2.(希氏变换(再进行希氏变换表示为.则有 J-Hrq)]--(9 3.∫(与(互为正交。 为证明最后一个性质的正确性,可通过互相关与能量谱进行计算 式中右边 由上式最后一个积分式可以看出,被积函数为奇函数与偶函数之乘积,因此该项积分等于0。 于是,可得正交关系,即: ∫QJ()-C(能量信号) (2-31) 或 和于Q0k0功率信号 2.4随机变量统计特征 在数学课中,已经涉及到基于概率论的随机变量及其统计平均的计算,随机变量是建立随 机过程和随机信号分析方法的基础。这里从公理化概率概念出发,阐明随机变量的形成及主要统 计平均的运算方法
2． 希氏变换 再进行希氏变换表示为 。则有： (2-29) 3． 与 互为正交。 为证明最后一个性质的正确性，可通过互相关与能量谱进行计算： 式中右边： (2-30) 由上式最后一个积分式可以看出，被积函数为奇函数与偶函数之乘积，因此该项积分等于 0。 于是，可得正交关系，即： (能量信号) (2-31) 或 (功率信号) (2-32) 2.4 随机变量统计特征 在数学课中，已经涉及到基于概率论的随机变量及其统计平均的计算，随机变量是建立随 机过程和随机信号分析方法的基础。这里从公理化概率概念出发，阐明随机变量的形成及主要统 计平均的运算方法
2.4.1概率的公理概念 关于概率概念,在工科数学中曾从古典概率、几何概率等,对随机事件做了描述性说明 这里拟从概率空间角度,对随机事件及其概率建立数学模型。 一个随机实验,严格来说主要应满足下列三个基本特点 (1)实验( Experiment)在相同条件下是可重复的 (2)每次重复称作试验( Trial),其可能结果( Outcomes)是不可预测的 (3)一个随机实验中的大量试验,其结果会呈现一定统计规律。 我们利用统计概率概念来描述概率的定义: 个随机实验,所有试验可能结果( Outcomes)称为样本( Samples)。其全部样本集合构成 样本空间S(整集),其中一个样本或多个有关样本集合构成的子集称为S的事件域F,E中 的每一集合(或样本)称为事件。这样若事件A∈F,则F山称为事件A的概率。于是以上 个要素实体的结合,构成一个概率空间,表示为:P=(PP 2.4.2随机变量 上面以概率空间P·〔S表示了随机实验及其可能结果的概率模型。在实际应用中, 我们希望以更明确的数学表示,来阐明样本空间诸事件(集)的统计特性及其相互关系,兹介入 随机变量”概念 现将样本空间8中所有事件(样本)均以某种指定的规则映射( Mapping)到数轴上,并以 指定的实数来表示它们 如掷硬币,两种可能结果的样本空间为S-伊丹,(丑、T分别表示硬币出现正、反 面),映射到数轴上,可由任意指定两个实数作为你的映射规则(称x、y……)—来表示 两个试验结果。为方便计,可用0、1来表示,即构成一维随机变量(,此时它以s=0及B=1 两种可能的数值表示,即: K(-1(8·H)及K(=0(S=) 如图2-8(a)所示。 它包括了随机变量的2个“取值”x(日=0)及(=1);
2.4.1 概率的公理概念 关于概率概念，在工科数学中曾从古典概率、几何概率等，对随机事件做了描述性说明。 这里拟从概率空间角度，对随机事件及其概率建立数学模型。 一个随机实验，严格来说主要应满足下列三个基本特点： （1） 实验（Experiment）在相同条件下是可重复的； （2） 每次重复称作试验（Trial），其可能结果（Outcomes）是不可预测的； （3） 一个随机实验中的大量试验，其结果会呈现一定统计规律。 我们利用统计概率概念来描述概率的定义： 一个随机实验，所有试验可能结果（Outcomes）称为样本（Samples）。其全部样本集合构成 样本空间 （整集），其中一个样本或多个有关样本集合构成的子集称为 的事件域 ， 中 的每一集合（或样本）称为事件。这样若事件 ，则 称为事件 的概率。于是以上 三个要素实体的结合，构成一个概率空间，表示为： 。 2.4.2 随机变量 上面以概率空间 表示了随机实验及其可能结果的概率模型。在实际应用中， 我们希望以更明确的数学表示，来阐明样本空间诸事件（集）的统计特性及其相互关系,兹介入 “随机变量”概念。 现将样本空间 中所有事件（样本）均以某种指定的规则映射（Mapping）到数轴上，并以 指定的实数来表示它们。 如掷硬币，两种可能结果的样本空间为 ，（ 、 分别表示硬币出现正、反 面），映射到数轴上，可由任意指定两个实数作为你的映射规则（称 、 ……）——来表示 两个试验结果。为方便计，可用 0、1 来表示，即构成一维随机变量 ，此时它以 =0 及 =1 两种可能的数值表示，即： =1 （ ）及 =0 （ ）。 如图 2-8（a）所示。 它包括了随机变量的 2 个“取值” （ =0）及 （ =1）；
由此看来,上述(,Y(表面上写法类似于“函数”,但它们确不是一个函数,而是 变量或变量取值集合。于是,可将随机变量直接用X,y……来表示,以免与函数混淆 其实,随机变量在数轴上所表示样本映射的点(可能的取值),仍与样本的概率相对应 它们都要附带其在样本空间的概率特征,因此赋予一定规则的映射所指的随机变量x、……, 尚必须对所有样本映射点(取值)的概率给予明确表示。后面将具体说 2.4.3随机变量的统计特征 在数轴的实数值代表的样本空间的样本或实体,它们并非确定数,它们只是中样本的“数 字符号”形式的代表,因此必须与其概率相对应才有真实意义。全部样本的累积概率——整 集的概率为1,即f·1,而随机变量中的部分事件【XS的概率X≤习是一切不大 于某特定取值z的随机变量￡的累积概率,其大小随z取值变化,因此称其为概率累积函数或 概率分布函数(cdf)可表示为: Rxsa=B(习 Er()=0"x)=10ss1 式中,(回的含义是不包含所有随机变量取值(任何取值均有 x<如是不存在的)的累积概率为0:而Fx(则包含的全部取值所对应的概率之和,即 累积之和当然为1(随机变量完备群概率)。一般地,随机变量值如有x1”则有: F(x)<〔2),<x 接着的问题是,我们尚需了解随机变量x各取值x的概率质量(离散时)或概率密度(x 为连续时),即随机变量的概率密度(函数)pf,并以P式(或P(与表示 P(与是互为微积分关系:
由此看来，上述 ， 表面上写法类似于“函数”，但它们确不是一个函数，而是 变量或变量取值集合。于是，可将随机变量直接用 ， ……来表示，以免与函数混淆。 其实，随机变量在数轴上所表示样本映射的点（可能的取值），仍与样本的概率相对应， 它们都要附带其在样本空间的概率特征，因此赋予一定规则的映射所指的随机变量 、 ……， 尚必须对所有样本映射点（取值）的概率给予明确表示。后面将具体说明。 2.4.3 随机变量的统计特征 在数轴的实数值代表的样本空间的样本或实体，它们并非确定数，它们只是 中样本的“数 字符号”形式的代表，因此必须与其概率相对应才有真实意义。 全部样本的累积概率——整 集的概率为 1，即 ，而随机变量中的部分事件 的概率 是一切不大 于某特定取值 的随机变量 的累积概率，其大小随 取值变化，因此称其为概率累积函数或 概率分布函数（cdf）可表示为： 且有： (2-43) 式中， 的含义是不包含所有随机变量取值（ 任何取值均有 是不存在的）的累积概率为 0；而 则包含 的全部取值所对应的概率之和，即 累积之和当然为 1（随机变量完备群概率）。一般地，随机变量值如有 ，则有： , 接着的问题是，我们尚需了解随机变量 各取值 的概率质量（离散时）或概率密度（ 为连续时），即随机变量 的概率密度（函数）pdf，并以 或 表示。 与 是互为微积分关系：
p()女成(」P)出 (2-44) 这里x作为“虚假”变量。当具体取值为及x、x,且< 氏1<《j"P(xs)-Pxs)=F(2)-Rx) ∫pdx (2-45) 若上式中互1=-∞,可设为X的任意值x,则: F)-[p(x) 且有 (习=P(x2x2=1 (2-47) 2.4.4常用的随机变量类型 1.均匀分布 前面例子已涉及到均匀分布随机变量,即它们的pdf具有均匀分布特征。 又如,产生一个幅度为4,角频为吗的正弦波,K(=4cr(av+。其中若初相8 非为某种强制设定的量,可看做E是在(0,2π)内均匀分布的随机变量 2.高斯型分布 在自然界中,很多现象符合“中心极限定理”,它与高斯(正态)分布特征有着密切关系。 维高斯变量的pdf为
或 (2-44) 这里 作为“虚假”变量。当具体取值为及 x1、x2,且 ,则： (2-45) 若上式中 =–∞， 可设为 的任意值 ，则： (2-46) 且有： (2-47) 2.4.4 常用的随机变量类型 1.均匀分布 前面例子已涉及到均匀分布随机变量，即它们的 pdf 具有均匀分布特征。 又如，产生一个幅度为 ，角频为 的正弦波， <>，其中若初相 非为某种强制设定的量,可看做 是在（0，2π）内均匀分布的随机变量。 2.高斯型分布 在自然界中，很多现象符合“中心极限定理”，它与高斯（正态）分布特征有着密切关系。 一维高斯变量 的 pdf 为：
()--1 由上式看出,对于一个高斯随机变量,只要已知均值观,及方差a,就能唯一确定其pdf, 且可简写为Mm-引2),其中当妮=,可2-1时的高斯分布,其pf为(,称其 为归一化高斯分布,即 pix) 1 图2-11示出了一维高斯随机变量pdf和cdf曲线。 2 本章附录中列出了该归一化分布和概率积分函数 P()-I MaD-FCrd-[P(oldr 在实际应用中,经常需要计算高斯随机变量在互+处的累积概率值,即 rther 1
(2-48) 由上式看出，对于一个高斯随机变量，只要已知均值 及方差 ，就能唯一确定其 pdf， 且可简写为 ，其中当 =0， 时的高斯分布，其 pdf 为 ，称其 为归一化高斯分布，即： (2-49) 图 2-11 示出了一维高斯随机变量 pdf 和 cdf 曲线。 本章附录中列出了该归一化分布和概率积分函数： ， 在实际应用中，经常需要计算高斯随机变量 在 处的累积概率值，即：