第十六章偏导数与全徵分 §1偏导数与全微分的概念 1.求下列函数的偏导数: (1)l=x2ln(x2+y2) (2)u=(x+y)cos(xy) (3)u=arctan+ (4)l=xy+-; sin(ry) 1)=si x+y≠ 0, f(x, x2+y2=0 考察函数在(0,0)点的偏导数 3.证明函数u +y2在(0,0)点连续但偏导数不存在 4.求下列函数的全微分: (2)=xe=+e+y 5.求下列函数在给定点的全微分 x 在点(,0)和(O,1) (2)u=ln(x+y2)在点(0,1)和(1,1); (3)=,-在点(1,,1 (4)=x+(y-) arcsin,-在点(0,1)
第十六章 偏导数与全微分 §1 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 u x x y = + ln( ) ； (2) u x y xy = + ( )cos( ) ； (3) arctan x u y = ； (4) x u xy y = + ； (5) sin( ) xy u xye = ； (6) y x u x y = + . 2．设 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0, ( , ) 0, 0. y x y f x y x y x y + = + + = 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数 2 2 u x y = + 在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) 2 2 2 u x y z = + + ； (2) yz x u xe e y − = + + . 5．求下列函数在给定点的全微分： (1) 2 2 x u x y = + 在点(1,0)和(0,1)； (2 ) 2 u x y = + ln( ) 在点(0,1)和(1,1)； (3) x u y = 在点(1,1,1)； (4) ( 1)arcsin x u x y y = + − 在点（0，1）
6.考察函数f(x,y)在(0,0)点的可微性,其中 x2+y2≠0, f(x, y) x 0 0 7.证明函数 y2≠0, 在(0,0)点连续且偏导数存在,但在此点不可微。 8.证明函数 (x +y)sin y2≠0, f(x, y) 的偏导数存在,但偏导数在(00)点不连续,且在(00)点的任何邻域中无界,而∫在原点(0,0) 可微。 y2≠0, f(x, y) 证明和在(00)点连续 设 0 f(x, y)= x+y 证明∫(x,y)在(0,0)点可微,并求d(0,0) 11.设 0. f(x,y)={x2+y2 =0 (1)x=x(),y=y(m)是通过原点的任意可微曲线(即x2(0)+y2(0)=0,t≠0时 x2()+y2()≠0,x()、y(1)可微)求证f(x(),y()可微
6．考察函数 f x y ( , ) 在(0,0)点的可微性，其中 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0, ( , ) 0, 0. xy x y f x y x y x y + = + + = 7．证明函数 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + = + + = 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 8．证明函数 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + + = + + = 的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而 f 在原点(0,0) 可微。 9．设 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + = + + = 证明 f x 和 f y 在(0,0)点连续. 10．设 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 , 0, ( , ) 0, 0. x x y e x y f x y x y x y − + = + + = 证明 f x y ( , ) 在(0,0)点可微，并求 df (0,0). 11．设 3 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x x y f x y x y x y + = + + = (1) x x t y y t = = ( ), ( ) 是通过原点的任意可微曲线（即 2 2 x y t (0) (0) 0; 0 + = 时， 2 2 x t y t x t ( ) ( ) 0, ( ) + 、 yt() 可微）.求证 f x t y t ( ( ), ( )) 可微
(2)f(x,y)在(0,0)不可微 12.设xy很小,利用全微分推出下列各式的近似公式: (1)(1+x)"(1+y)”; x+ v (2)arctan 1+xy 13.设u=f(x,y)在矩形:a<x<b,c<y<d内可微,且全微分dh恒为零,问f(x,y) 在该矩形内是否应取常数值?证明你的结论 14.设在(xn,y0)存在,在(xn,y)连续,求证∫(x,y)在(x,y)可微 15.求下列函数的所有二阶偏导数: (1)=In x2+y (2)l=xy+2 (3)u=xsin(x+y)+ycos(x+y): 16.求下列函数指定阶的偏导数: (1)u=xsin y +y sinx, k a'u (2)l= arctan x+y,求所有三阶偏导数 (3)u=Smx+1),,a (4)l=xzex,求 axa.az (5)∥= y (x≠y),求 (6)=ln(ax+),求、mu 17.验证下列函数满足
(2) f x y ( , ) 在(0,0)不可微. 12．设 x y , 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (1 ) (1 ) ; m n + + x y (2) arctan 1 x y xy + + . 13．设 u f x y = ( , ) 在矩形： a x b c y d , 内可微，且全微分 du 恒为零，问 f x y ( , ) 在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论. 14．设 f x 在 0 0 ( , ) x y 存在， f y 在 0 0 ( , ) x y 连续，求证 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 可微. 15．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) 2 2 u x y = + ln ； (2) y u xy x = + ； (3) u x x y y x y = + + + sin( ) cos( ) ； (3) xy u e = . 16．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 u x y y x = + sin sin ,求 6 3 3 u x y ； (2) arctan 1 x y u xy + = − ，求所有三阶偏导数； (3) 2 2 u x y = + sin( ),求 3 3 u x ， 3 3 u y ； (4) x y z u xyze + + = ,求 pqr p q r u x y z + + ； (5) x y u x y + = − ( ) x y ，求 m n m n u x y + ； (6) u ax by = + ln( ),求 m n m n u x y + . 17．验证下列函数满足
0 (1)u=ln(x2+y2) (2)ll=x2-y; u=e cos (4)u=arctan 18.设函数u=0(x+v(y),证明 Ou au au au 19.设厂x,f在点(x0,y)的某邻域内存在且在点(x,y)可微,则有 J(x。y0)=Jx(x,y) §2复合函数与隐函数微分法 1.求下列函数的所有二阶偏导数 ()u=f(ax, by) (2)u=f(+y,x (6)=f(x+y,xy,-) 设:=x2-y),其中厂是可微函数,验证 y ay
2 2 2 2 0 u u x y + = . (1) 2 2 u x y = + ln( ) ； (2) 2 2 u x y = − ； (3) cos x u e y = ； (4) arctan y u x = . 18．设函数 u x y = + ( ( )) ，证明 2 2 2 u u u u x x y y x = . 19．设 , x y f f 在点 0 0 ( , ) x y 的某邻域内存在且在点 0 0 ( , ) x y 可微，则有 0 0 0 0 ( , ) ( , ) xy yx f x y f x y = . §2 复合函数与隐函数微分法 1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) u f ax by = ( , ) ； (2) u f x y x y = + − ( , ) ； (3) 2 2 u f xy x y = ( , ) ； (4) ( , ) x y u f y z = ； (5) 2 2 2 u f x y z = + + ( ) ； (6) ( , , ) x u f x y xy y = + . 2．设 2 2 ( ) y z f x y = − ，其中 f 是可微函数，验证 2 1 1 z z z x x y y y + =
设v=-g(t--),c为常数,函数g二阶可导, a-v avav 1 a 证明 Ox ay a c at 4.若函数f(x,y,z)对任意正实数t满足关系 f(tx,y,)=t"f(x,y,=), 则称f(x,y,=)为n次齐次函数设∫(x,y,)可微,试证明f(x,y,)为n次齐次函数的充要 条件是 c+,y+9 ax·oz x,y, 5.验证下列各式 (1)l=q ),则 (2)u=y(x-y2),则a (3)=xo(x+y)+y(x+y),则0u-242n (2),则 6.设u=f(x,y)可微,在极坐标变换x= rose,y=rsin0 02,C、2,O、2.O 这时称()2+(-)2是一个形式不变量 8.设函数a=f(x,y)满足拉普拉斯方程 a2u a2 au a1 证明在下列变换下形状保持不变,即仍有
3．设 1 ( ) r v g t r c = − ， c 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r x y z = + + 。 证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v v 1 x y z c t + + = . 4．若函数 f x y z ( , , ) 对任意正实数 t 满足关系 ( , , ) ( , , ) n f tx ty tz t f x y z = ， 则称 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数.设 f x y z ( , , ) 可微，试证明 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数的充要 条件是 ( , , ) f f f x y z nf x y z x y z + + = . 5．验证下列各式： (1) 2 2 u x y = + ( ) ,则 0 u u y x x y − = ； (2) 2 2 u y x y = − ( ),则 u u xu y x x y y + = ； (3) u x x y y x y = + + + ( ) ( ) ,则 2 2 2 2 2 2 0 u u u x x y y − + = ； (4) ( ) ( ) y y u x x x = + ,则 2 2 2 2 2 2 2 2 0 u u u x xy y x x y y + + = . 6．设 u f x y = ( , ) 可微，在极坐标变换 x r = cos ， y r = sin 下，证明 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z x y u v + = + . 这时称 2 2 ( ) ( ) z z x y + 是一个形式不变量. 8．设函数 u f x y = ( , ) 满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0 u u x y + = ， 证明在下列变换下形状保持不变，即仍有 2 2 2 2 0 u u s t + =