内的一个保角映射 2.分式线性映射 w=4+b (ad-bc≠0) (1)形如 cz+d 的映射统称为分式线性映射.它可以看成是由下列各 映射复合而成： (1)w=仁+b,(k≠O),这是一个旋转伸缩平移映射，也称为整式线性映射： (ii) z,称为倒数映射或反演映射. 由于他们在扩充的复平面上都是一一对应，且具有保角性、保圆周性与保对称性，因此， 分式线性映射也具有保角性、保圆周性与保对称性. (2):平面和w平面上的三对点可唯一确定一个分式线性映射.即设z平面上的三个 相异点，2，对应于”平面上的三个相异点，2，心，则唯一确定一个分式线性映射： w-”."g2..32 w-w23-叫-3百 (3)三类典型的分式线性映射 w=R+b (i)把上半平面映射成上半平面的映射为：c2+d,其中a,b,c,d都是实数， 且ad-bc>0. w-e01 (Im()>0). ()把上半平面映射为单位圆内部的映射为 (ii)把单位圆内部映射成单位圆内部的映射为 w=e03-1 (0<<1) 1-z 3.几个初等函数所构成的映射 1)幂函数w=:”(之2)这一映射的特点是：把以原点为顶点的角形域映射为角 形区域（包括半平面及全平面），其张角的大小变成了原来的n倍. (2)指数函数w=e这一映射的特点是：把水平的带形域0<m(e)<a映射成角形域 0<argw<a(a=π时，此角形域为上半平面)， 把这两个函数构成的映射与分式线性映射联合起来可以进一步解决某些区域之间的 变化问题. 4.本章主要题型 (1)判别一个映射w=f(2),∈D是否是保角映射. (2)已知映射及一个区域，求像区域. (3)已知两个区域，求映射. 以上(2)，(3)题目较为灵活，故必须熟练掌握各种基本映射（整式线性映射、幂函数 映射、指数函数映射等)的特点及一些基本区域之间的映射（或变换）. 例求一个保角映射，将z平面上的号形域F+<2,Im(e)>0映射成w的上半平 面m(w)>0 一5平面◆刀平面 。化平面 平面 w=f(z)? 图6.14
内的一个保角映射． 2．分式线性映射 （1）形如 ,( 0) az b ad bc cz d + = − + w 的映射统称为分式线性映射．它可以看成是由下列各 映射复合而成： (i） w = + kz b k ,( 0) ，这是一个旋转伸缩平移映射，也称为整式线性映射； (ii） 1 z w = ，称为倒数映射或反演映射． 由于他们在扩充的复平面上都是一一对应，且具有保角性、保圆周性与保对称性，因此， 分式线性映射也具有保角性、保圆周性与保对称性． （2） z 平面和 w 平面上的三对点可唯一确定一个分式线性映射．即设 z 平面上的三个 相异点 1 2 3 z z z , , 对应于 w 平面上的三个相异点 1 2 3 w w w , , ，则唯一确定一个分式线性映射： 1 1 3 2 3 2 2 3 1 2 3 1 z z z z z z z z − − − − = − − − − w w w w w w w w （3）三类典型的分式线性映射 (i）把上半平面映射成上半平面的映射为： az b cz d + = + w ，其中 a,b,c,d 都是实数， 且 ad bc − 0. （ii）把上半平面映射为单位圆内部的映射为 i (I m( ) 0). z e z − = − w (iii）把单位圆内部映射成单位圆内部的映射为 i (0 1). 1 z e z − = − w 3．几个初等函数所构成的映射 (1）幂函数 ( 2) n w = z n 这一映射的特点是：把以原点为顶点的角形域映射为角 形区域（包括半平面及全平面），其张角的大小变成了原来的 n 倍． (2）指数函数 z w = e 这一映射的特点是：把水平的带形域 0 Im( ) z a 映射成角形域 0 arg w a （ a = π 时，此角形域为上半平面）． 把这两个函数构成的映射与分式线性映射联合起来可以进一步解决某些区域之间的 变化问题． 4. 本章主要题型 （1）判别一个映射 w = f z( )， z D 是否是保角映射． （2）已知映射及一个区域，求像区域． （3）已知两个区域，求映射． 以上（2），（3）题目较为灵活．故必须熟练掌握各种基本映射（整式线性映射、幂函数 映射、指数函数映射等）的特点及一些基本区域之间的映射（或变换）． 例 求一个保角映射，将 z 平面上的弓形域 z + i 2， Im( ) 0 z 映射成 w 的上半平 面 Im( ) 0 w ． x y w = f z( )? 图 6.14 1 z 2 z 3 Z 平面 平面 平面 u v w 平面
【解】如图614，经计算交点为=V5,三=-√5，其中5处圆弧的方向角为5. 可考虑先将z平面上的弓形域映射成5平面（注意图中未画出平面）的角形域，再 将角形域映射成w平面的上半平面， 设分式线性映射将=5映射成5平面上的点0.而，=-√5映射成5平面上的， 于是该映射可写为 5=V5 2+V5 -1+3 2-V5 5= 5= 当z=0时5=-1：当z=i时， 2 2,所以映射2+√5将弓形域映射成 2 rg5=乞π 角形域：即为5平面上的顶点在原点，且以射线 3“和arg5=π为两边的角形域.（读 者可自行验证) 2π 对5随以旋转变换？=eξ，它将专平面上的角形域顺时针族转3面成为”平 上的角形域。 最后，再令w=7 它将7平面上的角形域映射成w平面上的上半平面. f= -v3 2 复合映射 z+5 刀=e，w=n便得到 w=7=(e)=5 +5 33 即映射 z+√3 把z平面上的弓形域映射成w平面上的上半平面. 重点难点 第七章傅里叶变换 重点：复数形式的傅里叶级数： 傅里叶变换的性质： 相关函数 难点：灵活运用傅里叶变换的性质进行傅里叶变换 特色：学习用Matlab提供的现成函数和直接积分的方法分别求解傅氏变换 本章知识点摘要： 1.傅里叶级数 (1)周期函数的傅里叶展开若函数(x)以2I为周期的光滑或分段光滑函数，且定义域 为-，八，则式 称为周期函数(x)的傅里叶级数展开式，其中的展开系数称为傅里叶系数
【解】如图 6.14，经计算交点为 1 z = 3 ， 2 z = − 3 ，其中 2 z 处圆弧的方向角为 π 3 ． 可考虑先将 z 平面上的弓形域映射成 平面（注意图中未画出 平面）的角形域，再 将角形域映射成 w 平面的上半平面． 设分式线性映射将 1 z = 3 映射成 平面上的点 0. 而 2 z = − 3 映射成 平面上的， 于是该映射可写为 3 3 z z − = + 当 z = 0 时 =−1 ；当 z = i 时， 1 3 i 2 2 = − + ，所以映射 3 3 z z − = + 将弓形域映射成 角形域：即为 平面上的顶点在原点，且以射线 2 arg π 3 = 和 arg = π 为两边的角形域．（读 者可自行验证) 再对 施以旋转变换 2 πi 3 e − = ，它将 平面上的角形域顺时针旋转 2π 3 而成为 平面 上的角形域． 最后，再令 3 w = ，它将 平面上的角形域映射成 w 平面上的上半平面． 复合映射 3 3 z z − = + ， 2 πi 3 e − = ， 3 w = 便得到 3 2 πi 3 3 3 3 3 ( ) 3 z e z − − = = = = + w 即映射 3 3 3 z z − = + w 把 z 平面上的弓形域映射成 w 平面上的上半平面． 重点难点 第七章 傅里叶变换 重点：复数形式的傅里叶级数； 傅里叶变换的性质； 相关函数 难点：灵活运用傅里叶变换的性质进行傅里叶变换 特色：学习用 Matlab 提供的现成函数和直接积分的方法分别求解傅氏变换 本章知识点摘要： 1.傅里叶级数 （1）周期函数的傅里叶展开 若函数 f x( ) 以 2l 为周期的光滑或分段光滑函数，且定义域 为 [ , ] −l l ，则式 称为周期函数 f x( ) 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数称为傅里叶系数．