18 电子衍射物理教程 换乘上一个相位因子，即 F[f(x±a)门=F(a)exp(干2πira) (1.32b) 反变换则有 F-l[F(u±a]=f(x)exp(±2πiux) (3)缩放性，函数在轴上压缩（或放大）a倍，则有 [fax】=dF总) (1.32c) 由此又可以导出 字[f(-x)]=F(-u) (4)共轭性， 字[f“(x)]=F(-u) (1.32d) (5)微分的傅里叶变换 F[/(x)]=(-2x)F(u) (1.32e) 和 3[x)1=(-2xm)re) (1.32f) (6)乘积与卷积的傅里叶变换（卷积的定义与性质见附录3），函数乘积的傅里叶变换等 于函数傅里叶变换的卷积；反过来也有函数卷积的傅里叶变换等于函数傅里叶变换的乘积， 即 寧[f(x)·g(x)]=F(u)*G(u) (1.32g) 和 g[f(x)*g（x)]=F(u）·G(u) (1.32h) (7)强度守恒原理，这是能量守恒在傅里叶变换中的体现，在波的传播过程中，衍射平 面上波总强度应该等于物平面上波总强度，服从傅里叶变换的Parseval强度守恒原理 F(u,t）12dudu (1.32i) 而此式又是广义的Parseval强度守恒原理 f(r)g"(r)dr [F(u)c(u)du (1.33) 的特殊情况。 总结起来，单位平面波人射，对于远场问题，即夫琅和费衍射问题，用傅里叶变换来得到 在规察平面（物镜的后焦面）上的衍射振福和衍射强度分布：而对于近场问题，即菲涅尔衍射 问题，观察平面上的波的振幅、相位以及强度分布则需要用物平面上的透射函数与传播函数 的卷积计算面得到，菲涅尔传播函数是描述近场传播的基本函数。这两个数学处理都引进 了…个简化，即认为人射波是平面波，如果不满足这个条件，问题则被复杂化。对于一般的 衍射问题，需要从基本的基尔霜夫公式直接计算。 1.7卷积运算实例 卷积运算是一种积分运算，它涉及到信息迭加，运算是线性的。附录3叙述了卷积的定 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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第1章电子波动光学基础 19 义和性质。本节将用几个实例说明卷积运算在信息传播过程中的应用以及涉及的物理内 涵。 例1基尔霜夫公式与子波的球面传播 考虑单位平面波人射到物平面上的简单情况，基尔霍夫公式写为 Ψ(x,y)= xY)x (1 co)dxdr r=[R2+(x-X)2+(y-Y)2]吃 写为卷积形式， Ψ(x,y)=g(x,y)s(x,y) (1.34) (xy）=-2员1+cosa)n,kR2+22)边 (R2+x2+y2)2 单位平面波人射后，在物面上每个(X,Y)点处产生一个物调制子波g(X,Y)。(X,Y)点 处单位子波对观察点P有一个用球面波形式描述的散射贡献，因而，(X,Y)点处的物调制子 波对点P的散射贡献则是-2员(1+oc)g(X,y)二++Y,物 (R2+(x-X)2+(y-Y)2)2 对观察点总的散射贡献则是对物平面上来的所有子波贡献的迭加求和。 例2菲涅尔衍射与菲涅尔传播函数 从卷积定义和菲涅尔衍射公式（式1.19）可以看出，对观察点P处总的散射贡献是用物 透射函数g(x,Y)与菲涅尔传播函数p(x,y)卷积（式1.20）来获得。 Ψ(x,y,R)=exp(-o·R)·[g(x,y)*p(x,y)] p(,y）=Rexp(2 -(x2+y22) 2R 菲涅尔近似使得传播的等相位面由球面波形式变为二次曲面形式。物面上(X,Y)点 处单位子被对规察点P产生的散射贡献是R-【怎二-Y凹) 2R ,而总的散 射贡献则是对物面产生的所有子波贡献的迭加。 上面的两个例子都是关于相干波于涉迭加问题，人射波场在物空间各点处产生相干子 波场，在观察点处子波场总散射贡献是物面各点处产生的所有子波贡献的迭加。散射扰动 的迭加是复振幅的迭加，菲涅尔传播函数因此是相干波场近场传播的一个基本函数。只要 波传播一个有限距离，数学上计算波振幅就可以用卷积对应的菲涅尔传播函数来实现。 例3谱强度探测 在科学实验中，大量地遇到用探测器探测谱强度的问题。几乎所有的探测器都是仅可 以探测辐射的强度，对于进人探测器的辐射的相位不敏感，谱强度探测的过程因而是非相干 过程，也就是波强度迭加的过程。 一个典型的探测系统工作原理示意图表示在图1.13α中。探测器人口光阑（狭缝）宽 度为4，进人光阑狭缝的射线强度被计数器计数。描述狭缝的透射函数是 1￥1≤2 g(x) (1.35a) 0 1x1>2 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建www.fineprint.cn
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20 电子衍射物理教程 原始谱线强度分布是1(x)。带有狭缝的探测器做位置扫描，当侠缝中心在扫描位置x 处时，记录的强度应该是对探测器狭缝内通过的所有的射线强度做加和，即 c(x)= I(x)g(x-x)dx=I(x)*g(x) (1.35b) 记录强度分布是原始谱线强度分布1(x)与狭缝函数g(x)的卷积，是扫描位置x的函数。 探测信丹 1() (X) I(x) 狭缝描位置x一 (X)g(-X) C() 坐标原点 图1.13典型的谱探测系统工作原理 a一设置简图：b--谐强度探测过程 图1.13b示意地表示了这个卷积操作的物理内涵，可以看到，当狭缝扫描位置在x处 时，谱线强度的测量值c(x)实际上是原始谱线强度分布函数1(X)在狭缝区域内的积分 值，它等于图1.13b中所示阴影的面积。带有人口狭缝的探测器的谱线强度探测过程起到 了把锋锐的原始谱线平滑的作用。 当原始谱线强度分布是8函数时，即1(x)=8(x),由8函数的性质，有 c(x）=8(x)g(x)=g(x) 探测过程把6函数展宽为狭缝函数g(x)描写的分布，这里又称g(x)为扩展函数，而原始 谱线分布1(X)可以看作为有许多8函数分布所组成，每个6函数在探测过程中都被展宽， 通过这样的探测系统记录的谱强度分布，其分辨率和谐锋锐程度都比原始谱要差。 通过这个例子进一步认识到，卷积运算这个数学处理方法总是与信息迭加这一物理概 念相联系，除了可以处理波场的近场传播，还广泛应用于许多其他类型的物理问题。 例4非相于波的传播 在波场非相干的情况中，物平面可以看成是有许多个孤立点子波源组戒，每个点子波源 的强度都可以用一个8(x,y)函数来表示，由于每个点了被源传播到像平面时，都扩展为用 扩展函数g(x,y)描写的一个强度盘，盘与盘强度重叠造成了观察面上像的模糊，像的模糊 正是由于波在传播过程中的扩展作用而产生的。扩展作用正是光子以及其他微观粒子波动 性的表现。由此产生的物面上分辨率的限制正是众所周知的分辨率的“衍射限制”，又称“衍 射差”。光学和电子光学中衍射差的推导是在非相干波传播的前提下建立的。 例5信息传递系统和传递函数 信息传递系统如果是线性的，可以用传递函数或者该函数的傅里叶变换-一扩展函数 来描述系统对于输入信息（用8函数表示）的响应。扩展函数和传递函数之间的关系是时 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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第】章电子波动光学基础 21 域与须域或者坐标空间与动量空间之间的变换关系。它们都是描述系统信息传递特性的基 木函数。在3.4节中将对这两个函数进行详细讨论。 许多电工、通讯以及控制系统，在一定的条件下，可以看作为线性传递系统。电子波函 数满足态迭加原理，这保证了电子光学系统与光学系统一样，可以是线性传递系统。在相干 波场中，它传递的是电子波的复振幅：而在非相干波场中，传递的是波的强度。 在柑干波场中，用平o(x,y)g(x,y)来表示输人信息，其中，平o(x,y)是人射波振幅， g(x,y)为物透射函数。输出信息则是输入信息与系统扩展函数的卷积，记为 Ψ(x,y）=[平o(x,y)·g(x,y)J*t(x,y) (1.36a) 式中，(x,y)是系统扩展函数，对扩展函数做傅里叶变换则得到传递函数。两个函数分别 在实空间和动量空间中描述系统对信息的响应特性。 当波场非相干时，输入信息为强度信息1平o(x,y)·g(x,y）2,则有 1(x,y）=1Ψo(x,y)·q(x,y)2*0(x,y) (1.36b) 式中 O(x,y)=It(x,y）2=(x,y）·t(x,y) 系统传递的是波的强度信息。 1.8傅里叶变换应用举例 在光学和电子光学衍射与成像计算中，傅里叶变换是基本运算，它给出夫琅和费衍射以 及多束干涉成像的复振幅和强度的计算方法。本节通过分析一些实例，学习对具体的衍射 问题如何建立物的透射函数，如何运用傅里叶变换、卷积等数学运算来解决实际的衍射问 题，以及从得到的解析解形式如何理解各种衍射问题的物理内涵。 例6点光源 点光源的夫琅和费衍射由函数6(x,y)的傅里叶变换得到 F[8(x,y)] (x,y)exp(2mi(ux vy))dxdy =1 (1.37a) 或 -yo)expamitudxd exp[2xi(uxo vyo)] (1.37b) 结果表明，点光源的夫琅和费衍射是动量空间中的-个单位平面波，波的强度IF(“,v)2 在动量空闻各点处都相同。 例7平面波人射 平面波波函数记为exp(2πi(uox+voy),它的傅里叶变换（见附录28函数的性质）得 到 F(u,v）= exp[2xi((uo+u)x+(vo+v)y)]dxdy =8(u-u0,v-v0） (1.38) PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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22 电子衍射物理教程 平面被的夫琅和费行射是用6函数描写的分布，当物空间波函数的相位角为零(“0= 0,v0=0)时，8函数只在动量空间原点处有值。uo=0,v0=0表示被矢量在4和p方向上 的投影等于零，波是沿着z方向（垂直于物平面和观察平面）传播的一束波。由此也可以得 知，对于衍射方向为(uo,v心)的平面被，夫琅和费衍射得到在动量空间坐标(uo,vo)上的一 个8函数分布。 例8物平移 物在x轴上平移距离a,x轴与束传播方向z垂直，透射函数记为：f(x-a),当平面波 照射该物，对应的夫琅和费衍射是： 交[f(x-a)]=F[f(x)￥8(x-a)]-F(u)·exp(2riua)(l.39) 这说明，在实空间，物沿着x轴平移，在衍射空间只是对衍射振辐乘上一个相位因子 项，衍射强度保持不变。因此，物平面上物点的绝对位置在夫琅和费衍射花样上得不到反 映，衍射花样仅反映物样上散射元排列的周期性。 例9宽度为a的单缝 物平面是一个有着宽度为a的单缝的不透明屏，透射函数（又称为矩形函数）为 1x1≤2 f(x)= 0 1x1>受 夫琅和费衍射得到 F(u）=∫exp(2xix)dx÷sin(xua (1.40a) 和 1《u）=F(u)2=in2ra (πu)2 (1.40b) 图1.14绘出了F(4)和1(u)函数的分布。由图可以得知，当“趋于零时，F(u)和 1(u)都有主极大值，它们分别是a和a2;当u=上，h=±1，…时，F(u)和1(u)都为零：强 度分布的半高宽为。，单缝越卒，F()和(“)分布主峰越宛。这就是X射线衍射和电子 衍射中干涉函数的由来。 例10例9的另一种考虑方法（见图1.14c) 对例9的透射函数求导数， g(x)=(x)=8(x+受)-6(x-受) (1.41a) 由g(w)函数的傅里叶变换得到 G(u)=exp(-xiau)-exp(xiau) (1.41b) 由傅里叶变换的微分性质（式1.32e),有 G(u)=(-2riu)F(u） 代入式1.41b,则得到与例9完全相同的结果。 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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