为了查表方便,先进行归一化,即设z=- 可得 PX≤m+k (2-51) 于是通过査阅本章附录的高斯变量概率积分表,可得准确结果 概率积分函数有以下性质: =1-(x (2-52) 在通信系统设计与数字信号误码率分析中,经常利用“误差函数”或“互补误差函数” 误差函数 互补误差函数: t()-1-r(-2
(2-50) 为了查表方便，先进行归一化，即设 可得： (2-51) 于是通过查阅本章附录的高斯变量概率积分表，可得准确结果。 概率积分函数有以下性质： (2-52) 在通信系统设计与数字信号误码率分析中，经常利用“误差函数”或“互补误差函数”。 误差函数： (2-53) 互补误差函数： (2-54) 且有： (2-55)
本章附录中列出了误差函数表。同时还列出了当x>1时近似式—er(x)v 的数值。 3.其它类型的概率分布 在通信系统窄带噪声分析中(本章最后部分),要用到瑞利( Rayleigh)分布和莱斯(Rice) 分布,以及其它类型如波松( Poison)分布,后者用于信号交换排队分析 2.5随机过程 在通信与信息领域中,存在大量的随机信号。例如语声、音乐信号、电视信号,在通信系统 中传输的数字码流和介入到系统中的干扰和噪声,均具有各种随机性特点。要分析此类信号与噪 声和干扰的内在规律性,只有找出它们的统计特征:另一方面,它们均为时间函数,即它们随机 性变化是表现在时间进程中的,可把它们统称为随机过程。 2.5.1随机过程的概念和定义 定义1.随机过程是同一个实验的随机样本函数的集合,表示为X={⑨ =L2.M→四,其中每个样本函数属均为随机过程(的一个成员,也称为随机过 程的一次(试验)实现。 定义2.随机过程是随机变量在时间轴上的拓展。此时可表示为X(x身或者与随机变量 X(a表示一样,为避免误视为x的“函数”,而以属(匀表示随机过程。 随机过程是含有随机变量的时间函数。同时,由定义2,我们也可以说随机过程是在时间进 程中处于不同时刻的(多维)随机变量集合 2.5.2随机信号的统计特征和平稳随机过程 研究随机过程的统计特征,为便于理解,我们由定义2及上列两个图示,抽出位于不同时 间截口的随机变量,它们为 取"X, 其中若】→四,即当4-"【→0就更为典型。此时由多个时间截口的随机变量构成 的随机过程Q,其分布函数可写为:
本章附录中列出了误差函数表。同时还列出了当 >>1 时近似式—— 的数值。 3.其它类型的概率分布 在通信系统窄带噪声分析中（本章最后部分），要用到瑞利（Rayleigh）分布和莱斯（Rice） 分布，以及其它类型如波松（Poison）分布，后者用于信号交换排队分析。 2.5 随机过程 在通信与信息领域中，存在大量的随机信号。例如语声、音乐信号、电视信号，在通信系统 中传输的数字码流和介入到系统中的干扰和噪声，均具有各种随机性特点。要分析此类信号与噪 声和干扰的内在规律性，只有找出它们的统计特征；另一方面，它们均为时间函数，即它们随机 性变化是表现在时间进程中的，可把它们统称为随机过程。 2.5.1 随机过程的概念和定义 定义 1. 随机过程是同一个实验的随机样本函数的集合,表示为 ，其中每个样本函数 均为随机过程 的一个成员，也称为随机过 程的一次（试验）实现。 定义 2. 随机过程是随机变量在时间轴上的拓展。此时可表示为 或者与随机变量 表示一样，为避免误视为 的“函数” ，而以 表示随机过程。 随机过程是含有随机变量的时间函数。同时，由定义 2，我们也可以说随机过程是在时间进 程中处于不同时刻的（多维）随机变量集合。 2.5.2 随机信号的统计特征和平稳随机过程 研究随机过程的统计特征，为便于理解，我们由定义 2 及上列两个图示，抽出位于不同时 间截口的随机变量，它们为： 其中若 ，即当 0 就更为典型。此时由多个时间截口的随机变量构成 的随机过程 ，其分布函数可写为：
肛(%,-k)或… (2-74) FzQ—表示随机过程X(的分布函数,各不与毛对应,表示在各不同时间截口毛处的 随机变量取值为属,于是 BA…那)=Sx,屑玉…Sx ∫∫」~的,-如)由由一邮 (2-75) 其中Px(1-:-L为随机过程X(的概率密度 由此看来,像随机变量那样,若利用的pdf来求解各阶多维统计平均是极为复杂的 幸好,在通信及日常应用中,解决一、二维统计特征或统计平均就可满足一般要求。并且还常常 遇到统计特征可以简化的“平稳随机过程”或“遍历性”平稳过程。 1.一维统计特征 首先我们可在随机过程Q任意指定时间截口E=与来看该随机过程—一它将成为该 时刻21处的一维随机过程 ()=X 它与前面介绍的一维随机变量并无本质区别,只是表明了它处于某具体时刻与,由于号是任 意给定的,也可以去掉下标氵。此时,为参变量,可以说一维随机过程是随机过程在某一时 刻的一维随机变量,其分布函数为 F(4)-FxA)-P≤4)-P动
或 (2-74) ——表示随机过程 的分布函数，各 与 对应，表示在各不同时间截口 处的 随机变量取值为 ，于是， (2-75) 其中 为随机过程 的概率密度。 由此看来，像随机变量那样，若利用 的 pdf 来求解各阶多维统计平均是极为复杂的。 幸好，在通信及日常应用中，解决一、二维统计特征或统计平均就可满足一般要求。并且还常常 遇到统计特征可以简化的“平稳随机过程”或“遍历性”平稳过程。 1.一维统计特征 首先我们可在随机过程 任意指定时间截口 来看该随机过程——它将成为该 时刻 处的一维随机过程： 它与前面介绍的一维随机变量并无本质区别，只是表明了它处于某具体时刻 ，由于 是任 意给定的，也可以去掉下标 。此时， 为参变量，可以说一维随机过程是随机过程在某一时 刻的一维随机变量，其分布函数为： (2-76)
相应的概率密度函数为: a spin e aF(? Rx"『xd 由P(xA可以计算出一维随机过程各统计平均 (1)均值函数 豇x2"[x=m (2)方差函数 DXx(】-[x的-1p(x=ox2() 3)均方值(函数) ∞2的X(-m1-趴(2()-2mx⑨·既(Q】+m29 瓦xG)-m2Q (2-81) 因此随机过程M(的均方值为 Bx()-x的=az2的*m2的)
相应的概率密度函数为： (2-77) (2-78) 由 可以计算出一维随机过程各统计平均： （1） 均值函数 (2-79) （2） 方差函数 (2-80) （3） 均方值（函数） 由 (2-81) 因此,随机过程 的均方值为：
(2-82) 此结果在数学上的意义:表明随机过程在时刻z的二阶原点距等于二阶中心距与一阶原点距 平方之和;在物理方面(电学)来说,随机过程的瞬时统计平均总功率等于该瞬时交流功率与直 流功率之和 2.二维统计平均特征 上述一维统计平均反映随机过程的统计特征是很不充分的,二维统计平均更显得重要 我们可以在随机过程中任选两个时间截口L和L2,将(4截取为相距 =-41的两个随机变量 29L4-k4 相应变量取值为x X(0L·④)相应变量取值为石 这两个不同时刻的联合随机变量,此时就是二维随机过程。其二维统计特征为: ∫∫P(高)豳 (2-83) drdr (2-84) 利用在时间截口与和E1时的二维pdf,可以求出随机过程9的二维统计平均,诸如自 相关函数,自协方差函数,以及归一化协方差函数—自相关系数。 (1)自相关函数 山」」号)当
(2-82) 此结果在数学上的意义：表明随机过程在时刻 的二阶原点距等于二阶中心距与一阶原点距 平方之和；在物理方面（电学）来说，随机过程的瞬时统计平均总功率等于该瞬时交流功率与直 流功率之和。 2.二维统计平均特征 上述一维统计平均反映随机过程的统计特征是很不充分的，二维统计平均更显得重要。 我们可以在随机过程 中任选两个时间截口 和 ，将 截取为相距 的两个随机变量： 相应变量取值为 相应变量取值为 这两个不同时刻的联合随机变量，此时就是二维随机过程。其二维统计特征为： (2-83) (2-84) 利用在时间截口 和 时的二维 pdf，可以求出随机过程 的二维统计平均，诸如自 相关函数，自协方差函数，以及归一化协方差函数——自相关系数 。 （1） 自相关函数