s的几率相等 Ke=e方 s)=万)+5) 已经通过归一化把相因子归结到6中. 由s》的正交归一化，(ss〉=d,有 方方) 或者 s)=方s+s》 )=aes)-》 代入三，的矩阵元

5 ˆ 2 nn n ss s      。 在 ˆz s 的本征态构成的表象（ z s 表象）， z s 是一个对角矩阵，对角元是 2   ， 1 0 2 0 1 z s          。 解本征方程 , 2 z a a s b b          得归一化的本征态为 1 0 , 0 1 z z s s          。 现在 z s 表象求解 ˆ ˆ, x y s s 的矩阵形式。由 ˆz s 的本征态的完备性条件，有     i i x z zx z x z z x z i s s ss s s s s s s           ， 由级联 Stern－Gerlach 实验，具有确定 x s 值的态在通过 Z 方向磁场（测量 z s 的装置）后分 裂为强度相等的两束，具有 z s和 z s 的几率相等 1 2 zx zx ss ss     1 1 1 2 2 i x z z s s es      ， 已经通过归一化把相因子归结到 1  中。 由 x s 的正交归一化， , i j x x ij s s   有 1 1 1 2 2 i x z z s s es      或者     1 1 2 1 2 z xx i z xx s ss s ess                 代入 ˆx s 的矩阵元

s）=0g,s)-e,(,）-e5,(,）=0 0) 类似，有 -方方 -00) 现在考虑相位6，d的取值。具有确定3，值的态在通过Y方向磁场（测量5，的装置）后分裂 为强度相等的两束，分别具有3时和S,即 《es=方 即 ±训-方 8-6=±号 如果取 4=04=7 有矩阵 800 可以证明，对于矩阵5，一，有 s]=e}-24 其中 [A,B]=AB-BA,(A,B)=AB+BA. 定义 -2-690 因为是一个单位矩阵，任意态都是它的本征态，即在任意态它都有确定的值。显然， 2与任意力学量户对易，可看成为一个经典量

6 1 1 1 1 ˆˆ ˆ ˆ 0, , , 0 2 2 0 2 0 i i z xz z xz z xz z xz i x i s ss sss e sss e sss e s e                        类似，有 2 1 1 2 2 i yz z s s es      ， 2 2 0 2 0 i y i e s e            现在考虑相位 1 2  , 的取值。具有确定 x s 值的态在通过 Y 方向磁场（测量 y s 的装置）后分裂 为强度相等的两束，分别具有 y s和 y s，即 1 2 y x s s    即   1 2 1 1 1 2 2 i e     故 1 2 2      。 如果取 1 2 0, 2      ， 有矩阵 01 0 , 2 2 10 0 x y i s s i               。 可以证明，对于矩阵 , , x y z sss ，有   2 , , , 2 i j ijk k i j ij   ss i s ss         ， 其中  A, , , B AB BA A B AB BA      。 定义 2 22 3 1 0 4 0 1 i i s s           ， 因为 2 s 是一个单位矩阵，任意态都是它的本征态，即在任意态它都有确定的值 3 2 4  。显然， 2 sˆ 与任意力学量 Fˆ 对易，可看成为一个经典量

3)同时测量多个力学量的条件 可否同时测量两个力学量A,B呢？ 定理：若A,B有完备的共同本征态，则A,B一定对易。 证明：设完备的共同本征态为) 由 An=an,Bn）=bn) 在由)构成的表象，任意态 lw=∑mw以. (aB-w=∑(aB-amp） =∑(b。-Ba)儿n)nlw） =∑(a,b-b,a)n）amlw）=0 因为是任意态，故A,B=0。 逆定理：若A,B对易，则A,B一定有完备的共同本征态。 证明：设n)是A的本征态， An）=anlm）, [A]=0, ABn)=BAn）=a,Bln）。 说明)也是A的属于本征值a,的本征态。若A无筒并，则创m)与m)是同一个态，只能相 差一个常数： Bln）=bln) 故)也是B的本征态，即A,B有共同的完备本征态。 若A有简并，则可以用施密特方法来证明有同样的结果（作为习题）。 结论：多个力学量相互对易时，它们可以有共同的本征态。当体系处于这些共同本征态 时，它们同时有确定的值。在共同本征态可以同时测量这些力学量。 注意，A,B=0,B,C=0,只说明A,B可以同时有确定值，B,C可以同时有确 定值。但A,C不一定同时有确定值

1 3）同时测量多个力学量的条件 可否同时测量两个力学量 Aˆ ， Bˆ 呢？ 定理：若 Aˆ ， Bˆ 有完备的共同本征态，则 Aˆ ， Bˆ 一定对易。 证明：设完备的共同本征态为 n 由 ˆ An a n  n ， ˆ B n n bn  ， 在由 n 构成的表象，任意态 n    n n  ，         ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 n n n n nn n n n AB BA AB BA n n Ab Ba n n ab ba n n              = 因为  是任意态，故 ˆ ˆ   A B, 0    。 逆定理：若 Aˆ ， Bˆ 对易，则 Aˆ ， Bˆ 一定有完备的共同本征态。 证明： 设 n 是 Aˆ 的本征态， ˆ An a n n = ， 由 ˆ ˆ   A B, 0    ， 有 ˆ ˆ ˆˆ ˆ AB n BA n a B n   n 。 说明 Bˆ n 也是 Aˆ 的属于本征值 n a 的本征态。若 Aˆ 无简并，则 Bˆ n 与 n 是同一个态，只能相 差一个常数： Bˆ = n n bn 故 n 也是 Bˆ 的本征态，即 Aˆ ， Bˆ 有共同的完备本征态。 若 Aˆ 有简并，则可以用施密特方法来证明有同样的结果（作为习题）。 结论：多个力学量相互对易时，它们可以有共同的本征态。当体系处于这些共同本征态 时，它们同时有确定的值。在共同本征态可以同时测量这些力学量。 注意， ˆ ˆ   A B, 0    ， ˆ ˆ   B C, 0    ，只说明 A，B 可以同时有确定值，B，C 可以同时有确 定值。但 A，C 不一定同时有确定值

当A,B不对易时，A,B不可能有完备的共同本征态，它们不可能总是被同时测量 但有可能在一个子空问中被同时测量。例如：对于轨道角动量，乙，[它.，]0，[它，]0、 [,,]+0。说明2，正，可以同时有确定值，立，么，可以同时有确定值，i,i,不可能同 时有确定值。但是对于=0的态，i,,同时有确定值L,=L,=0。 4)力学量完备组 当力学量的本征值与本征态有简并时，F,》,》，广=1，g,从数学上可用施密 特方法来实现本征态的正交归一，但一般是从物理上引入力学量完备组来实现正交归一。 一个本征值对应多个本征态说明该力学量不足以完全描述这些本征态，必须引入新的力 学量来刻划这些本征态之间的差别。引入另一个力学量行，要求户的本征态也是了的本征态， i》,) 》=马》 则对于力学量组{户，}，本征值{山，}与本征态，》一一对应，无简并，故满足正交归一条 件： ,i',j八=66n 5)级联测量 对三个力学量A,BC分别进行如下两种测量。 第一种方法： 测A 测B 测C 态：) 1 le) 力学量值：无确定值 a 经过3次测量后，测得C取值为c的几率是 re)=∑lkaΨf-Kol-Kc 其中KaΨ是从)塌缩到a)的几率，Kba是从a)塌缩到b)的几率，《cb是从b) 塌缩到c)的几率

2 当 Aˆ ， Bˆ 不对易时， Aˆ ， Bˆ 不可能有完备的共同本征态，它们不可能总是被同时测量， 但有可能在一个子空间中被同时测量。例如：对于轨道角动量，L  ， ˆ2 ˆ, =0 L Lx      ， ˆ2 ˆ, =0 L L y        ， ˆ ˆ , 0 L L x y      。说明 ˆ2 L  ， ˆ Lx 可以同时有确定值， ˆ2 L  ， ˆ L y 可以同时有确定值， ˆ Lx ， ˆ L y 不可能同 时有确定值。但是对于 L  0  的态， ˆ Lx ， ˆ L y 同时有确定值 0 L L x x   。 4）力学量完备组 当力学量的本征值与本征态有简并时， ˆ , = , 1,... Fij f ij j g i ，  ，从数学上可用施密 特方法来实现本征态的正交归一，但一般是从物理上引入力学量完备组来实现正交归一。 一个本征值对应多个本征态说明该力学量不足以完全描述这些本征态，必须引入新的力 学量来刻划这些本征态之间的差别。引入另一个力学量Tˆ ，要求 Fˆ 的本征态也是Tˆ 的本征态， ˆ ,=, ˆ ,= , i j F ij fij Tij t ij ， 则对于力学量组  ˆ ˆ F T, ，本征值 fi j ,t 与本征态 i j , 一一对应，无简并，故满足正交归一条 件： ' ' , ', ' , ii jj i ji j =   5）级联测量 对三个力学量 ˆ ˆ ˆ A, , B C 分别进行如下两种测量。 第一种方法： 态：  a b c 力学量值：无确定值 a b c 经过 3 次测量后，测得Cˆ 取值为c 的几率是 2 22 , ( ) a b Pc a ba cb     其中 2 a  是从  塌缩到 a 的几率， 2 b a 是从 a 塌缩到 b 的几率， 2 c b 是从 b 塌缩到 c 的几率。 测 A 测 B 测 C

第二种方法： y 测A 测C 态：Ψ la) le) 力学量值：无确定值 经过2次测量后，测得C取值为c的几率是 pte)=∑Kal-Kcla) 显然，一般有 P(c)≠P'(c), 但如果AB=0,AB有共同本征态n,代替|a),b), Pc)=∑KnΨKcln)=Pe), 或B,C=0,B,C有共同本征态m,代替b),c, Pe)=∑KaΨKmaf=P'(e)。 结论：由于力学量只有在本征态才有确定值，测量的顺序会改变最终测量结果。 6)不确定关系 当A,B≠0，A,B不能同时有确定的值，那么它们的不确定度如何？ 在任意态|w),力学量A只有确定的平均值(A=(4w),取值分布P(A) 不确定度用方差表示： (aa〉=o(a-(aiw)≠0. 如果态w）为A的本征态，则平均值就是本征值，方差=0，取值分布为6函数

3 第二种方法： 态：  a c 力学量值：无确定值 a c 经过 2 次测量后，测得Cˆ 取值为c 的几率是 2 2 '( ) a P c a ca    显然，一般有 Pc P c ( ) '( )  ， 但如果 ˆ ˆ   A B, 0    ， ˆ ˆ A B, 有共同本征态 n ，代替 a ， b ， 2 2 ( ) '( ) n Pc n cn P c     ， 或 ˆ ˆ   B C, 0    ， ˆ ˆ B,C 有共同本征态 m ，代替 b ， c ， 2 2 ( ) '( ) a Pc a ma P c     。 结论：由于力学量只有在本征态才有确定值，测量的顺序会改变最终测量结果。 6）不确定关系 当 ˆ ˆ   A B, 0    ， ˆ ˆ A, B 不能同时有确定的值，那么它们的不确定度如何？ 在任意态  ，力学量 Aˆ 只有确定的平均值 A A ˆ   ˆ  ，取值分布 P(A) 不确定度用方差表示：     2 2 ˆ ˆ ˆ    A AA   0 。 如果态  为 Aˆ 的本征态，则平均值就是本征值，方差＝0，取值分布为 函数， 测 A 测 C