高等代数选讲XI-XI 刻」 林亚南 门大学数学科学学院 全屏 联
方问主页 第十一章欧氏空间 全屏 联
本章我们在实数域R上讨论 欧氏空间以及正交向量 设R是实数域,V是R上的n维线性空间映射(一 V→R称为一个内积,如果它具有以下性质 (1)(a,B)=(,a); 方问主页 B)=a(a,6); (3)(a+,0)=(a,)+(3,); (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时a,a)=0 全屏 这里a,B,是V中任意向量,a是任意实数这样的线性空 联 间称为欧氏空间
定义向量a的长度为√a,a,记为长度为1的向 量称为单位向量 非零向量a,B的夹角<a,3>规定为<a,B ,0<<a.,B><丌 非零向量a,称为正交的,记为a⊥B,如果(a,B)=0. n维欧氏空间V的一个基1,E2,…,En称为标准正交 基,如果(,)=61,1≤,≤n 方问主页 设1,2,……,En是n维欧氏空间V的一个标准正交基 则对任意a∈V,有a=(a,1)1+(a,E2)2+…+(a,En)En 全屏 对于a=x1E1+x2=2+…+xnEn,B=y151+y2=2+ 联 +ynEn有(a,)=x11+x2y2+…+xnyn
定理1( Schmidt正交化定理) 从n维欧氏空间V的一个基1,a2,…,On都可以找 方问主页 到一个标准正交基=1,2,…,En,使得L(a1,…,Q) L(1,…,E),1<s≤. 全屏 联