HIT 第五章 (2)如果A的所有特征值为两两相异,则对应于每一个特 征值必仅有一个约当块,因此A必定是循环的。 (3)若A为循环矩阵,则其循环是指:必存在一个向量 b,使向量组{b,Ab…,A"b}可构成一个n维空 间,也即{A,b}为能控。 (4)若{A,B}为能控,且A为循环,则对几乎任意的 P×1实向量p,单输入矩阵对{4,BP}为能控 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 026
第五章 （2）如果 A 的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特 征值必仅有一个约当块，因此 A 必定是循环的。 间，也即 为能控。 （3）若 A 为循环矩阵，则其循环是指 ：必存在一个向量 b ，使向量组{ }可构成一个 n 维空 1 , , , n b A b A b L - {A b, } （4）若 {A B, } 为能控，且 为循环，则对几乎任意的 p ´ 1 实向量 r ，单输入矩阵对{A B, r } 为能控。 A 026
HIT 第五章 (5)若A不是循环的,但{A,B}为能控,则对几乎任意 的P×n常阵K,A-BK为循环。 结论:线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全 部极点的充分必要条件,是此系统为完全能控。 ◆单输入极点配置问题的算法 算法:给定能控性矩阵对{A,b}和一组期望的闭环特征 值{λ1,λ2,…,n},确定1×n的增益矩阵k 国使成立x(4-bk)=2,=12…,n 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 027
第五章 （5）若 A不是循环的，但 为能控，则对几乎任意 的 p n ´ 常阵 K ，A - BK 为循环。 {A B, } 结论 ：线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全 部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。 u单输入极点配置问题的算法 算法 ：给定能控性矩阵对 和一组期望的闭环特征 * ( ) , 1, 2 , 使成立 l l i i A - bk = =i n L 值{ } ，确定1 ´ n 的增益矩阵 k ， * * * 1 2 , , , l l l L n {A b, } 027
HIT 第五章 第1步:计算A的特征多项式,即 det(sl-a)=s"+a-s+.+a,s+a 第2步:计算由{1,2…,n所决定的特征多项式 * 即:C(S=-2)·(S-23)=s+5 +…+CS+ 第3步:计算k=[an-a0,a1-a1,…,.n1-an 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 028
第五章 第 1 步 ：计算 A的特征多项式，即 1 1 1 0 det( ) n n n sI A s a s s a a - - = + - + L + + 第 2 步 ：计算由 所决定的特征多项式。 * * * * 1 * * 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n n n n a s s l s l s a s s a a - 即 ： = - L L - = + - + + + { } * * * 1 2 , , , l l l L n 第 3 步 ：计算 * * * 0 0 1 1 1 1 , , , n n k a a a a a a - - = é ù - - - ë û L 028
HIT 第五章 第4步:计算变换矩阵 4"b…,b 第5步:求Q=P 第6步:所求增益矩阵K=KQ 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 029
第五章 第 4 步 ：计算变换矩阵 1 1 1 1 1 , , , 1 n n n P A b Ab b a a a - - - é ù ê ú = é ù ë û ë û O L M O O L 第 5 步 ：求 1 Q P - = 第 6 步 ：所求增益矩阵 K = K Q 029
HIT 第五章 例:给定单输入线性定常系统为 00 x 1-60|x+0 0 12 再给定期望的一组闭环特征值为: 入1=-2,A2=-1+,A3=-1-j 解:系统为完全能控,故满足可配置条件。计算特征多项式 s 0 det(s-A)=det-1s+60|=s3+182+72s 0-1s+12 黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 030
第五章 * * * 1 2 3 l = -2, l l = -1 + j j , 1 = - - 例 ：给定单输入线性定常系统为 ： 0 0 0 1 1 6 0 0 0 1 1 2 0 x x u é ù é ù ê ú ê ú = - + ê ú ê ú ê - ú ê ú ë û ë û & 再给定期望的一组闭环特征值为 ： 解 ：系统为完全能控，故满足可配置条件 满足可配置条件。计算特征多项式 3 2 0 0 det( ) det 1 6 0 18 72 0 1 12 s sI A s s s s s é ù ê ú - = - + = + + ê ú ê ú ë û - + 030