非周期信号,即能量信号,其时域表示式通过傅立叶(积分)变换,映射到频域也可表示 信号的全部信息特征——频谱函数,更便于信号和系统的分析。信号的傅立叶变换对为 频谱函数:F(a)-『J()=d=f) 反演式: j)-[F(a)e=- IF(o) 表示该傅立叶变换对的缩写符号为: 变换对的存在,具有数学上严格的充要条件,这里不再列出。 2.2.3卷积与相关 1.卷积 卷积是当系统冲激响应确定后,已知系统的激励信号∫的而求响应g的运算过程。 g(」-)加)dr-/(0( 这一运算模式也可推广到任何两个时间函数∫(与或这两个频域函数R问与 E(的卷积: 时域函数卷积 的*的°-〔d·-可)后的的(交换律) 频域函数卷积:
非周期信号，即能量信号，其时域表示式通过傅立叶（积分）变换，映射到频域也可表示 信号的全部信息特征——频谱函数，更便于信号和系统的分析。信号的傅立叶变换对为 频谱函数： 反演式： (2-13) 表示该傅立叶变换对的缩写符号为： 变换对的存在，具有数学上严格的充要条件，这里不再列出。 2.2.3 卷积与相关 1.卷积 卷积是当系统冲激响应 确定后，已知系统的激励信号 而求响应 的运算过程。 这一运算模式也可推广到任何两个时间函数 与 或这两个频域函数 与 的卷积： 时域函数卷积： (交换律) (2-14) 频域函数卷积：
环*可-n“-()-民(可可 关系式 万的弯的台四)B四(卷积定理) 而小(回*(可《调制定理) (2-17) 2.相关 个函数的可求其自相关函数邱(r)。两个函数(与),可求它们之间的互 相关函数R〔)及最1() 自相关函数 1(°」Jg 互相关函数 anQ“Q)““n)出-l2 R1的->(1+u"力(-)()-B(
(2-15) 关系式： （卷积定理） (2-16) （调制定理） (2-17) 2. 相关 一个函数 可求其自相关函数 。两个函数 与 ，可求它们之间的互 相关函数 及 ： 自相关函数： (2-18) 互相关函数： (2-19) (2-20)
则有 k〔)=1()或()K(-)(偶对称性) (2-21) 若fQ及、力的为周期信号,上列各式利用R() 格式运算。 2.2.4能量谱、功率谱及帕氏定理 1.能量谱密度 若存在傅立叶变换对趴能量信号∫Q的能量谱与其自相关函数也是一对傅 立叶变换,即 R1」Q作+)分F可烈F如))1列可2 简明表示为: R(纠( 这里叫—能量谱函数,或称能量谱密度。 2.功率谱密度 若存在傅立叶变换对/,且的为功率信号,其自相关函数与其功率谱也 是一对傅立叶变换,即 中的和e舞 ()f
则有： 或 （偶对称性） (2-21) 若 及 、 为周期信号，上列各式利用 格式运算。 2.2.4 能量谱、功率谱及帕氏定理 1.能量谱密度 若存在傅立叶变换对 能量信号 的能量谱与其自相关函数也是一对傅 立叶变换，即： 简明表示为： (2-22) 这里 ——能量谱函数，或称能量谱密度。 2.功率谱密度 若存在傅立叶变换对 ，且 为功率信号，其自相关函数与其功率谱也 是一对傅立叶变换，即： (2-23)
上式可表示周期信号和随机信号两种情况。周期为”的信号在一个周期的时间平均自相关函 数,随机信号截短信号的时间自相关函数,两者都对应着单位时段能量谱,当时间无限扩展时的 时间平均能量谱,等于它们的功率谱,只是当周期信号时,式(2-23)不必用极限运算 因为0为随机信号时不存在周期,以(叫表示该∫()的截短段为T的能量 谱,1(上为此段时间平均功率谱,取时间极限后才为该信号准确功率谱。这一计算方式, 到后面随机信号分析将要用到 3.帕氏定理( Parseval1)—信号能量与功率的计算 帕氏定理:能量谱或功率谱在其频率范围内,对频率的积分等于信号的能量或功率,并且 在时域、频域积分,以及自相关函数τ=0时,三者计算结果是一致的。 2.3希尔伯特变换 2.3.1希氏变换 希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的正交变换。也可以看成它是由一种特殊的滤波 器完成的 为了便于理解变换特点,我们首先讨论这种变换在频域中的规律(规则),然后再返回到 时域来进一步认识它,并且变换后信号以表示,相应频谱以具叫表示 1.希氏(频域)变换定义 若信号存在傅立叶变换对∫⑨纱,则其希氏变换的频谱等于该信号频谱F(∞的负频 域全部频率成分相移+寓尼,而正频域相移-/2——完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器 传递函数,即有 H(m--甽(叫 则希氏变换频谱为 R(→·(-〖叽闻(叫"即
上式可表示周期信号和随机信号两种情况。周期为 的信号在一个周期的时间平均自相关函 数，随机信号截短信号的时间自相关函数，两者都对应着单位时段能量谱，当时间无限扩展时的 时间平均能量谱，等于它们的功率谱，只是当周期信号时，式（2-23）不必用极限运算。 因为 为随机信号时不存在周期，以 表示该 的截短段为 的能量 谱， 为此段时间平均功率谱，取时间极限后才为该信号准确功率谱。这一计算方式， 到后面随机信号分析将要用到。 3．帕氏定理（Parseval）——信号能量与功率的计算 帕氏定理：能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且 在时域、频域积分，以及自相关函数 =0 时，三者计算结果是一致的。 2.3 希尔伯特变换 2.3.1 希氏变换 希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的正交变换。也可以看成它是由一种特殊的滤波 器完成的。 为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频域中的规律（规则），然后再返回到 时域来进一步认识它，并且变换后信号以 表示，相应频谱以 表示。 1．希氏（频域）变换定义 若信号存在傅立叶变换对 ，则其希氏变换的频谱等于该信号频谱 的负频 域全部频率成分相移 ，而正频域相移 ——完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器 传递函数，即有： (2-25) 则希氏变换频谱为
(2-26) 2.希氏(时域)变换定义 为了得出时域中进行希氏变换的规则,可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数回 求出其冲激响应匙的 血⑨母( (2-27a) 利用傅立叶变换的互易定理,可由[反演出λ的: (-1e(--四( 因此希氏变换的时域表示式为: H[( -G* 爬--d 由希式变换的定义 (1)余弦信号的希式变换等于正弦信号 (2)正弦信号的希式变换等于余弦信号。 希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中,以及线性调制单边带生成过程中,均有非 常重要的作用 2.3.2希氏变换的主要性质 1.信号∫Q与其希氏变换fQ的幅度频谱、功率(能量)谱以及自相关函数和功率(能量) 均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特征。相应的,自相关函数也不反映信号的时 间位置
(2-26) 2．希氏（时域）变换定义 为了得出时域中进行希氏变换的规则，可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数 ， 求出其冲激响应 ： (2-27a) 利用傅立叶变换的互易定理，可由 反演出 ： (2-27b) 因此希氏变换的时域表示式为： (2-28) 由希式变换的定义： （1） 余弦信号的希式变换等于正弦信号； （2） 正弦信号的希式变换等于余弦信号。 希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中，以及线性调制单边带生成过程中，均有非 常重要的作用。 2.3.2 希氏变换的主要性质 1．信号 与其希氏变换 的幅度频谱、功率（能量）谱以及自相关函数和功率（能量） 均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特征。相应的，自相关函数也不反映信号的时 间位置