8 电子衍射物理教程 式中 u=aPt=经cnh (1.14b) J1(u)是的一阶、第一类贝塞尔(Bessel)函数，P:P2为在物平面上散射元P,和P2点之间 间距，R为波源平面与物平面间的垂直距离，αc是照明孔径角，它是由物面向照明光喇张开 的半角。当1Y12|=1时，P:和P2点发射的子波场完全相干，合成波场强度是子波场复振 幅迭加后的平方值；当1Y12I=0时，P,和P2点发射的子波场完全非相干，合成波场强度是 两个子波场强度的加合值；而部分相干的情祝，Y12|值介于0和1之间。 图1.4表示了一个半径为的均匀圆形波源的情况，它相当于电子显微镜的照明光阑 被放置在物面上方R距离处，P,和P2点是物面上的两个点。在图1.4上还画出了根据式 1.14a和式1.14b计算得到的1Y12l曲线，随着P1P2间距从零开始增加时，1Y121值从u=0 (P1P2=0)时的最大值1平滑地下降到零，第一个1y12|零值出现在u=1.22π(P,P2=0.61 入/αc)处。把偏离理想相干度12%，即1Y1,21≥0.88作为完全相干区间，在1Y121=0.88 处，4=1，P1P2=0.16入/ac,物点的这一距离就定义为相干宽度Xco完全非相干宽度定义 在u=2π，即P,P2=入/aC,或更大的值处。物点间距介于相干宽度和非相干宽度之间时， 子波场是部分相干的[引。由式1.14b可以看到，束发散角越小，可以达到相干或部分相干 条件的物平面上尺寸就越大，因此，选择较小的聚光镜光阑尺寸和较大的栅偏压，可通过第 二聚光镜离焦等来改善照明束的平行度，这是提高波场相干度的有效手段。近年来发展起 来的用于透射电镜的场发射电子枪具有高亮度和高空间、时间相干性等特点，使定量电子显 微学以及高水平的高分辨电子显微学工作成为可能。 |Y12 0.88 相下 部分相干 2 r 2π 011.22r 图1,4均匀圆形光源波场的相干条件 a一照明条件的拭述；一计算得到的相千度IY2l曲线 从另一方面看，有时并不需要、或并不希望照明相干度太高。实验者需要根据特定的试 样条件和实验要求，通过选择合适的照明光阑尺寸（照明孔径角）来选择合适的相干条件。 例如，观察在非晶碳膜上支撑的单个原子的情况，如果照明相干度高，相干宽度大，则在获得 的单个原子的高分辨像上会重叠着非晶碳膜的高分辨像，杂乱的颗粒状背底的出现严重妨 碍了单个原子像的观察，这种“菲涅尔噪声”在非相干照明条件下可以消除。希望找到这样 的相干条件，使支撑碳膜上的物点尺寸大于Xc,面需要规察的单个原子的尺寸又小于Xc, 这样，薄的非晶碳膜处于非相干照明状态，产生均匀背底，得到在“干净”的背底上的单个原 子的高分辩像。 波场的空间相干（束发散）和时间相干（色差）问题对高分辨电子显微成像的影响被归结 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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第1章电子波动光学基础 9 为在倒易空间对衬度传递函数引进的调制包络数，详细阐述将在3.5.2节和3.5.3节中 给出。 1.4惠更斯原理与基尔雷夫(Kirchhoft)公式 将光学中的惠更斯源理直接应用于电子光学。如图1.5所示，点波源Q的某个波前上 每个面元都作为次级波源产生子波，其包络面形成新的波前。在原波前外的P点处，总的 光学扰动是这些子波在P点处干涉的结果。 基尔霍夫公式是惠更斯原理的数学表述。坐标选择如图1.6所示，Q点处有一个点波 源，波场记为u,在观察点P处产生的总扰动是对包围着P点的任一封闭曲面上各面元产 生的所有子波的迭加。利用格林(Gren)定理解波动方程，得到基尔霍夫公式（推导请参考 附录1) r={∮o,hnD·gndu-u‘grad,]}d: (1.15) 这里，点波源波场可写为4=ep:rD》,当空Arp>时，有 =员∮n2.en-h) cosn'r -cosnro ds (1.16) 「0 式中，cosn'r-cosnro}是倾斜因子，n为曲面面元处的法向单位矢量，指向封闭曲面外侧。 图1.6基尔霍夫公式推导所涉及 图1.5惠更斯原理的图形表示 的各矢量的坐标位置 由公式1.16可以看出，次级辐射有如下性质： (1)点波源的初级辐射在所有传播方向上有相同的辐射强度（球面传播），而次级波源 的辐射强度与倾斜因子有关，向前散射强度最大，向后散射最小； (2)）散射波的相位比初级辐射滞后元/2； (3)散射波振幅与辐射波长成反比，波长越短，散射波振幅越大； (4)公式呈对称形式。积分号内是两个球面波形式的波场的乘积，若将图1.6中P点 处放一个点波源，在Q点处观察，得到完全相同总散射扰动公式。在波动光学中称其为 Helmholtz对易原理。 Cowley8,9]运用对易原理说明了扫描透射电子显微镜(STEM)与透射电子显微镜 (CTEM)成像元间的关系。图1.7a是一个常规的透射电子显微镜(CTEM)简化的光路 图，S点处有一个点波源，发射的波经过聚光镜和聚光镜光阑ω到达试样，照明孔径角为 αc。波传播过试样后散射角为ae,经过物镜和物镜光阑(2)后到达底片或观察屏上的一个 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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10 电子衍射物理教程 聚光花光请 物镜光阑 试样 物镜光领= 探淇器光闹 图1.7透射电镜(CTEM)(a)与扫描透射电镜(STEM)(b)设置上的对易关系 像点P处，记录强度为IP。图1.7b是根据对易原理设置的扫描透射电子显微镜(ST上M) 简化的光路示意图，在STEM系统中，点P处放置波源，发射的电子波经过物镜和物镜光喇 (2)后聚焦在样品上，让：STEM的人射角aP与CTEM的出射角ae(散射角)相等，而 STEM的出射角ap(探测器接收角)与CTEM的人射角ac(照明孔径角)相等，通过探测器 光阑ω后在点S处接收信号，根据对易原理，两者将得到相同的记录散射强度。在STEM 系统中S点处放置的探测器非相干地加合探测器光阑，上所有点处的强度的过程，对应干在 CTEM系统的照明光阑上各点源独立、非相干的辐射过程，这就是说，具备有限尺寸探测器 光阑的STEM系统与具备有限尺寸非相干源的CTEM系统对易。劳埃[o]借助几何光学和 简单的散射理论已得到上面的结论。实际上，式1.16有着更深刻的意义，它涉及的不仅是 强度问题，更重要的是两者在电子波复振幅之间的对易关系。然而只有在假定传递系统仅 涉及标量场，面且可以忽略电子的非弹性散射的情况下才有严格的复振幅之间的对易关系。 对于在电子显微镜中传播的电子波，如果可以忽略像旋转和由于磁场导致的像畸变，且非弹 性散射不重要时，可以认为满足这个条件。这样$TEM成像过程和与其在几何上对易的 CTEM一样，是相干成像过程，即使看起来似乎是非相干过程。这时，在透射电子显微学中 推导出的原理和计算公式可以直接应用到扫描透射电子显微学上去。类似于用CTEM获 得的相位衬度和振幅衬度像、夫琅和费衍射和菲涅尔衍射现象以及明、暗场成像模式等在 $TEM中都可由相应的技术获得。在CTEM和STEM中各种像差对电子波相位的移动也 都满足对易原理。 两种设置模式的探测和记录技术不同。在CTEM(图1.74)中，用照相底片或其他的二 维探测器，像而上的所有像点处同时各自累积倍号电子、探测和记录强度，得到统计的二维 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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第1章电子波动光学基础 11 像：而在$TEM中（图1.7b),信号电子通过探测器 光阑，由塑料闪烁体与光电倍增器构成的探测器逐 时逐点探测记录，为了得到一维像，需要使聚焦电子 束在试样上做光栅扫描，对易原理因而可以依次应 (X,Y) 用于每个扫描点。 关于品体和晶体缺陷的STEM成像的原理、对 易原理适用条件以及像的动力学理论解释等 图1,8平面波人射下基尔霍夫公式的简化 Humphreys1有系统的叙述。 考虑图1.8描述的情况，包围着观察点P的封闭曲面是个无穷大的平面(X,Y)、且 to趋于无穷大，即入射到散射物面(X,Y)上的是一个单位平而波。倾斜因子则是(-cosa -1),这里，散射角α是散射方向与入射方向之间夹角。如果散射平面是一个用函数g(X, Y)所描述的-·个平面物，g(X,Y)描述了散射平面物对入射波的调制作用，P点处观察到 的散射总扰动则是 n=-2员fep(-k。r）g(x,y),21+mo)h (1.17) 在公式1,16的推导过程中，已引进了一个近似，即r入，t02入，因此导出的式1.16和 式1.17仅适用于辐射波长远小于原子尺寸的情况。对于电子散射，这个条件很容易达到：而 对于X射线（被核外电子）和中子（被原子核）散射，这个近似不再成立。这就是说，简化后 的式1.16和式1.17并不适用于X射线衍射和中子衍射的情况。 式l.l7引进了一个重要函数g(X,Y),称其为“透射函数(Transmis8 ion Function)”。 这是一个二维函数，描述的是一个平而物对入射电子波的调制作用。将散射物对入射电子 波的调制作用归结为一个函数形式，入们关心的不再是一个个孤立的原子核和核外电了对 入射电子的散射作用，面是把散射物的物质分布看成为一种波，物质分布波，将研究物内原 子核和核外电子对入射电子的散射作用处理为研究入射电子波与物质分布波之间的交互作 用问题。 波在真空中的传播并不是本课程研究的内容。电子显微学与电子行射物理关心的是将 电子作为探测射线，分析入射电子波遇到散射物后发生的散射、衍射以及传播过程。总之， 研究入射电子波受到物质分布波作用后的结果，并由此来分析散射物本身的结构特征。 1.5菲涅尔衍射 1.5.1菲涅尔衍射与菲涅尔传播函数 将下列近似条件代入基尔霜夫公式（式1.15）： (1)单位平面波垂直入射到物平面上，入射波在物而上的相位选择为零： (2)物而上的尺寸远小子传播距离R: (3)人射波波长比物面上尺寸又小得多，因而，散射角很小，c0$。趋于1，即满足小角近 似条件，又称为菲涅尔近似。 对于电子衍射，这些近似条件很容易满足。 图1.9表示了菲涅尔行射的坐标配置。物平面和观察平面上的坐标分别用(X,Y)和 (x,y)来表示，入射波沿着x方向传播，z轴的原，点取在物平面上，两个直角坐标系互相平 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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12 电子衍射物理教程 行。在观察点P(x,y,z)处，波函数分布则是 (x,y,2）= (x,r)exp-ik)axdy 1 (1.18) 将r的表示式 r=[R2+(x-X)2+(y-Y)2]克 做二项式展开，忽略高次项得到 (x-X)2+(y-Y)2 r兰R+ 2R 代入式1.18得到菲涅尔衍射公式 图1.9菲涅尔衍射的坐标配臀 Ψ(x,y,R)=汉Rexp(-0·R) jjgx,Y)op-x-2-凹] dxdy (1.19) 2R 对比式1.18和式1.19可以看到，引进菲涅尔近似使得波的等相位面由球面波形式变 为二次曲面形式。学习了1.7节的内容后会进-一步认识到，式1.19实际上是一种卷积运 算，即 平Ψ(x,y,R)=exp(-ko·R)·[g(x,y)*p(x,y)] (1.20a) 式中， p(,）=Rep-+2] 2R (1.206) 式1.20a中用表示卷积运算，关于卷积的定义及性质请参考附录2。 式1.20b中p(x,y)为菲涅尔传播函数，它是描述电子波近场传播过程的基本函数。 下面举两个简单情况下的菲涅尔行射例子来说明菲涅尔传播函数的物理概念以及菲涅尔传 播中波函数的形式。 平面波照射物平面上的小孔，描述传播R距离后的波函数形式，小孔的透射函数为 g(X,Y)=8(X,Y) 由8函数的性质（附录3）可知 8(x,y)*p(x,y）=p(x,y） 因而有 (,》=p(-k·Ren=（] 1 (1.21a) 菲涅尔行射使得物平面上的一个用8函数描写的点波源扩展为菲涅尔传播函数描写 的分布。 当平面物的透射函数仅是一个变量的函数，例如直狭缝的情况g(X,Y)=f(X),从而 得到菲涅尔传播下的波函数形式为 w）=Rep-kR)了fXe=R]x了eR]ay 由标准积分ep(-a2x2dx=后，有 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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