第】章电子波动光学基础 假定电子波人射到由N个相同的原子组成的散射物中，每个原子又由原子核和？个 核外电子组成，由人射电子和散射物构成的体系的定态薛定谔方程，严格地讲，应该写为 V2+Hm+Hb]=（Em+E)Ψ [-2m (1.8) 称[-V2+H。+H]为体系的哈密顿(Iamilton)算符，Hn为散射物的哈密顿算符，有 如下关系 Hm=- Ze- e? =1ax1 z2e2 4πE0|Rab| (1.9a) e2 4。=24mlr-ri之4h/f 2e2 (1.9b) 式，E0为介电系数，ry=r:-r,r:,r,为散射物电子的坐标矢量；Rb=R。-R6,R.,R6为 散射物原子核的坐标矢量，Em和E分别是散射物和人射电子哈密顿算符Hn和[~7？ +H]的本征值。已有研究表明，如果人射电子的能量非常高，可以很容易地将人射电子与 散射物的核外电子区分开，则人射电子与散射物的核外电子之问的交换能可以忽略，满足定 态薛定浮方程（式1.8）的波函数解因而可以写为两个波函数解的乘积 平(r,r1,2,…,r2N）=平(r1,T2…,r2N)·Ψ(r) (1.10a) 这时，定态薛定谔方程（式1.8）可以再写为 品v2yr)-可jgg](r)=) Ew= 方2X2 2m (1.10b) 对比式1.4和式1.10b,有 eg(r）=ΨiH业mdx (1.10c) 对于低能电子衍射(LEED),这个近似不成立，详细讨论请参考有关文献[1]。 1.2态迭加原理 对光的干涉，衍射现象的解释是建立在波迭加原理上的[2]。电子衍射现象告诉我们， 电子波函数的振幅如同光学中的光波振幅一样，可以简单地做相互迭加。两支波迭加，衎射 极大（或极小）出现的位置仅取决子波之间的相位关系，而与波的强度无关，这从实验上证实 了薛定谔波动方程的线性。 量子力学最基本的原理之一是，描述运动状态的薛定谔方程的线性。如果波函数亚：， 业…，业.是薛定得方程的定态解，则这些波函数解的线性组合，业=c业，=c1业，+ 1 c2平2+·+c平n,式中，c1,℃2，·，c为常数，也必然满足薛定谔方程，因而平也是薛定谔 方程的定态解。薛定谔方程的作何一个波函数解都可以写成另一些被函数解的线性迭加形 式，量子力学的“态迭加原理”因而可以阐述为：“如果波函数业，亚2，…，平。描写了微观体 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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4 电子衍射物理教程 系的几个可能的状态，则由它们的线性迭加得到的波函数∑c"。所描写的也是这个体系 的一个可能状态”。 如果个系统对输人信息a30+Bs。的响应（即输出信息）为a1+s1,其屮，51和s1分 布是系统对输人信息$0和的响应，a和P是任意常数，则称该系统为“线性系统”3引：信息 传递过程为线性传递过程。对于在线性介质中波的传播，态迭加原理保证了光学以及微观 粒子光学传递系统是线性系统；波的信息传递过程是线性传递过程。电子显微镜作为一个 电子被信息传递系统，需要保证显微成像过程是个线性传递过程，把物样上的各种衬度分布 不失真地带到像平面上成像。对于衍射衬度成像，电子显微镜成像系统几乎是个完美的信 息传递系统，这是由于透镜的球差、色差等对于观察尺寸为1~2m的晶体缺陷几乎无影 响。而在相位村度高分辨成像过程中，成像系统的影响则是十分显著的。常用“信息传递函 数”描述系统对信息的响应待性，而描述光学系统和电子显微镜成像系统的信息响应特性的 函数又被称为“光学传递函数"和“衬度传递函数”。 态迭加原理是分析电子波的散射、衍射以及成像过程的基础。正因为电子运动状态满 足态迭加原理，光学中发展起来的基本原理，如惠更斯(Heygens)原理、阿贝(Abbe)成像原 理等，在电子光学中依然成立；光学中对于两种基本衍射，菲涅尔(Fresnel)衍射和夫琅和费 (Fraunhofer)衍射导出的公式在电子光学中可以直接应用；傅里叶变换、卷积运算等在光学 衍射与成像中常用的数学运算方法也完全适用于电子光学。 态迭加原理广泛地应用于所有在特定的势场条件下，微观粒子运动状态的求解问题中。 在周期势场中满足定态薛定浮方程的电子波涵数解具有如下形式 平k(r）=uk(r)exp(ik·r） (1.11) 式中4(r)=u(r+T),T为晶体点阵周期，下标k指明周期函数4，(r)依赖于被矢量k, 称这种波函数解为布洛赫(Bloh)波解。可能存在有若干个布洛赫波解，每个布洛赫波解都 满足薛定灣方程，这些布洛赫波解在波矢量上略有差异，而总的电子波函数解则是这些布洛 赫波解的固定线性组合，布洛赫波解的线性组合仍然是薛定谔方程的定态解。态迭加原理 在这里得到了应用，本教程陆续将介绍的理论和数学运算是建立在态迭加原理基础上的。 1.3电子波的相千性与波的千涉 波场的相于性，是指波场产生干涉效应的能力。 光学上，一个单色点光源（光源的尺寸无限小，可以用8函数来描述光源强度的分布， 且波场具有单一的频率w)发射的波场是完全相干的。 如前所述，德布罗意波既不同子简单意义上的波，它不是一个无穷长的波列：也不是经 典力学范瞒内的粒子（质点），波的干涉是统计意义上的概念。德布罗意波，如电子波，是在 传播方向上，以群速度运动的一个个波包，图1.1示意地表述了这个概念。可以认为一 个波包代表一个电于，波包与波包之间的位相关系是随机的。来自同一点波源的波包之间 因而可以发生各种位相关系下的于涉，可以振幅相长也可以振幅相消，平均效果等于没有发 生干涉。在一定的时间间隔内，统计平均的结果，电子波的强度是在该时间间隔内所有波包 强度的简单加合。 现在谈到波场的相于问题。一个波包在散射过程中产生的子波场中子波之间的相位关 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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第1章电子波动光学基础 5 一波包宽度Az一 图1.1传播电子的波包表示[4] 系是确定的，子波场是完全相干的。当波源是单色（准单色）波源时，由同一点波源辐射的波 包在散射过程中产生的子波会发生在相同条件下的干涉。积累足够长的时间后，干涉的结 果形成了明锐的干涉图形，这是在相同的干涉条件下，在该时间间隔内，所有波包的子波场 十涉后强度的迭加，称这种单色点波源为理想的“相干波源”。 严格说来，来自两个孤立点波源的波包产生的子波场之间不发生干涉。这是因为两个 波包之间没有确定的相位关系，只有单色点波源产生的子波场才是相干的。然而，几何上的 点波源实际上是不存在的，波源总是有一定的延度。一般来说，德布罗意波波源是具有原子 尺度的波源，例如，X射线光子是当轨道电子从外壳层向内壳层空穴跃迁时释放出来的能量 子，而当原子核遭受高能粒子表击时会发射出中子，热发射电子或场致发射电子则是从包围 着原子核的电子高密度区内激发出来的。测不准原理规定微观粒子辐射位置的确定，精确 度不得高过半个波长，即点波源至少有半个波长的延度。波源是单色的，即波场仅有单一的 时间獭率，这又是一个过于理想化的要求。 波场的相干程度常用相于宽度和相干长度来表述[4)。用相干宽度来描述波场的空间 相干性，又称为横向相干；而相干长度则是被场时间相干性的量度，又称为纵向相干。 定义相干长度为2/△入，这里为波长的平均值，△入为波长的波动。任何引起粒子波 波长波动的因素，即产生波场非单色性的因素都会导致波场时间相干性的降低。 几个导致电子波非单色的重要来源是：加速电压的波动、物镜励磁电流的波动、电子源 发射电子能量分布有一定的宽度以及非弹性散射使电子失去部分能量从而造成的电子波的 非单色等。对于现代电子显微镜，电学不稳定性造成的非相干已不重要，而选择单色性好、 相十性好的电子源可以将发射电子的能量宽度大大减小，例如，六硼化镧电子枪和场发射电 子枪，能量分布蜂的半高宽对子前者可以达到0.5~2.0eV;对于后者达到0,2~0.4ev[sj, 与发卡式热发射钨灯丝电子枪的0.7~2.4eV相比，波源的时间相干性有了相当大的改善。 相干长度入2/△入远大于成像过程中两个干涉波之间的程差，可以认为这两种电子源是准单 色波源。 需要认真考忠非弹性散射过程对波场相干性的影响。在发生物质对高能电子的散射 时，各种非弹性散射过程，如电离（原子内壳层电子激发）、等离子体发射（价电子集体振荡） 以及声子发射等都会产生从电子波场向激发子的能量和动量的传递。 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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6 电子衍射物理教程 晶体中原子在点阵位置附近的热振动是量子化的，称该能量子为声子。晶体接受人射 电子能量，导致声子发射的同时，入射电子也被晶体的热振动漫散射。入射电子能量损失大 约为10~2V,这样小的能量损失不会引起明显的色差，然而，在撒射过程中，热漫散射有较 大的动量传递。经过热漫散射后的原人射电子漫散分布在像背底上，称其为热漫散射电子。 热漫散射并不改变布喇格衍射的位置，而是降低布喇格衍射波的振幅，用德拜一瓦勒因子 (Debye-Waller Factor)M(g,T)来描述热漫散射对衍射波振幅的衰减，对于各向同性晶体， M(q,7)=exp(-2(2rg)2<u2>)=exp(-4Bg2) (1.12) 式中，<>是在垂直于布喇格面方向上的原子均方位移，随着温度升高而迅速增加，称B =8x2<2>为B因子，9为倒易空间坐标矢量的大小。热漫散射不直接影响像的分辨率， 它只是降低像的村度。热漫散射是·种定域非弹性散射，在高分辨电子显微学计算模拟中 应该给予考虑。 等离子体激发和单电子激发（电离）涉及的电子能量损失范围从几个电子伏特到几十个 电子伏特。认为处于相同的能量损失状态的散射电子波是相于的（不考虑空间非相干性）， 而处于不同能量损失状态的散射电子则是非相干的。经过非弹性散射，损失相同能量的电 子的弹性再散射，与弹性散射电子一起参与干涉与成像过程，且由于这些电子损失了一部分 能量，对应的电子波长增加，产生色差，造成像的模糊。 对于由低原子序数原子组成的材料，非弹性散射电子的数目甚至会超过弹性散射电子 的数目。而当材料由中等原子量的或重原子组成时，弹性散射在散射过程中所占的比例则 要大得多。等离子体激发和单电子激发类型的非弹性散射导致波场相于性的下降，对分辨 率的限制有时甚至会高达零点几个纳米，使得高分辨电子显微成像（特别是对于含低原子序 数原子的材料)困雅，甚至不能成像。这类非弹性散射同时也使得电子衍射花样，主要是会 聚束电子衍射花样上的细节模糊，不可分辨。原则上，能量损失大于几个电子伏特的非弹性 散射电子可以用能量过滤的方法除去，排除其对电子衍射花样和电子显微像的影响。能量 过滤后电子波场的相干性得到了很大改善。图1.2是能量过滤前后的会聚束电子衍射花 样，可以看到，经过能量过滤后，衍射花样的清晰度比未过滤前明显提高。 正如在第5章将要提到的，衍射衬度成像是单束非干涉成像，非弹性散射对于观察晶体 缺陷的衍射村度像的影响仅限于使像衬度下降。而对于相位衬度一高分辨像则直接限制了 电子显微像的分辨率。 将有一定延度的波源看成是无数个位置互相错开的孤立点波源的集合。认为在电子显 微镜中，电子束产生于一今有效波源，它位于第二聚光镜的光瞳，或者说在第二聚光镜光阑 (照明光阑)孔位置处。有效波源是由充满整个第二聚光镜光阑孔的虚电子发射体构成的， 孔内区域每一点都可以看成是一个点波源。每一个雅单色点波源的子波场发生干涉，都会 得到一个于涉图形。两个点波源同时照明就会得到两个错开的干涉图形重叠在一起：无数 个位置互相错开的孤立点波源的集合就会得到无数个错开的千涉图形重叠在一起。随着点 波源间距离增加，即随着波源的延度增加，强度迭加后得到的干涉图形上细节会越来越少， 于涉条纹像越来越模糊，直到完全失去干涉条纹，相干波源逐渐变为部分相干以至干完全非 相干。对于某一延度的准单色波源照明，子波场可以处理为完全相于时的子波源距离（即物 散射元距离)Xc,被称为该波源的“相干宽度”。从相隔小于这个距离的物上的两个散射元 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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第】章电子波动光学基础 S[110]120keV 图1.2能量过滤前后的会聚束电子衍射(CBED)花样} 发射的弹性散射波是相干的，子波复振幅加合可以得到合成波振幅。两个散射元间距大于 这个距离到某个程度时，子波场是非相干的，子波只能做强度加合：而对于散射元间距在中 间范制的情况，需用部分相十照明理论来描述。图1.3表示了空间相干的描述以及“相干宽 度”的规定。 原子 dXc 下迷花样 图1.3相下宽度的定性描述 a一原子间距d<Xc,Xc为相干宽皮，散射被相干，花样上有相十细节：6一d>Xc,散射被非相 引进一个量度，复相干度y12,描述其有某一延度的淮单色被源的波场中两点一一P,和 P2处发射子波场的空间相干度。P,和P2点处发射的子波场在观察点P处贡献的总波强 度Ip为 Ip Ip,lp,+2 Ip,Ir,ReY:2 (1.13) 这里，Rey12是相干度Y12的实部，一殷来说，相千度Y12是u的复函数，可以证明，它的 模满足0≤Iy12(“)}≤1。而对于均匀、非相干地充满点源的圆盘状波源有 Tas 2J1(4) (1.14a) 它是源强度函数的傅里叶变换，是实函数分布。 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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