华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.2.4）定理3（收敛数列与其子数列间的关系）

◆定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是a 证明设数列{xn}是数列{xn}的任一子数列 因为数列{xn}收敛于a,所以E>0,丑N∈N+,当m>N时, 有 x-a<E 取K=N,则当K时,n≥K=N.于是|xn-a<E 这就证明了lmxn=a k 上页 下页

上页 返回 下页 ❖定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn }收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a 证 明 设数列{ } nk 证明 x 是数列{xn }的任一子数列 因为数列{xn }收敛于a 所以e >0 NN+  当nN时 有|xn−a|e  取K=N 则当kK时 nkkK=N 于是| nk x −a|e  这就证明了 x a nk k = → lim 