例1设D是圆域：1≤x2+y?证明 3πe≤j∬ewdo≤3πe. 解在D上，fx,)=e 的最小值ne,最大值 M=e4,而D的面积SD)=4π-π=3元.由估值公 式3)得 3e≤∬eydo≤3ne. 前页后页结束
前页 后页 结束 例1 设D是圆域： 1 4 + x y 2 2 ，证明 2 2 4 3πe e d 3 πe . + x y D 解 在D上， 的最小值m=e，最大值 M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.由估值公 式(3)得 2 2 ( , ) ex y f x y + = 2 2 4 3πe e d 3πe . x y D +
8.2二重积分的计算 二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称 为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来 引出这种计算方法. 8.2.1二重积分在直角坐标系下的计算 在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两 组直线段，将区域D分割成n个小块△o1,△o2,.,△on 从而有do=dxdy 即 ∬fc,aa=rydd 前页后页结束
前页 后页 结束 8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算 二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称 为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来 引出这种计算方法. 在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两 组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有 即 1 2 , , , , n ( , )d ( , )d d . D D f x y f x y x y = 8.2 二重积分的计算 d d d = x y
假定函数f(x,y在有界闭区域D上连续，且在D上f(x,y)>0, fx,dc表示以y化，y为顶，区域D为底的 曲顶柱体的体积V. 1.当D为矩形区域时，4≤x≤b c≤y≤d,a,b,c,d为常数)， 任取x∈(@，b),用过点x且垂直 于x轴的平面截曲顶柱体，则 可得到一曲边梯形，其面积为 s(x)=["f(x,y)dy 前页后页结束
前页 后页 结束 ( , )d D f x y 假定函数 在有界闭区域D上连续,且在D上 , 1.当D为矩形区域时, ,a,b,c,d 为常数), 表示以f (x,y)为顶,区域D为底的 曲顶柱体的体积V. 任取 ,用过点 x且垂直 于x 轴的平面截曲顶柱体,则 可得到一曲边梯形,其面积为 a b x f x y ( , ) f x y ( , ) 0 a x b ≤ ≤ c y d ≤ ≤ x a b ( , ) ( ) ( , ) d c s x f x y y = d c d s x( )
于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得： V-s(x)ax=[([fx)dr)dx 所以J∬fx,dxd=心fx,adx=dxfx,Wdy 这是先对y后对x的累次积 分计算二重积分的方法 同法可得到先对x后对y 的积分方法， J∬fx,y)dxdy -["I["f(x,y)axldy="dy["f(x,y)ax
前页 后页 结束 ( )d ( ( , )d )d b b d a a c V s x x f x y y x = = 于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得: 所以 ( , )d d ( ( , )d )d d ( , )d b d b d a c a c D f x y x y f x y y x x f x y y = = 同法可得到先对x后对y 的积分方法. c d y ( , )d d D f x y x y [ ( , )d ]d d ( , )d d b d b c a c a = = f x y x y y f x y x 这是先对y后对x的累次积 分计算二重积分的方法 a b