9()=2 定义52称z=0为f()的可去奇点、m阶极点或本性奇点,如果相应地W=0是o()的 可去奇点、m阶极点或本性奇点。 由式(56)*可知: 如果当n>0时,cn=0,则=0为q()的可去奇点,从而二=为/()的可去奇点 2若对正整数m,Cn≠0;而当n>m时,cn=0,则W=0是q(v)的m阶极点,于是z=∞ 为()的m阶极点 3若存在无限多个n>0,使得cn≠0,则=0是o()的本性奇点,那么z=是f()的 本性奇点 定理54设函数八()在区域R<xk+O内解析,那么z=∞是/()的可去奇点、极点、本 性奇点的必要与充分条件相应地是:limf()=c(常数)、limf(2)=∞、limf(=)不存在也不为 例55判定下列函数在z=∞处奇点的类型。 (a)f(=) (b)f(=) 1-e coS ()f(-) 解(a)因为imf()= lim cos-,=1,故z=∞为函数f(二)=cos-,的可去奇点 设 则g(y) =21-e|,而img(n)不存在,因此y=0为g(m) 的本性奇点,故二=∞为f(-) 的本性奇点 () 则() SInw SIn M SInw= 因为limw3 = lm 所以W=0是o(w)的三阶极点,从而z=∞是∫()=sin的三阶极点 52留数的一般理论 52.1留数的定义及计算 设∫(=)在D:0<--0k<R内的罗朗级数展式为 ()=∑c(x-)=∑(-)+c(-=)y
ϕ ( ) w n n n c w +∞ =−∞ = = ∑ 0 n n n c w −∞ − = ∑ 1 n n n c w +∞ − = +∑ (5.6) 定义5.2 称 z = ∞ 为 的可去奇点、 ( )zf m 阶极点或本性奇点，如果相应地 是 w = 0 ϕ (w) 的 可去奇点、 m 阶极点或本性奇点。 由式(5.6) *可知： 1 。 如果当n > 0 时， ，则 0 n c = w = 0 为ϕ (w) 的可去奇点，从而 z = ∞ 为 的可去奇点。 ( )zf 2。 若对正整数 ， ；而当 时， m 0 mc ≠ n m> 0 n c = ，则 w = 0 是ϕ (w) 的 阶极点， m 于是 z = ∞ 为 的 阶极点。 ( )zf m 3 。 若存在无限多个 n > 0 ，使得 0 n c ≠ ，则 w = 0 是ϕ (w) 的本性奇点，那么 是 z = ∞ (zf )的 本性奇点。 定理5.4 设函数 (zf )在区域 R z < < +∞ | | 内解析，那么 z = ∞ 是 (zf )的可去奇点、极点、本 性奇点的必要与充分条件相应地是：lim ( ( ) z f z c →∞ = 常数 、) lim ( ) z f z →∞ = ∞、 不存在也不为 。 ( )zf z ∞→ lim ∞ 例5.5 判定下列函数在 z = ∞ 处奇点的类型。 ( ) a f ( )z = 1 1 cos z − ； ( ) b f (z) = 2 1 z e z − ； (c) f (z) = z z 1 sin 4 。 解 (a) 因为 ( )zf z ∞→ lim 1 lim cos 1 z→∞ z 1 = = ∞ 为函数 f (z) = 1 1 cos z − z = 的可去奇点 − ，故 ( ) b 设 w = z 1 ，则ϕ ( ) w 1 f w ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 1 w ew ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ，而 ( ) 0 limw ϕ w → 不存在，因此 为 w = 0 ϕ ( ) w 的本性奇点，故 为 z = ∞ f ( )z = 2 1 z e z − 的本性奇点。 ( ) c 令 1 z w = ，则ϕ ( ) w 1 f w ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 sin w w 4 sin w w = 。因为 3 4 0 sin limw w w → w = 0 sin lim 1 w w → w = , 所以 是 的三阶极点，从而 w = 0 ϕ ( ) w z = ∞ 是 f (z) = z z 1 sin 4 的三阶极点。 5.2留数的一般理论 5.2.1 留数的定义及计算 设 在 ： ( )zf D 0 0| | < zz R − < 内的罗朗级数展式为 ( )zf ( ) 0 n n n czz +∞ =−∞ = − = ∑ ( ) −∞ −= − 1 0 n n n ∑ zzc ( ) 0 0 n n n czz +∞ = + − ∑
+co+c1(=--0)+ 则有 「/(k d =CAcz-二0 0,n≠l; y1 (C: 2-or l; 定义53设函数f()在0<二-0kR内解析,=0为f()的孤立奇点。作圆C|=-=0=r (0<r<R)。称 20J(k 为函数∫(=)在孤立奇点二0的留数,记为Res(f,=a),这里积分是沿着C按正向取的。即 Res(,=0)=f()de (5.8) 留数的计算 若八()在042-=0kR内的罗朗级数展开式为:f(=)=∑cn(z-=0)则 Res(, =o)=c-I (5.9) 1.当二为f()的可去奇点时,由于f(2)的罗朗展式中不含(z-二0)的负指数幂,则 从而Res(f,=0)=0。 2.当二0为f()的极点时 ①设二0是f()的一阶极点,则在D:04z-二0k<R内, 其中(-)在二-=0kR内解析且9(=)≠0。显然f(=)的罗朗级数中一的系数等于o(=0) 故有 Res(,)=q(=0)=lm(=-=0)(-)。 (5.10)
( ) 2 2 0 c z z − =+ + − L 0 1 zz c − − 0 + + c cz z 1 0 ( − ) +L, (5.7) 则有 ( ) =…+ ∫c dzzf ( ) ∫ − − c zz dz c 2 0 2 + ∫ − − c zz dz c 0 1 + + ∫c dzc0 ( ) ∫ − c dzzzc1 0 +… 1 0 c dz c z z = = − − ∫ 1 2 − πic ( ) ∫ − c n zz dz 0 0, 1; 2 , 1; n πi n ⎧ ≠ = ⎨ ⎩ = （ − 0 |:| = rzzC ） 定义5.3 设函数 (zf )在0| | <− < zz R 0 内解析， 为0 z (zf )的孤立奇点。作圆 ， （0 ）。称 0 Czz r :| | − = < <r R ( ) ∫c dzzf 2πi 1 为函数 在孤立奇点 的留数，记为 ( )zf 0 z Re , sfz ( 0 ) ，这里积分是沿着 按正向取的。即 C Re , ( ) 0 sfz = ( ) ∫c dzzf 2πi 1 . (5.8) 留数的计算 若 在 ( )zf 0| | <− < zz R 0 内的罗朗级数展开式为 ： f (z) = ∑ ( +∞ −∞= − n n n zzc 0 ) 则 Re , sfz ( 0 ) 1 c = − (5.9) 1.当 z 0 为 的可去奇点时，由于 ( )zf (zf )的罗朗展式中不含( ) 0 − zz 的负指数幂，则 1 c 0 − = ， 从而 ( ) 。 Re , 0 0 sfz = 2. 当 为 的极点时 0 z ( )zf ①设 是 的一阶极点，则在 0 z ( )zf 0 D zz :0 | | < − < R 内， f ( )z = ( )z zz ϕ 0 1 − ， 其中 ϕ( )z 在 内解析且 0 | | zz R − < ( ) 0 ϕ z ≠ 0 。显然 (zf )的罗朗级数中 0 1 − zz 的系数等于 ( ) 0 ϕ z ， 故有 Re , sfz ( 0 ) ( ) 0 = = ϕ z ( ) (zfzz ) zz 0 0 lim − → 。 (5.10)