《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）复变函数和物理方法重点难点

X-Xo y-% 五x-x产+0-5x-+0- 我们注意到函数 1 x-Xo y-yo -)+i0-万x-+0-了1x-护+0-6-i6, 易见向量场（电场E=E,+E,,)正好与这个函数的共轭相对应，因此 x-Xo y-Yo d(x+iy) (x-x)2+(y-%)月 =∮(E-iE,)dx+iy)尸∮(Edx+E,dy)+i∮(-E,dx+E,d) =∮，Eds+i∮Ends 上式中矢量，含义与复变函数环路积分物理意义中的含义相同。 其物理意义7：由场论知电场是无旋的场，则电场强度E沿着L的环量 ∮E4,d=0 另外，如果L包含0点，则通量 Eno ds=2 如果L不包含点，则通量∮B,d=0 重点难点 第四章解析函数的幂级数表示 重点：复级数的基本概念及其性质： 如何将解析函数展开成泰勒级数及罗朗级数； 解析函数的重要性质。 难点：理解一个函数的解析性与一个函数能否展为幂级数是等价的. 特色：尝试用计算机仿真编程方法(Matlab,Mathematic,Mathcad进行级数展开。 本章知识点摘要： 1.复数项级数 8: 数列B=a+ib(n=l2小和级数”的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义类 似. 数列B=a.+ib,收敛的充要条件是实数列am和b同时收敛. 6. 2a.2b 级数二收敛的充要条件是实级数“和同时收敛 mR=0是级数名 收敛的必要条件 2.函数项级数幂级数 乏f 函数项级数 '中的各项如果是幂函数()=c(-o)”或(a)=c”,那么就得到幂级 贵三 或0 幂级数的收敛域为一圆域，其边界称为收敛圆。在圆的内部幂级数绝对收敛：在圆的外

0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) x y x x y y E E x x y y x x y y − − = = − + − − + − 我们注意到函数 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 i i ( ) i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x x y y E E z z x x y y x x y y x x y y − − = = − − − − + − − + − − + − ＝ 易见向量场（电场 E e e = + E E x x y y ）正好与这个函数的共轭相对应，因此 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 d i d( i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i )d( i ) ( d d ) i ( d d ) d i d L L x y x y y x L L L L L z x x y y x y z z x x y y x x y y E E x y E x E y E x E y s s   − − = − +   − − + − − + −   = − + + + − + = +        ＝ E l E n 上式中矢量 0 0 l n, 含义与复变函数环路积分物理意义中的含义相同。 其物理意义【7】：由场论知电场是无旋的场，则电场强度 E 沿着 L 的环量 0 d 0 L s  E l ＝ 另外，如果 L 包含 0 z 点，则通量 d π L s  ＝2 E n0 ； 如果 L 不包含 0 z 点，则通量 d 0 L s  E n0 ＝ . 重点难点 第四章 解析函数的幂级数表示 重点：复级数的基本概念及其性质； 如何将解析函数展开成泰勒级数及罗朗级数； 解析函数的重要性质。 难点：理解一个函数的解析性与一个函数能否展为幂级数是等价的. 特色：尝试用计算机仿真编程方法(Matlab，Mathematic ，Mathcad)进行级数展开。 本章知识点摘要： 1.复数项级数 数列 i ( 1,2,...) n n n  = + = a b n 和级数 1 n n   =  的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义类 似. 数列 i n n n  = + a b 收敛的充要条件是实数列 n a 和 n b 同时收敛. 级数 1 n n   =  收敛的充要条件是实级数 1 n n a  =  和 1 n n b  =  同时收敛. lim 0 n n  → = 是级数 1 n n   =  收敛的必要条件. 2.函数项级数 幂级数 函数项级数 0 ( ) n n f z  =  中的各项如果是幂函数 0 ( ) ( )n n n f z c z z = − 或 ( ) n n n f z c z = ，那么就得到幂级 数 0 0 ( )n n n c z z  =  − 或 0 n n n c z  =  . 幂级数的收敛域为一圆域，其边界称为收敛圆. 在圆的内部幂级数绝对收敛；在圆的外

部幂级数发散，在圆周上幂级数可能处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在 另一些点发散。 收敛圆的半径称为幂级数的收敛半径，求幂级数 2c.e-o 或 的收敛半径的公式 有比值法或根值法 1 R=lim R=lim ca+i或 3.素勒级数 :- 形如！ 的幂级数称为泰勒级数，若。=0，则为麦克劳林级数 定理若函数fe)在圆域-<R内解析，则在此圆域内，f(a)可展开成泰勒级数 fe=24- 。nl 且展开式是唯一的. 但需要特别说明的是： 尽管上式右端的幂级数可能在收敛圆周上处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛， 在另一些点发散.但幂级数的和函数在收敛圆周上至少有一个奇点 4.罗朗级数 芝c.e- 形如 的级数称为罗朗级数，它是一个双边幂级数， 定理若函数f()在圆环域R<-<尼内解析，则在此圆环域内，)可展开成罗朗 级数 e-立ce-y 其中 f() 2m$-mta=0,±2 ,L为圆环域内绕0的任一正向简单闭曲线. 5.本章主要题型及解题方法 (1)讨论复数列的敛、散性 可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断， (2)讨论复级数的敛散性 可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. 对于有些级数，若当n→∞时，通项不趋于零，则级数发散. ZIe. 通过讨论 的敛散性来获得“的敛散性。 (3)求幂级数的收敛半径及在收敛域内的和函数 解题思路： 1 f(z)= 例函数 (2-1(2-2)在平面上有两个奇点：2=1与2=2.2平面可以被分成 如下三个互不相交的2)的解析区域：（①）圆zK1,(2)圆环1K2:(3)圆环 2zk+∞，试分别在此三个区域内求(2)的展开式 【解】首先将(2)分解成部分分式

部幂级数发散，在圆周上幂级数可能处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在 另一些点发散. 收敛圆的半径称为幂级数的收敛半径，求幂级数 0 1 ( )n n n c z z  =  − 或 0 n n n c z  =  的收敛半径的公式 有比值法或根值法 1 lim n n n c R → c + = 或 1 1 lim | | n n n R → c  = = 3.泰勒级数 形如 ( ) 0 0 0 ( )( ) ! n n n f z z z n  =  − 的幂级数称为泰勒级数，若 0 z = 0 ，则为麦克劳林级数. 定理 若函数 f z( ) 在圆域 0 z z R −  内解析，则在此圆域内， f z( ) 可展开成泰勒级数 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f z f z z z n  = = −  . 且展开式是唯一的. 但需要特别说明的是： 尽管上式右端的幂级数可能在收敛圆周上处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛， 在另一些点发散. 但幂级数的和函数在收敛圆周上至少有一个奇点. 4.罗朗级数 形如 0 ( )n n n c z z + =−  − 的级数称为罗朗级数，它是一个双边幂级数. 定理 若函数 f z( ) 在圆环域 R z z R 1 0 2  −  内解析，则在此圆环域内， f z( ) 可展开成罗朗 级数 0 ( ) ( )n n n f z c z z + =− = −  ， 其中 1 0 1 ( ) d ,( 0, 1, 2,...) 2πi ( ) n n L f z c z n z z + = =   −  ，L 为圆环域内绕 0 z 的任一正向简单闭曲线. 5.本章主要题型及解题方法 (1)讨论复数列的敛、散性 可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. (2)讨论复级数的敛散性 可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. 对于有些级数，若当 n → 时，通项不趋于零，则级数发散. 通过讨论 1 n n   =  的敛散性来获得 1 n n   =  的敛散性. (3)求幂级数的收敛半径及在收敛域内的和函数 解题思路： 例 函数 ( 1)( 2) 1 ( ) − − = z z f z 在平面上有两个奇点： z = 1 与 z = 2 . z 平面可以被分成 如下三个互不相交的 f (z) 的解析区域：(1) 圆 | z | 1 ；(2) 圆环 1 | z | 2 ；(3) 圆环 2 | z | + ，试分别在此三个区域内求 f (z) 的展开式. 【解】 首先将 f (z) 分解成部分分式

f()=11 z-2z-1 <1 (①（①在圆域2K1内，因为k1<2,故2，于是有 fe)=1-21-号9 2 为f(z)在圆域2K1内的泰勒展开式. <1 (2)(2)在圆环域1K2内，有 ，故 2 2 (3)在圆环域2zK+0内，这时2 ，故 1 f()= 另外，对函数 (2-12-2)还可以求它在奇点2的去心邻域02-2K1的罗 朗展开式 0=-2-2+-22-)-2 k=0 这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式.显然在不同的展开区域有不同的展 开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾. 重点难点 第五章留数定理 重点：利用留数定理转化为留数计算问题. 难点：选好复变量积分的被积函数和积分围线： 确定积分区域和奇点。 特色：利用计算机仿真计算留数积分。 本章知识点摘要： 1.孤立奇点概念及其类型 若函数f)在0处不解析，但在0的某一去心邻域0<-<6内处处解析，则0称为 f)的一个孤立奇点。 孤立奇点0可按函数f(:)在解析邻域0<非一<6内的罗朗展开式中是否含有(2-) 的负幂项及含有负幂项的多少分为三类.如果展开式中不含、或只含有限项、或含无穷多个 (-)的负幂项，则0分别称为f)的可去奇点、极点、本性奇点. 孤立奇点类型的极限判别法： 1D)1)若m/a=a(a为有限值，则为f)的可去奇点：

1 1 2 1 ( ) − − − = z z f z (1) (1) 在圆域 | z | 1 内，因为 | z | 1  2 ，故 1 2  z ，于是有 1 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ) _ 1 1 2 2 2 2 1 2 k k k k k k k k z f z z z z z    + = = =   = −  = = −   −   −    为 f (z) 在圆域 | z | 1 内的泰勒展开式. (2) (2) 在圆环域 1 | z | 2 内，有 1 1  z ， 1 2  z ，故 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 k k k k k k k k k k z z f z z z z z z z     − + = = = = = −  −  = − − = − − − −     (3)在圆环域 2 | z | + 内，这时 1 1  z ， 1 2  z ，故 0 1 1 1 1 1 2 1 ( ) 2 1 1 1 k k k k f z z z z z z z z  =   =  −  = −     − −  另外，对函数 ( 1)( 2) 1 ( ) − − = z z f z 还可以求它在奇点 2 的去心邻域 0 | z − 2 | 1 的罗 朗展开式 k k k z z z z f z ( 1) ( 2) 2 1 2 1 1 2 1 ( ) 0 − − − − = − + − − =  + = 这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式. 显然在不同的展开区域有不同的展 开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾. 重点难点 第五章 留数定理 重点：利用留数定理转化为留数计算问题. 难点：选好复变量积分的被积函数和积分围线； 确定积分区域和奇点。 特色：利用计算机仿真计算留数积分。 本章知识点摘要： 1．孤立奇点概念及其类型 若函数 f z( ) 在 0 z 处不解析，但在 0 z 的某一去心邻域 0 0  −  z z  内处处解析，则 0 z 称为 f z( ) 的一个孤立奇点. 孤立奇点 0 z 可按函数 f z( ) 在解析邻域 0 0  −  z z  内的罗朗展开式中是否含有 0 ( ) z z − 的负幂项及含有负幂项的多少分为三类．如果展开式中不含、或只含有限项、或含无穷多个 0 ( ) z z − 的负幂项，则 0 z 分别称为 f z( ) 的可去奇点、极点、本性奇点. 孤立奇点类型的极限判别法： 1） 1） 若 0 lim ( ) z z f z a → = （ a 为有限值），则 0 z 为 f z( ) 的可去奇点；

苦1m)=0,则0为f阳的极点。进一步判断，若四e-)=b(b为 2)2)若 有限值且不为0)，则0为(2)的m阶极点： 2.留数的定义、计算方法 留数定义：设20为函数f(2)的孤立奇点，那么f(e)在0处的留数 e()(d= 其中C为去心邻域0<-<ò内任意一条绕z的正向简单闭曲线. 有限远点留数的计算方法： (1)用定义计算留数.即求出罗朗展开式中负幂项(2-)”的系数或计算积分 2手。阳d:.这是求留数的基本方法。 (2)若20为函数f(e)的可去奇点，则Res[f(=),]=0 3)若为fe)的一阶极点，则Res()]=四-/日 无限远点的留数计算方法 定理若imfe)≠0，则Reso=-Res/3,0 3.留数定理、留数和定理及其应用 留数定理设函数()在区域D内除有限个孤立奇点1,22，“，二n外处处解析，C为D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 f(-)d--2xi>Resl/(=).] 留数和定理设函数(2)在扩充复平面上除了(k=12,m,以及=0以外处处解 析， ∑Resf(=)+Resf(w)=0 计算三种类型的实变量积分： （i)R(co,s,med0】 (ii 、二的x,分母比分子至少高两阶。 (iii). fx产dx(a>0),分式多项式m)→0，即分母比分子至少高一阶。 解题思路： tanπzdz 例：计算积分J (n为正整数). tan元=sinπ飞 【解】 cosπz以 +k=0,1,2,） g=k+ 为一阶极点，故得 Resftan,=sin飞 (cosz4s、/ 于是由留数定理得 tan d=-2mi∑Res[tanl,=2iπ(-2)=-4ni

2） 2） 若 0 lim ( ) z z f z → =  ，则 0 z 为 f z( ) 的极点。进一步判断，若 0 0 lim( ) ( ) m z z z z f z b → − = （ b 为 有限值且不为 0），则 0 z 为 f z( ) 的 m 阶极点； 2．留数的定义、计算方法 留数定义：设 0 z 为函数 f z( ) 的孤立奇点，那么 f z( ) 在 0 z 处的留数 0 1 1 Res[ ( ), ] ( )d 2πi C f z z c f z z = = −  其中 C 为去心邻域 0 0  −  z z  内任意一条绕 z 的正向简单闭曲线. 有限远点留数的计算方法： （1）用定义计算留数. 即求出罗朗展开式中负幂项 1 0 ( ) z z − − 的系数或计算积分 1 ( )d 2πi C f z z  .这是求留数的基本方法. （2）若 0 z 为函数 f z( ) 的可去奇点，则 Res[ ( ), ] 0 0 f z z = . （3）若 0 z 为 f (z) 的一阶极点，则 0 Res[ ( ), ] lim( ) ( ) 0 0 z z f z z z z f z → = − . 无限远点的留数计算方法 定理 若 lim ( ) 0 z f z →  ，则 2 1 1 Res ( ) Res[ ( ) ,0] f f z z  = −  3．留数定理、留数和定理及其应用 留数定理 设函数 f z( ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 n z ,z , ,z 1 2  外处处解析， C 为 D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 1 ( )d 2πi Res[ ( ), ] n k C k f z z f z z =  =  . 留数和定理 设函数 f (z) 在扩充复平面上除了 ( 1,2, , ), k z k n =  以及 z = 以外处处解 析，则 1 Res ( ) Res ( ) 0 n k k f z f =  +  = 计算三种类型的实变量积分： （i） 2 0 R(cos ,sin )d      ； （ii） ( ) d ( ) P x x Q x + − ，分母比分子至少高两阶； （iii） i ( ) d ,( 0) a x f x e x a + −   ，分式多项式 lim ( ) 0 x f x → → ，即分母比分子至少高一阶. 解题思路： 例： 计算积分 | | tan π d z n z z  = （ n 为正整数）. 【解】 sin π tan π cos π z z z = 以 1 ( 0, 1, 2, ) 2 k z k k = + =   为一阶极点，故得 1 2 sin π 1 Res[tan π ] (cos π ) π k k z z k z z z = + = = −  于是由留数定理得 k | | 2 tan π d 2πi Res[tan π ] 2πi( ) 4 i π k z z n z n n z z z n =  −  = = = − 

--0p cos20d0 (0<p<1) 2:求 的值 【解】令z=e,由于 20e+e)=e+ ,因此 1-2 22+22 24+1 2+2+p2正-92i21-pz2-p) dz 1-2p.2+2 z4+1 设儿@)2正0-Xe-pm 在积分区域=1内函数f日)有二个极点2=0,2=P,其中z=0为二阶极点， 2=P为一阶极点，而 RsUeo=Fel lim 2-pz2-p+p2z4:3-1+z1-2p+p2 :0 2i(z-pz2-p+p2z)月 =-1+p 2ip2 Res[(-)以p]-Il:-pfe= 1+p 2ip21-p2) 因此 I=2niRes[f(=),0]+Res[f(=),p]) =2πi _1+p+1+p 2ip22ip21-p2) 2p2 1-p 重点难点 第六章保角映射 重点：复习导数解析函数的几何意义，了解保角映射的概念： 掌握分式线性映射的保角性、保圆周性和保对称性： 熟练掌握利用分式线性映射求一些简单区域（半平面、圆、二圆弧所围区域、角形域）之间 的保角映射. 掌握幂函数、指数函数以及它们的复合函数所构成的映射： 掌握给定三对对应点决定分式线性映射的方法. 难点：学会利用复变函数（特别是解析函数）所构成的映射来实现复杂区域的简单化 特色：计算机仿真绘出等值线图形和其他曲线图形. 本章知识点摘要： 1.保角映射 保角映射：具有保角性且伸缩率不变性的映射 定理若函数w=f(e)在区域D内解析，且对任意的o∈D,有(o)≠0，则w=fa必是D

2：求 2π 2 0 cos 2 d (0 1) 1 2 cos I p p p    =   − +  的值. 【解】 令 i z e  = ，由于 1 1 2i 2i 2 2 cos 2 ( ) ( ) 2 2 e e z z    − − = + = + ，因此 2 2 4 1 2 | | 1 | | 1 2 1 d 1 d 2 i 2i (1 )( ) 1 2 2 z z z z z z I z z z z z pz z p p p − − = = + + = = + − − −  +   设 4 2 1 ( ) 2i (1 )( ) z f z z pz z p + = − − 在积分区域 z =1 内函数 f (z) 有二个极点 z = 0, z = p ，其中 z = 0 为二阶极点， z = p 为一阶极点，而 2 0 2 2 3 4 2) 2 2 2 0 d Res[ ( ),0] lim [ ( )] d ( ) 4 (1 )(1 2 lim 2i( ) z z f z z f z z z pz p p z z z pz p z pz p p z → → = − − +  − + − + = − − + 2 2 1 2i p p + = − 4 2 2 1 Res[ ( ), ] lim[( ) ( )] 2i (1 ) z p p f z p z p f z → p p + = − = − 因此   2 4 2 2 2 2 2 2πi Res[ ( ),0] Res[ ( ), ] 1 1 2πi 2i 2i (1 ) 2π 1 I f z f z p p p p p p p p = +   + + = − +     − = − 重点难点 第六章 保角映射 重点：复习导数解析函数的几何意义，了解保角映射的概念； 掌握分式线性映射的保角性、保圆周性和保对称性； 熟练掌握利用分式线性映射求一些简单区域（半平面、圆、二圆弧所围区域、角形域）之间 的保角映射． 掌握幂函数、指数函数以及它们的复合函数所构成的映射； 掌握给定三对对应点决定分式线性映射的方法． 难点：学会利用复变函数（特别是解析函数）所构成的映射来实现复杂区域的简单化 特色：计算机仿真绘出等值线图形和其他曲线图形． 本章知识点摘要： 1．保角映射 保角映射：具有保角性且伸缩率不变性的映射． 定理 若函数 w = f z( ) 在区域 D 内解析，且对任意的 0 z D ，有 0 f z ( ) 0  ，则 w = f z( ) 必是 D