第三章传统博弈理论的简介第二节纳什均衡的定义和几种实现途径 1。纳什均衡(NE)的定义 ■纳什均衡( Nash equilibrium,简记NE)的理解:参与者可以直接 交换信息并—致同意选择某一策略,虽然这些口头协议无法强制 实施,但是每个参与者单独偏离却不会带来更大收益。 双人策略式博弈的纳什均衡描述:策略组合(x*,x)是一个NE 当且仅当x是x2的最佳应对策略,x2也是x1的最佳应对策略, 双方都没有兴趣偏离此最佳应对的预期,则该策略组合是自动实 施的( self-enforcing) ■举例:囚徒困境博弈中,策略组合(P,P)为-一个NE。 坦白囚徒4 抵赖NP 坦白P8,-80,-10 囚徒B 10,0 2006-3-7 抵赖NP 6
2006-3-7 6 第三章 传统博弈理论的简介 第二节 纳什均衡的定义和几种实现途径 1。 纳什均衡（NE）的定义 ◼ 纳什均衡（Nash Equilibrium，简记NE）的理解：参与者可以直接 交换信息并一致同意选择某一策略，虽然这些口头协议无法强制 实施，但是每个参与者单独偏离却不会带来更大收益。 ◼ 双人策略式博弈的纳什均衡描述：策略组合( x1 * ， x2 * ) 是一个NE， 当且仅当x1 *是x2 *的最佳应对策略， x2 *也是x1 *的最佳应对策略， 双方都没有兴趣偏离此最佳应对的预期，则该策略组合是自动实 施的（self-enforcing）。 ◼ 举例：囚徒困境博弈中，策略组合（P，P）为一个NE。 -8，-8 0，-10 -10，0 -1，-1 坦白P 抵赖NP 坦白P 抵赖NP 囚徒A 囚徒 B
第三章传统博弈理论的简介第二节纳什均衡的定义和几种实现途径 1。纳什均衡(NE)的定义 一般的定义∶策略式博弈(X1,Xn;u1,…,un)的一个策略组合 (x1*,…,xn3)是纳什均衡,如果使得下式成立 u(x;,x*)≥u(x1,x-1*)对所有x∈X都成立 如果上式取严格不等号,则为强NE。 解释:策略是参与者面向对方选择策略的_个最佳反应,这一点对所有参 与者都是如此。 分析方法:划线法分别列出对方选择某一策略时,自己的最佳应对 策略;然后找出双方都是最近应对策略的组合,即为NE 例如囚徒困境中,NE为(P,P) 囚徒A 坦白P抵赖NP 坦白P 囚徒B 8,80,-10 2006-3-7 抵赖NPL-10,Q
2006-3-7 7 第三章 传统博弈理论的简介 第二节 纳什均衡的定义和几种实现途径 1。 纳什均衡（NE）的定义 ◼ 一般的定义：策略式博弈（X1 ,…,X n；u1 ,…,u n）的一个策略组合 ( x1 * ，…， x n * )是纳什均衡，如果使得下式成立： u ( xi * ， x－i* )≥ u ( xi， x－i* ) 对所有 xi∈ Xi都成立 如果上式取严格不等号，则为强NE。 解释：策略是参与者面向对方选择策略的一个最佳反应，这一点对所有参 与者都是如此。 ◼ 分析方法：划线法—分别列出对方选择某一策略时，自己的最佳应对 策略；然后找出双方都是最近应对策略的组合，即为NE。 例如囚徒困境中，NE为（P，P） 坦白P 抵赖NP 坦白P 抵赖NP 囚徒A 囚徒 B -8，-8 0，-10 -10，0 -1，-1
第三章传统博弈理论的简介第二节纳什均衡的定义和几种实现途径 1。纳什均衡(NE)的定义 混合策略( mixed strategy)的定义: 策略式博弈(Ⅺ1灬Xn;l灬,n)中,参与者的有K个纯策略, x1=(x1,…,x1K),则概率分布p=(p1,…,p1k)成为参与 者的一个混合策略,其中0≤p1k≤1,∑k=1p1k=1,P1k表示参与者 选择纯策略κk的概率,k=1,…K。此时参与者获得期望支付 ( expected payo),定义为以概率为权重的所有取值加权平均, E(1)=p11+…+pnXn ■举例:猜硬市游戏双方同时亮出硬币,当同一面时参与者1嬴, 否则嬴。该博弈无纯策略NE,混合策略均衡(l/2,1/2) 2006-3-7
2006-3-7 8 混合策略(mixed strategy)的定义： ◼ 策略式博弈（X1 ,…,X n；u1 ,…,u n）中，参与者i的有K个纯策略， Xi＝( xi1 ，…， xi K )， 则概率分布 pi＝( pi1 ，…， pi K )成为参与 者i的一个混合策略，其中0≤ pi k ≤1，∑ K k=1 pi k =1，pi k表示参与者 i选择纯策略x i k 的概率， k＝1, … ,K 。此时参与者获得期望支付 （expected payoff），定义为以概率为权重的所有取值加权平均， E(X)＝ p1 X1＋…＋ p n X n 。 ◼ 举例：猜硬币游戏——双方同时亮出硬币，当同一面时参与者1赢， 否则2赢。该博弈无纯策略NE，混合策略均衡（1/2,1/2） 第三章 传统博弈理论的简介 第二节 纳什均衡的定义和几种实现途径 1。 纳什均衡（NE）的定义 c1 c2 -1，1 1，-1 r1 1，-1 -1，1 r2 2 1
第三章传统博弈理论的简介第二节纳什均衡的定义和几种实现途径 2。纳什均衡(NE)的几种实现途径 纳什均衡的存在性定理(Nash,1950):每一个有限博弈都至少 有一个NE,其中包括混合策略纳什均衡。 注:作为纯策略NE存在性的一个推论,仍采用不动点定理证明。 实现途径分析 (1)通过改变博弈规则,采取事前的沟通,或者外部力量的协调。 (2)在既有博弈规则内,理性主义和演化主义的均衡化过程分别提 供了两种不同的NE均衡形成途径。 2006-3-7
2006-3-7 9 第三章 传统博弈理论的简介 第二节 纳什均衡的定义和几种实现途径 2。 纳什均衡（NE）的几种实现途径 ◼ 纳什均衡的存在性定理（Nash，1950）：每一个有限博弈都至少 有一个NE，其中包括混合策略纳什均衡。 注：作为纯策略NE存在性的一个推论，仍采用不动点定理证明。 ◼ 实现途径分析： （1）通过改变博弈规则，采取事前的沟通，或者外部力量的协调。 （2）在既有博弈规则内，理性主义和演化主义的均衡化过程分别提 供了两种不同的NE均衡形成途径
第三章传统博弈理论的简介第二节纳什均衡的定义和几种实现途径 2。纳什均衡(NE)的几种实现途径 第一种实现途径:博弈前的串谋 过程:参与者在博弈前直接的沟通,达成一个没有约束力的协议 然后开始单独行动如果一致同意达到某个结果,那么可以预 期这个结果是可以自我实施的( self-enforcing),即NE 举例:参加齐心协力跑比赛 ■问题:现实条件可能不允许参与者事前进行直接沟通,怎么办? (1)物质条件不允许直接沟通(参与者人数众多 (2)双方进行对话的基本互信不足(朝鲜孩问题六方会谈) (3)博弈规则不允许参与者会面(司马相如和卓文君私奔)《邮 通过外部力量进行协调。 注:通过事前的串谋实现纳什均衡,改变了原博弈的信息集合 2006-3-7
2006-3-7 10 第一种实现途径： 博弈前的串谋 ◼ 过程：参与者在博弈前直接的沟通，达成一个没有约束力的协议， 然后开始单独行动——如果一致同意达到某个结果，那么可以预 期这个结果是可以自我实施的（self-enforcing），即NE。 ◼ 举例：参加齐心协力跑比赛 ◼ 问题：现实条件可能不允许参与者事前进行直接沟通，怎么办？ (1) 物质条件不允许直接沟通（参与者人数众多）； (2) 双方进行对话的基本互信不足（朝鲜核问题六方会谈）； (3) 博弈规则不允许参与者会面（司马相如和卓文君私奔）。 ——通过外部力量进行协调。 注：通过事前的串谋实现纳什均衡，改变了原博弈的信息集合。 第三章 传统博弈理论的简介 第二节 纳什均衡的定义和几种实现途径 2。 纳什均衡（NE）的几种实现途径