第1章电子波动光学基础 13 「e(=RY迟)ay=-√驱 2R 则有 (x）=√摄p(-o·R)j/XepR]x (1.21b) 常用式1.21b来计算直狭缝、直刃边等一维透射函数所描述情况的近场衍射问题。 1.5.2菲涅尔积分与菲涅尔衍射条纹 考虑不透明屏上的一条直缝，透射函数记为 1X1≤受 9(X) (1.22a） 0 1X1>受 式中，a为直缝的宽度，由式1.21b得到菲涅尔衍射振幅为 (）=√Rep(-kR)epR]ax (1.220) 借助菲涅尔积分 F(w）=C(w)+iS(a） c(w）=os(分a2du 0 s(o）=sin(3xw2)du 可以将式1.22b中的积分写为 -√受{j[os分x2)-ioin(分xu2jau C(B)-C(A)-i[S(B)-s(A)! (1.22e) =-√F(B)-F(A)I 式中，“=√忌-)、A=爱：+》B=V亮(x-。 图1.l0a是菲涅尔积分在复平面上的数值计算曲线，通常称为考纽(Cornu)卷线。当a 趋于∞，A和B分别趋于±0时，F(w)趋于±(0.5+i0.5),菲涅尔积分的这两个取值对应 图上卷线的两个渐近点M和M的位置，只要找到对应A值和B值的菲涅尔积分值，就可 以求得菲涅尔衍射波振幅和强度的分布。对于全屏照明的情况，有F(∞)-F(·)=1+ i,式1.22c中的积分值在图上相当丁卷线渐近点间矢量MM。对于半平面屏，透射函数可 写为 10≤X<o qx)=0 -的<X<0 (1.23a) PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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14 电子衍射物理教程 「2 对应于在式1.22c中取A=√及x、B=-四，后者对应图上M的位置， FA)-F(B)=F√x)-F(-) (1.23b) 当x=0时，F(0)=0,对应图中的坐标原点；当x取负值，F(A)取值在第三象限，随着！x1 值增加，F(A)沿着卷线逆时针转动取值，1F(A)-F(B)1越来越小。当x取正值，F(A) 取值在第一象限，随着IxI值增加，F(A)沿着卷线也逆时针转动取值，则1F(A)-F(B)I 在！F(∞)-F(一∞)I值上下起伏，图上用矢量MS和MT的长度变化表示了这个起伏。 图1.10b是半平面屏的衍射强度曲线，在光学和电子光学实验中经常观察到的菲涅尔衍射 条纹可以用它来解释。 S() C(w) 图1.10菲涅尔积分在复平面上的数值计算曲线(4)及半平面屏的衍射強度曲线(b) 1.5.3傅里叶像 考惑一个简单的周期物样，透射函数写为 9(K)=os(2红墨) (1.24a) 菲涅尔衍射得到的波函数形式为 ())on(2)exp x (1.24b) 令X=x-w,将波函数重新写为 ）=景g-ko·R)m(2)j(2)c(0aw a a 利用标准积分 cosbexpdep) 式中，2=费b=经得到 a Y(x）=cxp(-·R)co(2)exp() (1.24c) PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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第1章电子波动光学基础 15 强度分布则是 1Y(x)12=cos32(2红) 计算结果说明：单位平面波照射到一个透射函数为cs(红上)的简单实周期函数的物样 上，在距离物面任意距离R处的观察平面上，菲涅尔衍射强度分布准确地与物面出射强度 分布相同，与距离R无关，即不存在过、欠焦问题。 一般周期物的透射函数可以展开为多次谐波的迭加的形式 g(K)=c(2xh赵) a (1.25a) h为整数，菲涅尔衍射振幅分布则是 )=e(-k。R)yfoa(2ep() (1.25b) 衍射振幅与强度分布有如下特征： 1)当R=2,n为整数时， exp(h是形)=ep(2x2n) (1.25c) exp(i2nN) N=h2n为整数， Ψ(x)=exp(-k·R)∑Facos(2h) (1.25d) 在这一系列观察平面上，菲涅尔衍射强度分布准确地与物面出射强度分布相同： (2)当R=,n为奇数时 (x)=exp(-k。·R)》Fos(2h(x±号) (1.25e) 在对应的一系列观察平面上，菲涅尔衍射的强度分布也准确地与物面(R=0)出射强度分布 相同，只是沿x轴平移了半个周期。 Talbot2l最早发现可见光对光栅，即振幅栅(Amplitude Gratings)的菲涅尔衍射条纹的 强度分布特征，Rayleigh3:、Weisel4和Wolfke1s]等陆续对理论和实验处理做了细致地考 虑，Cowley和Moodic16.7]首先将这些思想引进电子衍射和电子显微学中，将周期物样的自 身像称为“傅里叶像”，提出将晶体物样处理为“相位栅(Phase Gratings)”,对一维正弦相位 栅和一般二维周期点阵的菲涅尔行射进行了计算，他们引进的透射函数都是复函数形式： 正弦相位栅：g(x)=exp(isin(2红X) (1.26a) 二维点阵： g(X)=exp(ia(X,Y)) (1.26b) =exp(G习E,exp(2mi(h吾+k方)》 式中6为取决于厚度和折射率的常数。对于可见光，。=-：对于电子，。-2红，0 是在真空中的波长。计算结果表明，对于平面波人射以及人射波来自一个有限距离的点波 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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16 电子衍射物理教程 源的情况，傅里叶像都会在某些确定的位置出现，但这时像常常是零衬度的：而略微偏离这 些位置，即不是准确的在傅里叶像平面上，而是在它们附近，在一定条件下，有可能观察到相 位栅透射函数的分布。 1.6夫琅和费衍射与傅里叶变换 仍回到处理一般问题的基尔霍夫公式（式1.15），引进夫琅和费近似条件： (1)单位平面波垂直人射到物平面上，人射波在物面上的相位选择为零； (2)物面上的尺寸远小于传播距离R;相对于菲涅尔衍射条件，这个传播距离还要远得 多，称菲涅尔衍射近似为近场近似；夫琅和费衍射近似为远场近似。 选择与菲涅尔衍射相同的坐标配置（图1.11a),在远场近似下，在做二项式展开前，需 要忽略物尺寸的平方项，即 r≈[R2+x2+y2-2xX-2yY]克 [ra-2xx-2yY] (1.27a) 在图1.11a中标出了ro的几何位置。将r做 二项式展开，忽略高次项， r=ro-xx-ZY (1.27b) ro 令 =1 ro b ym 图1.11夫琅和费衍射坐标配置(a)及衍射 ro 空间与实空间矢量间的关系(b) 式中，l、m是ro的方向余弦，将r的表示式代入基 尔蛋夫公式（式1.15），得到 平(,m=c q(X,Y)exp(ik(IX+mY))dxdr (1.28) (1+cosa)exp(-该·ro) c=i2λt0 图1.11b表示了衍射空间与实空间矢量间的关系，图上k和ko分别是衍射波和入射波 矢量，k=上/入，u和书分别是衔射空间矢量熏一ko在名和y轴上的投影，可以看到， 1=名= ro (1.29) m=y=2 ro 式1.28可以再写为 (u)=c…jjgx,y)ep(2✉i(u+Y)Hxay (1.30a) 或 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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第1章电子波动光学基础 17 g(u)=c·q(r)exp(2xi证·r)dr (1.30b) 式1.28和式1,30a,b都是傅里叶变换的形式，这就是说，对于远场情况，也即夫琅和 费衍射情况，规察平面上获得衍射空间（动量空间）图像，波函数分布是物平面上透射函数分 布g(X,Y)的傅里叶变换。因此，傅里叶变换是处理远场问题，计算夫琅和费衍射复振幅 和强度分布的数学工具。 平面波照射到物样上，所谓远场是指观察位置在无穷远处，即夫琅和费衍射花样应该出 现在无穷远处。如果在物面与观察平面之间放上一个物镜（图1.12），夫琅和费衍射花样则 在透镜的后焦面上得到，物镜的后焦面即是等效的无穷远处，满足远场条件。这就使得利用 光学衍射方法实现各种平面物样的傅里叶变换成为可能，即用平面波照射平面物样，在透镜 的后焦面上获得对应的夫琅和费衍射图像。然而，记录下的衍射图像（强度分布）往往丢失 了衍射复振幅的相位。物镜的后焦面前后都属于近场衍射问题，用菲捏尔衍射思想来处理 近场衍射问题。 傅里叶变换描述了光学、电子光学系统成像以及 电学信号传输等信息传递的基本过程。它完成了从 平面物 近场行射 实（动量）空间向动量（实）空间和从时域（频域）向频 平面波 近场衍时 域（时城）的变换。定义傅里叶变换为 产[f(x)]=F(u)=Jf(x) 远场行时 物镜 平面 exp(2πiux)dx (1.31a) 则由动量空间向实空间的变换为傅里叶反变换，记为 图1,12衍射的远场（夫琅和费衍射） g-[F(u)]=f(x) 条件与近场（菲涅尔衍射）条件 =」F(u)exp(-2πiux)du (1.31b) 在多维空间中，傅里叶变换记为 F[f(x,y)]=F(u,v）= fx.y)ep(2xi(u +dxdy (1.31c) fy-F(u.v.)mp(i(wdxdydz (1.31d) 或 多[fr)]=F(u)=f(r)exp(2πi·r)dr (1.31e) 傅里叶变换有如下性质： (1)线性，函数和的傅里叶变换等于这些函数的傅里叶变换之和， Laf(x)+bg(x)]=aF(u)+bG(u) (1.32a) 式中，a、b为任意常数，F(u)和G(u)分别是f(x)和g(x)的傅里叶变换； (2)相移性，若函数f(x)在x轴上平移a值，则其傅里叶变换为函数f(x)的傅里叶变 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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