国家重点实验室 2.1.3随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过 程的统计特性，但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函 数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过 程的统计特性，更简单直观。 1.数学期望 设随机过程()在任意给定时刻t,的取值ξ(t)是一个随机 变量，其概率密度函数为f(x1,t),则(t)的数学期望为 E[5t,】=xf(x,4)ds
2.1.3随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过 程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函 数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过 程的统计特性，更简单直观。 1. 数学期望 设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机 变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则ξ(t1)的数学期望为 1 11 1 1 E t x f x t dx [ ( )] ( , ) ξ ∞ −∞ = ∫
国家重点实验室 注意，这里t是任取的，所以可以把直接写为，x1改为x, 这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t), 于是 a(t0)=E[5(t0】=∫xf(x,)dk a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线 的摆动中心。 2.方差 D[5]=E{5()-a()} =E[52(t】]-2E[5(t)]a(t)+[a()]月 =EL52(]-[a(t)] xf(x,t)dx-[a(t
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是 1 a t E t xf x t dx ( ) [ ( )] ( , ) ξ ∞ −∞ = = ∫ a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线 的摆动中心。 2. 方差 { } [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 1 [ ( )] [ ( ) ( )] [ ( )] 2 [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( , ) [ ( )] D t E t at E t E t at at E t at x f x t dx a t ξ ξ ξ ξ ξ ∞ −∞ = − =− + = − = − ∫
国家重点实验室 D[(①]常记为σ2()。可见方差等于均方值与数学期望 平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而 它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机 过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密 度引入新的数字特征。 3.相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关 联程度时，常用协方差函数B(t,t2)和相关函数R(t,t)来表示
D［ξ(t)］常记为σ2(t)。可见方差等于均方值与数学期望 平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而 它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机 过程在两个不同时刻状态之间的联系， 还需利用二维概率密 度引入新的数字特征。 3. 相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关 联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示
国家重点实验室 协方差函数定义为 B(4,5)=E{[5(G)-a(t)][5(4,)-a(6]} =[x-a(4]x,-a(6,f5(x,x3;4,5)dkdk 式中，t与2是任取的两个时刻；a(t)与a(2)为在t及2时 刻得到的数学期望；(x1,x2,t,2)为二维概率密度函数。 相关函数定义为 R4,)=E{[5(4)[5(4]} =∫xxfx,x4,5)ddk
1 2 {[ 1 1 2 2 ][ ]} 1 1 2 2 2 1 212 1 2 (, ) () () () () [ ( )][ ( )] ( , ; , ) Bt t E t at t at x a t x a t f x x t t dx dx ξ ξ ∞ ∞ −∞ −∞ =− − = −− ∫ ∫ 式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时 刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。 相关函数定义为 1 2 {[ 1 2 ][ ]} 122 1 2 1 2 1 2 (, ) () () ( , ;, ) Rt t E t t x x f x x t t dx dx ξ ξ ∞ ∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ 协方差函数定义为
国家重点实验室 二者关系为 B(t1,t2)=R(t,)-a(t)a(2) (2.1-10) 若a(t)=0或a(t2)=0,则B(t1,t2)=R(t1,t2)。 若t2>t1,并令tt+,则R(t,t2)可表示为R(t,t+r)。这说明， 相关函数依赖于起始时刻t及t与t,之间的时间间隔τ，即相关函 数是t和τ的函数。 由于B(t1,2)和R(t,2)是衡量同一过程的相关程度的，因 此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两 个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设（①） 和)分别表示两个随机过程，则
二者关系为 B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) (2.1 - 10) 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+τ)。这说明， 相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔τ,即相关函 数是t1和τ的函数。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因 此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两 个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设ξ(t) 和η(t)分别表示两个随机过程，则