第十章区间对象族系统的稳定性半径 就可以确定工X中的所有的交点。求出交点后,即可按下式算出p(X)的取值 1(x1)=|(x,),(A2)=|2(A2,),1(A,)=|(A,),(A4,)=|(A,.(10.28) 需要注意的是,(10.27)式有些解可能不属于工.事实上,交点A;1是多项式(A)+1()-71()分(入) 的根。显然,只有属于xX的根A1才需要考虑; 4.驻点,即以(入)的一阶导数为零的点。由于p(A)的表达式为(10.14),(10.16,(10.18)和(10.20)中的 32个有理函数的某一个,p(A)=0意味着((X)=0,这里x∈.,V},=1,2,4由于 ()为分段有理函数,并非体(入)的每个驻点都是(A)的驻点 在下面的小节里,我们将对上述4类点处(入)的计算问题做详尽的讨论 81013确定切换频率Asw,和(Asw,l) 为简单起见,假设控制器C(s)在虚轴上既无极点也无零点。将C(ju)分为虚部和实部 nHp.+ C(w) gDc jw(gNchpc -hNcgDc) Dc t yw 则切换频率λsw,由下述两种情况确定 a:gN。hDa-hNDe=0;这相当于 sin arg C(ju)=0,即argC(j)=k,此时C(ju)穿过虚轴。记这 类的切换频率为{w,} b: iNch+MgNc9Dc=0;这相当于 cos arg C(ju)=0,即argC(ju)=k霄+丌/2,此时C(ju)穿过实轴 记这一类的切换频率为{w,} 现在引入 Hurwitz矩阵对的公共特征向量的概念。 定义101給定m个ritz矩阵对(H,,H1,k),k=1,2,,m.令v(Ak)是(HB,k,H,k)的特征向量。 若A1=A2 Am=A,则称v(Ak)是矩阵对的公共特征向量 注意,在上述定义中我们并没有假设矩阵对(HB,k,H,)有相同的维数,所以v(Ak)可以是维数各异的向 量。v(Ak)之所以被称为公共向量是因为他们都是由Ao生成的向量,且M是与(H3,k,H,)对应的函数 对(,k(入),,k())的公共交点频率 设 deg No()=degD(s).则容易验证|g(4)-dg)()≤1.由(8.165)和(8.160,我们定以下述 Hurwitz矩阵 Hx,1=H(,,H2x,2=H(,A),丑1,3=H(,),丑3x,4=H(-A,所 H H(,72),H2x,2=H(2,73),H (3,14,H (,4) 此处X=I,II,以及 Hax,=H(A,A),丑Bx2=H(,A),丑Bx.=H(,B),丑3x,=H(-A,所) H n2),五,x,2=H(72,7,x,3=H(74,7) H(1,4) 此处ⅹ=I,IⅣV.下面的定理说明如何确定切换频率Asw;和 定理102(a)4w;>0是(a)类切换频率,当且仅当v(1w,是矩阵对 ),(H1,3,H1.3),( Hm,1),(H,3,H1m,3),( H 的公共特征向量。矩阵对(2x,k,2x,)的相应的特征值是(5w, (b)w;>0是(b)类切换频率,当且仅当v(w;)是矩眸对 (H,2,H12),(HBu,4,H14),(Hu,1,H,n,1),(Ht,3,H1,3), (丑n2,H1m,2),(H1,4,H1m,4),(HBv,Hny,),(Hav,3,H1,3) 的公共特征向量。矩阵对(互3x,k,H1x,k)的相应的特征值是体(4w,)
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§10.1一般控制器时稳定性半径的计算问题 证明.只证(a).由定理8.11,(w)是(Hx,k,H1x,A)的特征值当且仅当冯w;是多项式(A) n()()-(A)()的根,而A(A,(),7(),7(A)由相关的矩阵对(Hx,互1x)确定.要 证明(w,)是(10.30)中所有矩阵对的公共特征向量,只要证明Xsw;是下列所有8个多项式 的根就行了.我们现在证明,gbDe- hNcgD是这些多项式的公因子.通过简单的代数运算可得 412()=(gNch h -hoga 4(x) )(m-h) (A)=-A(x1D。一hmn)(mg-hoe) (A)=(3bD。-x9D0)(m-1e) A)=(Na。-D。)(m-h) (A)=A(wbD。=1×c0)(m-h) 2(A)=(bD-x9D)(-1) 6(A)=(gNchDc-hNc9De)( -hog 其中f=[分磅是本章第3节未尾定义的向量.于是,每个切换频率w;都是上述8个多项式的 公共根.要证明所有正的公共根0都是切换频率,只要证明上述分解的因子90-加没有公共正根 就行了注意到901-h=0当且仅当向量f和f共线,而所有8个向量f不可能同时与fo共 线,901-hg不可能有公共根A0> 下述定理说明如何计算切换频率处的p(入 定理10.3(a)令v(w,)是矩阵对(10.30)的公共特征向量,(w,是相应的特征值若|(w,川> (w,)则anC(id) (w;)=2(3w,)=-4(3w)=(x3w;) 吗(w,)=(w,)=n(Aw,)=(Aw,) 1(x3w,)=min{(xw,,(w,)}=min{2(w,川,同4(w, 否则有aryC(ju)=(2m+1)丌 (23w,)=mn{(xw,,p21(x3w,}=min{2(w,,p(w, (10.35) (b)令()3w,)矩阵对(10.31)的公共持征向量,体(4w,)是相应的特征值若(3w,)>同4(w, 则ayC(ju)=(2m+)丌 (w,)=-4(w,=p(kw,=2(点w 2(23w,)=3(kw:)=p(w)=4(鸡w:) (10.36 (3w,)=mn{2(x3w,),()3w,}=mn{m(w,列,3(鸡w,川
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第十章区间对象族系统的稳定性半径 否则有arC()=(2m-号) 12(w,)=2(3w,)=少(5w;)=4(地3w, (10.38) 12(x5w,川,同4(x3w,川}=min{Y )} (10.39) 证明:只证(a.(sw,)是矩阵对(10.30)的公共特征向量,当且仅当w,是gbDc- hDCc的根 将gNch hpcn入=A 0代入(10.14)和(10.18),得 (hD +w292)D, 3-(hNchDc Asw.igNcgDc)&N, 所以 i(SWi)>A1(swil,+ hNchDc AswigNcgDc >0 台→argC(jusw;) 现在来建立式(10.32).由于Awa既是((A),p(A)的相交点,也是((A),4(入)的相交点,我们有 类似地,Aw:既是both(-4Y(),()的相交点,也是(2(A,()的相交点,有 注意到式(10.14)和(10.20),可得 4 再由 (sw i )=min uj (sw, i =min u (sw. i)y 即可证式(10.33.其它的式子可以类似的证明 p(23w)和p(2w,)揭示了哪个±()应用来描述().利用这些信息我们可以确定(的显式 810.14关于相交点A, 找到所有的切换频率Asw;和A3w;后,将它们按从小到达的顺序排列 0<Asw 1<As 其中Aw=Aw,或w=w,则可将正实轴划分为有限个区间之和:R+=U人=1xx,其中 x=U[Aswl,Asw+,且在区间∈工内,p(X由()表达。若fo∈S,则(X)=(入)。从而在 ∈工X内,p(入)仍然是分段有理函数。于是[Asw,Asw,+1]可进一步划分使之成为有限个小区间之和 [λsw,Aswl+]=U[,j,A2+1,k]在小区间X∈[A,,A+1,]内,p(A)=p(A).显然,A是p(A)和 1()的相交点。于是(A)的表达式由()变为u1(),-见(10.27).由于相交点是p(A)的表达式 发生变化的点,它们是μ()可能的极值点。由定理811确定相交点A,并计算p(,)的问题可以转化 为矩阵特征值的计算问题。于是由下述结果
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制影器虚轴既无极也;部半N。+gD题 则 频率两:;当in屿;g和Ⅱ豳mg此时个穿过记{an幽;当gbn啪m当gon断当gb现引 人当w当此时个矩阵公共特{征公共向量i概;当g 念义点给定m个个 ngr nir'gi t z短阵对 n=gr nir:g念义点给2{"nrg?,·令0 是的若·m。由于念计算mrg?驻点时需要确;知道nrg,·令{而后者又i决于其义点性质{我 们将念这一节里提出一个判据{以判断n*grng念义点给m2还mz义 显然{n当g与ng念;当给23{当且仅当n当grnr当g2等且二者,一阶导u念;当給 也2等。我们称;当mn* gr ning? g点。下述命题确定了 n gr nir g?B点r多项令n当rgb grg-g当g1多重根之间,关系 命题两酒设n当gb,ngb到c当in当g和g此切记当且仅当它in当g此时个至 少g重根。 证明.;当mn当ig1重根{当且仅当 n当r当gb0 t and negri当g:bg半g-/r图1k=xb0t r柳40g 这里?单引号,示一阶导 设r坝40g成立{证明 b 当 塊4坝 为简便期间{省略rg令r坝40g等价于 -月件判- 坝4则 将令r坝4则代入 agb-(-nb-一用学当 得 a当当gb(-月1-+y当当 月判-/一+6当当 月学当+一挡当r+月 bn誉当当+/b0 于mn当gbmi当g 再设;当mn当grn;g点{证明它mn当rg一个至少二重根。设念;b;当給有 %-b珰"γ当当 鹨-作 将上令代入n当rg得 当当gb判-/件岗 消-%
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