设f1(x),f2(x),……,fm(x)∈Fxl,d(x)∈F[z称 为f1(x),f2(x),……,fmn(x)的最大公因式,如果(1) d(x)lf(x),1<i<m;(2)f(x),1≤i<m的公因式全 是l(x)的因式,f1(x),f2(x),…,fmn(x)的首项系数为1的 最大公因式是唯一的,记为(f1(x),f2(x),…,fm(x) 方问主页 相应地,有关于多个多项式的最大公因式和互质的 相应结论 设f(x),g(x)∈Flz],c(x)∈Fx称为f(x)和g(x)的 第顾料 最小公倍式,如果(1)c(x)是f(x),g(x)的公倍式;(2 f(x),y(x)的公倍式全是(x)的因倍式f(x),9(x)的首项 全屏 联 系数为1的最小公倍式是唯一的,记为f(x),9(x)
例4.设(f(x),y(x)=1,(f(x),h(x)=1.求证: 方问主页 (f(x),g(x)h(x)=1 全屏 联
三.因式分解(与数域扩大有关的性质) 1.因式分解 F[x上次数大于零的多项式px)称为不可约多项式, 如果px)在Fa的因式只有平凡因式常数c和cp(x) 命题5 方问主页 设p(x)∈F[x]是次数大于零的多项式,则下面条件 是等价的 (1)p(x)不可约多项式; 第顾 者(f(x),p(x)=1; 全屏 (3)对应px)f(x)9(x,或者p(x)f(x),或者p(x)g(x) 联
定理5(因式分解存在唯一性定理) F[x上任意次数大于1的多项式f(x)都可以表示为不 可约多项式的乘积,在不计零次因式的差异下,这个分解 是唯一的 方问主页 在Fx]上f(x)的标准分解式为 f(x)=cp1(x)p2(x)2…p(x)", 第顾 这里,p(x)是两两不同的首项系数为1的不可约多项式 r;是正整数,1<i<s 全屏 联
2.重因式 不可约多项式p(x)称为f(x)的k重因式,如 果p(x)A|f(x),且p(x)+1/f(x) 命题6 (1)如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k>1) 则p(x)是f(x)的k-1重因式 方问主页 (2)不可约多项式p(x)是f(x)的重因 式←→p(x)是f(x)和f(x)的公因式 (3)f(x)没有重因式>(f(x),f(x)=1 第顾 (4)设f(x)=cp(x)p2(x)y2…p(x)",则 全屏 f(a) 联 (f(x),f"(x) =Cp1(x)p2(x)…p(x)