弹性固体材料中的空穴萌生与增长

D0I:10.13374/i.issn1001053x.2002.03.081 第24卷第3期 北京科技大学学报 VoL.24 No.3 2002年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2002 弹性固体材料中的空穴萌生与增长 尚新春》 程昌钧) 1)北京科技大学数学力学系，北京1000832)上海大学力学系，上海市应用数学与力学研究所，上海200072 摘要建立了描述弹性固体材料中空穴萌生与增长的非线性数学模型，获得了空穴萌生时 控制参数临界值的精确计算公式和空穴半径增长的精确表达式.在大变形几何分析中采用了 对数应变度量，并且应用了Hook弹性固体材料的本构关系.数值分析结果表明：当材料不可 压时空穴萌生的临界载荷将略低于neo-Hooke不可压超弹性材料的相应计算结果，并且在空穴 萌生后空穴半径将迅速增大，这与细观损伤力学和超弹性材料的空穴分叉理论的结论相一致： 空穴萌生时环向应力将成为无限大：如果材料是弹塑性（韧性）材料，则会使得空穴附近发生塑 性变形，从而导致材料的局部损伤和破坏 分类号0343.5：0346.5；TB301;TG113 关键词材料不稳定性，空穴萌生，弹性大变形，精确解 1问题的提出 首先给出Blatz-Ko材料空穴分叉问题的精确解 析解以来，迄今仅有少数几个解析解问世6-" 通过金属材料的金相观察可知空穴萌生是 作者也曾研究过类橡胶材料空穴问题，最近 由于晶界滑移导致三叉晶界和夹杂二相粒子处 还得到了新的精确解析解川.有关类橡胶材料 的应力集中引起的.寻找确定金属材料空穴形 空穴问题的研究进展可参见Horgan的评论性 核的条件和探讨空穴增长的规律一直是金属材 文章网.另外，Hooke固体材料在力学上代表着 料学家们所关注的问题.从固体力学角度 金属材料等一大类线弹性材料，因此Hooke固 McClintock,Rice和Trace等人针对无限大理想 体材料的空穴分叉问题在材料不稳定性的研究 刚塑性材料的单一空穴进行了力学分析，得出 中就显得十分重要.在材料不可压的特殊情形 了空穴体积膨胀率随三轴拉伸变形而迅速增大 下（泊松比为1/2）球形空穴分叉解，最近已经由 的重要结论.Gent和Lindley早在1959年就已 金明、黄克服和武际可等人获得，.本文将针对 经在均匀密实的硫化橡胶材料的拉伸试验中发 一般的Hooke固体材料的球形空穴分叉问题， 现当载荷达到某一临界值时材料内部会出现空 采用不同的数学模型和求解方法来给出问题的 穴的突然萌生四.但是类橡胶（超弹性）材料空穴 精确解析解 萌生和增长的基本理论直到1982年才由Ball 创立1.与其他空穴理论不同的是Bll的理论以 2空穴萌生问题的分叉理论模型 非线性弹性力学为基础，并且将空穴萌生和增 长的数学模型归结为非线性分叉问题.Ball给 考虑一个半径为R的球体的大变形拉伸问 出了一个计算临界载荷的广义积分表达式，在 题.球体上一点变形前后的位置分别可由物质 neo-Hooke材料情形下由此表达式算得的临界 球坐标(R,⊙，)和空间球坐标(，9，φ)来标定.假 载荷数值结果与实验值吻合较好，然而，对于 定变形是球对称的，则 可压缩超弹性材料研究表明，是否会有空穴分 r=R),=⊙，b=Φ(0≤R≤R,0≤⊙≤2π，0≤Φ≤π)(1) 叉则强烈地依赖于材料应变能函数的形式，而 并且球体的材料是弹性固体，其真应力满足 且由于空穴分叉问题所固有的非线性性质很难 Hooke本构定律： E 给出临界载荷的一般显式表达式.自从Horgan o.+vii-2w1-ve+2we】 (2) E 收稿日期2001-12-31尚新春男.43岁，理学博士.教授 *国家自然科学基金资助课题(N0.19802012),教育部回国留学 =o-1+p1-2we,+e） 人员科研资助基金和教育部高等学校骨干教师科研资助基金 其中，E0是材料的弹性模量，0<1/2是材料

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 叭， 弹性 固体材料中的空穴萌生与增长 尚新春 ” 程 昌钧 ， 北京科技大学数学力学系 ， 北京 上海大学力学系 ，上海市应用数学 与力学研究所 ， 上海 摘 要 建立 了描述弹性 固体材料 中空 穴萌生 与增 长 的非线性数学模型 ，获得 了空 穴 萌生 时 控制参数临界值的精确计算公式和空 穴半径增长 的精确表达式 在大变形几何 分析 中采用 了 对数应变度量 ， 并且 应用 了 弹性 固体材料 的本构关系 数值分析结果表 明 当材料不 可 压 时空 穴萌生 的临界载荷将略低于 一 不 可 压超弹性材料 的相应计算结果 ，并且在空 穴 萌生后 空 穴半径将迅 速增大 ， 这与细观损伤力学和超弹性材料 的空穴分叉 理论 的结论相一致 空 穴萌生 时环 向应力将成为无限大 如果材料是 弹塑性 韧性 材料 ， 则会使得空穴 附近发生 塑 性变形 ，从而导致材料 的局部损伤和破坏 分 类号 关键词 材料不稳定性 ， 空 穴萌生 ， 弹性大变形 ， 精确解 问题的提 出 通 过金属 材 料 的金相观察可 知空 穴萌生 是 由于 晶界滑移导致三叉 晶界和 夹杂二相粒子处 的应力集 中引起 的 寻 找确定金属 材料空 穴形 核的条件和探讨空 穴增长 的规律一直是金属材 料 学 家 们所关 注 的 问题 ‘，〕 从 固 体 力 学 角 度 ， 和 等人针对无 限大理想 刚塑 性 材 料 的单一 空 穴进行 了力学分析 ， 得 出 了空 穴体积膨胀率随三轴拉伸变形 而迅速增 大 的重要结论 和 早在 年就 已 经在均匀 密实 的硫化橡胶材料 的拉伸试验 中发 现 当载荷达到某一临界值时材料 内部会 出现空 穴 的突然 萌生 ’ 但是类橡胶 超弹性 材料空 穴 萌生 和 增 长 的基本理论直到 年才 由 创立 ‘ 与其他空 穴理论不 同的是 的理论 以 非线性 弹性 力学 为基础 ， 并且将空 穴 萌生 和 增 长 的数学模型 归结 为非线性分叉 问题 给 出 了一 个计算 临界载荷 的广义 积分表达 式 ， 在 。 一 材料情形 下 由此表达式算得 的 临界 载荷数值结果与实验值吻合较好 ‘ ， 然 而 ， 对于 可 压缩 超弹性材料研究表 明 ， 是 否 会有空 穴 分 叉 则 强 烈地依赖 于 材料 应变能 函数 的形式 ， 而 且 由于空 穴 分叉 问题所 固有 的非线性性质很难 给 出临界载荷 的一 般显 式表达式 自从 首先给 出 材料空 穴 分叉 问题的精确解 析解 以来 【 ，迄今仅有 少数几个解析解 问世 ‘ 一 ” 作者也 曾研究过类橡胶材料空穴 问题 ‘刃 ， 最 近 还 得到 了新 的精确解 析解 ，， ” 有关类橡胶材料 空 穴 问题 的研究 进展可参见 的评论性 文章 「，” 另 外 ， 固体材料在力学 上代表着 金 属材 料等一 大类线弹性材 料 ， 因 此 固 体材料 的空 穴分叉 问题在材料不稳定性 的 研究 中就显 得 十分重要 在材 料不 可 压 的特殊情形 下 泊松 比为 球形空 穴分叉 解 ， 最近 已经 由 金 明 、 黄克 服和武 际可等人获 得 〔， 本文将针对 一 般 的 固体材料 的球形 空 穴分叉 问题 ， 采用不 同的数学模型 和求解方法来给出问题 的 精确解析解 空穴萌生 问题的分叉理论模型 考虑一个半径 为 。 的球体的大变形拉伸 问 题 球体上一 点变形 前后 的位置分别可 由物质 球坐标 ，口 ，哟 和 空 间球坐 标， 劝 来标定 假 定变形是球对称 的 ，则 二 ， 卜叹沪一必 ‘ ‘ ，‘ 曰‘ ， ‘ 必 动 并 且球体 的材 料 是 弹性 固 体 ， 其 真应 力 满 足 本构定律 收稿 日期 一 尚新春 男 ， 岁 ， 理学博士 ， 教授 国家 自然科学基金资助课题困 ， 教育部 回国 留学 人 员科研资助 基金和教育部 高等学校骨于 教师科研资助基金 口 尸 石 爪 丁万一一，不尸下 十 一乙 〔 一 刃尽 二 。 〕 丙 ‘ 一 尽十￡办 其 中 ， 乡 是材料 的 弹性模 量 ， 是 材 料 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2002．03．081

Vol.24 尚新荞等：弹性固体材料中的空穴萌生与增长 。381· 的泊松比.这里采用真（对数）应变度量： i=)=exp(-∫P)ds) (14) 6=n品6-a=h7 (3) 因d/d。<0,所以存在惟一的反函数。=().另 变形后位形上的真应力平衡方程为： 外，由(7a)和(12)得到空穴半径的表达式： 0+2a-时-0 6=a=R1-t6()'exp(-∫0s)ds)(15) (4) 注意到在空穴萌生的临界状态，即当λ=时有 在球体表面上给定位移的边界条件为： 6=0.由(15)知11)=1.再由(14)得到控制参数 r=R。(>1是边界位移控制参数)(5) λ的临界值为： 另外，在球体中心R=O处要求满足如下条件之 =(v)=expl-P(s)ds) (16) 至此，一般的Hooke弹性固体材料球形空穴分 (1)若无空穴萌生，即球体中心点不动，则有： 叉的精确解析解已由(11)(16)式给出. r=0 (6) (2)若球体中心处有空穴萌生，则有： 4 数值结果与讨论 "=6>0(6为待定的空穴半径) (7a) ,=0(空穴表面自由) (7b) 由式(13)知在空穴萌生的临界状态，球面 显然，r=R是边值问题(1)6)的解，它对应 上的径向真应力为：=昌以。.因此，如果 于球体的均匀变形状态.边值问题(1)(5)和(7a), 在球面R=R。上给定死载荷p>0,即有名义应力 (7b)给出了求解Hooke材料球形空穴萌生分叉 ∑，=p,用真应力表示为o,(Rr)}p.如果给定真 问题的数学模型 应力载荷，=q.则分别可得量纲为一载荷的临 界值为： 3问题的精确解析解 Psds·exp-2oPs)ds) 引入参数变换， E (1-2w) (17) R=R(),r=r().1=R dr r dR (8) P()ds 可将基本方程(2)(4)转换为参数形式的常微分 E (1-2w) 基于式(16)和(17)的数值积分结果列入表1. 方程组： dR(t)R(t)dr(t)r(t) 表1空穴萌生时控制参数的临界值 dt1-t)F(t)'dt 1-1)F(t) (9) Table 1 The critical values of control parameters for the 其中R0=a-90a=B- 二再由边 cavitation 界条件(5)给出定解条件： 00.10.20.30.40.5 t)=R,rt)=R,(t为待定常数)(10) 1(给定位移)5.6423.2102.0951.5271.192 1 分别对9)式中2个方程分离变量后积分， PE(给定死载荷)55.0715.035.4122.3991.2460.731 pelE 并且利用条件(10)得到变形前后径向坐标的参 1.7301.4581.2331.0420.8770.731 (给定真应力载荷) 数形式解： R0=R2二9exp(-lss)D） 应该指出在P()中含有参数v,对于不可压 材料情形(v=1/2)有p(t)=0,这样导致(17)的右端 r0=R)exp(-」osa) (12) 将成为0/0型不定式.求当v一12时的极限，即 其中=QoHp0.Q0=琴"a 得如下精确值： a(1-t)-2Btlnt P0)=2p. aa1-i-2nr,参数1的变化范闱是 Int ]rinds= 4 C'Ins 2 0st≤to≤l., 9J1-,ds=27t(≈0.7310(18) 将(11)，12)代入(2)，(3)，并利用式(8)可得径 作为一个比较，neo-Hooke材料球形空穴萌 向和环向应力的参数形式解： 生的临界我荷为叫，会-名0,83. o0-2 ex(Psds)】 可见不可压Hooke弹性材料的临界载荷值 (13) 略低于neo-Hooke不可压超弹性材料的临界载 od)-c.)n 荷值.当边界控制参数超过其临界值时球体中 由式(11)知，当R=0时t=0,再由(7b)和(13)得： 心处萌生出空穴.在球体表面给定位移的边界

尚新 春等 弹性 固体材料 中的空 穴 萌生 与增 长 的泊松 比 这 里采用 真 对数 应变度量 ， 称 二 ‘ 刁灭 ， “ “ 场 ’ 万 变形后 位形 上 的真应 力平衡方程 为 叮 ， 、 。 一了 ，十－气 一 氏 口厂 厂 在球体表 面 上 给定位移 的边 界条件 为 从 。 以 是边界位移控制参数 另 外 ， 在球体 中心 二 处 要求满足 如下 条件之 若无空 穴萌生 ， 即球体中心 点不动 ， 则有 若球体 中心 处 有空 穴 萌生 ， 则有 二 咨 必为待定 的空 穴半径 空 穴 表面 自由 显然 ， 三从是边值问题 卜 的解 ， 它对应 于球体的均匀变形状态 边值问题 卜 和 ， 给出 了求解 材料球形 空 穴萌生 分叉 问题 的数学模 型 一 一 而 一 价 因以 ， 所 以存在惟一 的反 函数 二 以 另 外 ， 由 和 得 到 空 穴半 径 的表达式 。 一 。以 、 。 卜。 以 ， 。 一 上 ‘从， 。 。 巧 注 意到在 空 穴 萌 生 的临界状 态 ， 即 当义 凡 时有 由 巧 知 ，。 一 再 由 得到 控制参数 又的临界值为 “ 。 一 “ 。 、 一 一 工 ’ ‘ 至 此 ， 一 般 的 弹性 固体材料球 形 空 穴分 叉 的精确解 析解 已 由 卜 式给 出 问题的精确解析解 引人 参数变换 【 ， ， 、 ， 、 乃 兰 牛长 、 ” 产 可将基本方程 一 转换 为参数形 式 的常微分 方程 组 数值结果与讨论 由式 知在空 穴 萌生 的临界状态 ， 球 面 上 的径 向真应 力为 动 一 黑 三 、 因此 如果 一 目 月山 ’， 切 ’ 、 “ ”， 一 犷 “ ’ 护“ ’ 产 州 卜 在球 面 二 。 上 给定死载荷 ， 即有名义 应 力 二 二 ， 用 真应 力 表示 为 氏 加 如果 给定真 应 力载荷 ， 则分别可 得量纲 为一 载荷 的临 界值为 ‘ · 一 ’ 卫些 。 ‘ 、 。 ，一 “ “ 扒 “ 。 ‘ 、 “ ， 少 一 、 工 ’ 一 西厂一 刃阵 乃可 ， 一 ’ 叹 一 、 二 、 、 ， 。 」澳产 日 。 吸 一 乙口 石 节 ， 、 ， 、 ， ’ 一 一 了 ’ 一 一 ‘ 再 由边 界 条件 给 出定解条件 ， 从 。 为待定 常数 分 别对 式 中 个方 程分离变量后 积分 ， 并 且利用 条件 得到 变形前后 径 向坐 标 的参 数形式解 ，卜 。 青 ， ’· 扮 ， ’… ‘ 一 工 “ ’ ·， ， ，‘ · ，卜 又 。 扮 一。 一 工 乙 」 。 · ‘ 基于式 和 的数值积分结果列人表 表 空 穴 萌生 时控制 参数 的临界值 凡 给定位移 挤 给定死载荷 八压 给定真应力载荷 其 中洲 二 ， 丝 一 一 一 一 ’ 应该指 出在 中含有参数 ， 对于 不 可 压 材料情形 有抓 三 ， 这样导致 的右端 将成 为 型 不 定式 求 当 一 时 的极 限 ， 即 得 如下 精确值 ’ 云门二 叮二 网而 ’ 参数 的变化 范 围是 借 一 李 一 合买〔黔 “ 厂】必 里 。 一 口、了 丛 兰 三 将 ， 代人 ， ， 并利用 式 可 得径 向和环 向应 力 的参数形式解 氏 一 念 ， “孤 工 ‘ ’ ·， ，〕 丙 一 。 一 ‘ 一 ， 畏 当 时 ， 再 由 和 得 ’ ， ， ， 八 ， ， ‘ 、 一 亏 六 一 护 二 作为一个 比较 ， 一 材料球形 空 穴萌 生 的 临界 载荷 为 令 一 会 二 可 见不 可 压 弹性材料 的 临界 载荷值 略低 于 一 不 可 压超弹性材 料 的 临界载 荷值 当边 界控制参数超过其临界值时球体 中 心 处 萌生 出空 穴 在球体表 面 给定位移 的边界 以︸泪 、﹃产几几 、户 由式

·382 北京科技大学学报 2002年第3期 条件情形，由式(14)(15)算得量纲为一的空穴 83 半径的数值，结果列人表2. 2 Gent A N,Lindley P B.Internal Rupture of Bounded Rub- ber Cylinders in Tension[J].Proc R Soc Lond,1958,A249: 表2边界伸长增加时空穴半径的值=2+△，w0.3) 195 Table2 The dimensionless values of cavity radius for in- 3 Ball J M.Discontinuous Equilibnium Solution and Cavi- creasing boundary stretch tation in Nonlinear Elasticity(J].Phil Trans R Soc Lond. △1/×100.100.150.250.501.05.0 1982,A306:557 (6/R)/×1020.8040.9211.0911.3751.7332.963 4 Stringfellow R.Abeyaratne R.Cavitation in an Elastomer Comparison of Theory with Experiment[J].Materials Sci- 由(15)试不难得到w=+0,这意味着萌 ence Engineering,1989,A112:127 生出的空穴半径随边界控制参数增大而迅速增 5 Horgan C O,Abeyaratne R A.Bifurcation Problem for a Compressible Nonlinearly Elastic Medium:Growth of a 大.其实表2中数值结果也表明了这一点.并且 Micro-void[J].J Elasticity,1986,16:189 与细观损伤力学和超弹性材料空穴分叉理论所 6 Horgan C O.Void Nucleation and Growth for Compres- 得结论相一致©.另外，球体中心附近的应力状 sible Nonlinearly Elastic Materials:An Example[J].Int J 态在空穴萌生后发生了突变，即从均匀应力状 Solids StrucTures,1992,29:279 态到非均匀应力状态的转变.空穴萌生前径向 7 Tian-hu H.A theory of the Appearance and Growth of the Micro-spherical Void[J].Int J Fracture,1990,43:R51 应力和环向应力在球体中心处相等并为有限 8 Ertan N.Influence of Compressibility and Hardening on 值，空穴萌生后径向应力在空穴表面突变为零， Cavitation[J].ASCE J Engineering Mech,1988,114:1231 而环向应力突变成为无限大.事实上，空穴表面 9尚新春，程昌钧.超弹性材料中的球形空穴分叉小. 对应于空穴萌生前的球体中心即有，由(7b)和 力学学报，1996,28(6)：751 (13)知此时环向应力为无限大.如果材料是弹塑 10 Shang Xinchun,Cheng Changjun.Exact Solution for Ca- 性（韧性）的，这将导致空穴表面附近的材料屈 vitated Bifurcation for Compressible Hyperelastic Mater ials[J].Int J Engineering Sci,2001,39(9):1101 服而形成一个塑性层，造成材料的局部损伤.运 11 Shang Xinchun,Cheng Changjun.Cavitation in Hookean 用材料的弹塑性本构关系来进一步分析空穴萌 Elastic Membranes[J].Sinica Solida Mech,2002,16(2): 生后塑性损伤变形等问题将在另文给出. 126 12 Horgan C O.Cavitation in Nonlinearly Elastic Solids:A 参考文献 Review[J].AMSE Appl Mech Rev,1995,48(8):471 I Tvergaard V.Material Failure by Void Growth to Coalse- I3金明，黄克服，武际可.Poi5son比为12材料中球形 cence[M].[in:]J Hutchinson and T Wu.eds.Advances in 空穴突变和球形空穴萌生的分岔问题研究)小，应用 Applied Mechanics 27.San Diego:Academic Press,1990 数学和力学，1999,20(8)：867 Void Nucleation and Growth for Elastic Solid Materials SHANG Xinchun CHENG Chanjun 1)Department of Mathematics and Mechanics.UST Beijing,Beijing 100083,China 2)Department of Mechanics,Shanghai University,and Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai 200072,China ABSTRACT The nonlinear mathematical model is given to describe void nucleation and growth for elastic solid materials.Exact formulae to calculate the critical values of control parameters for cavitation and exact ex- pressions for growth of void radial are derived.For large deformation,finite logarithmic strain measure is used, and the constitutive relationship of materials is basic on Hookean elastic law.The numerical results show that the critical loads of cavitation for Hooke elastic solid in the case of uncompressible materials are slightly lower than the critical loads for uncompressible neo-Hookean hyperelastic materials.The cavity will be suddenly ra- pid growth after void nucleation.This conclusion is agreed with the corresponding conclusion from the damage micromechanics and the theory of cavitated bifurcation for hyperelastic materials.Also,the analysis shows that the loop stress will become infinite when void nucleation.Thus,the materials near the cavity will product plas- tic deformation if the materials are elastic-plastic.This leads to local failure and fracture of the materials. KEY WORDS instability of materials;void nucleation(cavitation);large elastic deformation;exact solution

一 北 京 科 手技 大 学 学 报 年 第 期 条件情形 ， 由式 卜 算得量 纲 为一 的空 穴 半径 的数值 ，结 果列 人 表 表 边 界伸 长增 加 时 空 穴 半径 的值私司 “ 酞， △又 ‘ 占 。 由。 式不难得到 掣 以 针二 ， 这意 味着萌 、 ‘ 叼找 ” 八 曰可 月 又 ‘洲 一 ’ ‘ 郎 卜 ‘ 目 明 生 出 的空 穴半径随边 界控制参数增 大而 迅 速增 大 其实表 中数值结果也表 明 了 这 一点 并且 与细观损伤力 学 和超弹性材料空 穴分叉 理论所 得结论相 一 致 ‘’ 另外 ， 球体 中心 附近 的应 力状 态 在空 穴萌生后 发 生 了突变 ， 即从均匀应 力状 态 到非均匀 应力状 态 的转变 空 穴 萌生 前径 向 应 力 和 环 向应 力 在 球体 中 心 处 相 等并 为有 限 值 ， 空 穴 萌生 后径 向应 力在空 穴 表面突变 为零 ， 而环 向应力 突变成为无 限 大 事 实上 ， 空 穴 表面 对应 于 空 穴 萌生前 的球体 中心 即有 ， 由 和 知此时环 向应力为无 限大 如果材料是弹塑 性 韧性 的 ， 这将 导致 空 穴 表 面 附近 的材料屈 服 而形 成一个塑 性层 ， 造成材 料 的局部损 伤 运 用材料 的弹塑性本构关系来进 一 步分析空 穴 萌 生 后 塑 性 损 伤变形 等 问题将在 另 文 给 出 参 考 文 献 、 』 ， 、 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 一 【 ， ， ， ， 一 一 」 ， ， 「」 ， ， 尚新 春 ， 程 昌钧 超 弹性 材料 中的球形 空 穴 分叉 力学学报 ， ， ， 自 ， ， ， 自 ， ， 【 ， ， 金 明 ， 黄 克服 ， 武 际可 比为 材料 中球形 空 穴 突变 和 球形空 穴 萌生 的分 岔 问题研究 【 应用 数学 和 力 学 ， ， 了了理刀 久反刀 ’几 〔脚百 ’ ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 一 ， ， 一