第2章信号与噪声分析 知识点及层次 1.确知信号时-频域分析 (1)现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分 (2)几个简单且常用的傳氏变换对及其互易性 (3)信号与系统特征-卷积相关一维钠-辛钦定理。 2.随机过程统计特征 (1)二维随机变量统计特征 (2)广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点 3)高斯过程的统计特征 3.高斯型白噪声统计特征 (1)理想白噪声及限带高斯白噪声特征 (2)窄带高斯白噪声主要统计特征 以上三个层次是一个层层深入的数学系统,最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析,是全书各 章的基本理论基础,也是系统分析的最主要的数学方法 2.1信号与系统表示法 2.1.1通信系统常用信号类型 通信系统所指的信号在不加声明时,一般指随时间变化的信号。通常主要涉及以下几种不同 类型的信号: 1.周期与非周期信号 周期信号∫满足下列条件 ∫"(T)全部时域上 ∫的的周期,是满足(2-1)式条件的最小时段。 因此,该∫的也可表示为 (-∑g-k (2-2)
第 2 章 信号与噪声分析 知识点及层次 1. 确知信号时－频域分析 (1) 现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。 (2) 几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。 (3) 信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。 2. 随机过程统计特征 (1) 二维随机变量统计特征。 (2) 广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。 (3) 高斯过程的统计特征。 3. 高斯型白噪声统计特征 (1) 理想白噪声及限带高斯白噪声特征。 (2) 窄带高斯白噪声主要统计特征。 以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各 章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。 2.1 信号与系统表示法 2.1.1 通信系统常用信号类型 通信系统所指的信号在不加声明时，一般指随时间变化的信号。通常主要涉及以下几种不同 类型的信号： 1.周期与非周期信号 周期信号 满足下列条件： 全部时域 (2-1) —— 的周期，是满足（2-1）式条件的最小时段。 因此，该 也可表示为： (2-2)
是∫的在一个周期了内的波形(形状)。 若对于某一信号∫的,不存在能满足式(2-1)的任何大小的雲值,则不为周期信号(如 随机信号)。从确知信号的角度出发,非周期信号一般多为有限持续时间的特定时间波形 2.确知和随机信号 确知信号的特征是:无论是过去、现在和未来的任何时间!,其取值总是唯一确定的。如 一个正弦波形,当幅度、角频和初相均为确定值时,它就属于确知信号,因此它是一个完全确定 的时间函数 随机信号是指其全部或一个参量具有随机性的时间信号,亦即信号的某一个或更多参量具有 不确定取值,因此在它未发生之前或未对它具体测量之前,这种取值是不可预测的。如上述正弦 波中某一参量(比如相位)在其可能取值范围内没有固定值的情况,可将其表示为: ·山叫t (2-3) 其中A和吗为确定值,可能是在(0,2n)内的随机取值。 3.能量与功率信号 在我们常用的电子通信系统中,信号以电压或电流(变化)值表示,它在电阻R上的瞬时 功率为 PA-MoP P(4 4f .R (2-4) 功率P()正比于信号幅度的平方。其归一化瞬时功率或能量(R=19)表示式为 PgI (2-5) 在R=19负载上的电压或者电流信号的(归一化)能量为
——是 在一个周期 内的波形（形状）。 若对于某一信号 ，不存在能满足式（2-1）的任何大小的 值，则不为周期信号（如 随机信号）。从确知信号的角度出发，非周期信号一般多为有限持续时间的特定时间波形。 2．确知和随机信号 确知信号的特征是：无论是过去、现在和未来的任何时间 ，其取值总是唯一确定的。如 一个正弦波形，当幅度、角频和初相均为确定值时，它就属于确知信号，因此它是一个完全确定 的时间函数。 随机信号是指其全部或一个参量具有随机性的时间信号，亦即信号的某一个或更多参量具有 不确定取值，因此在它未发生之前或未对它具体测量之前，这种取值是不可预测的。如上述正弦 波中某一参量（比如相位）在其可能取值范围内没有固定值的情况，可将其表示为： (2-3) 其中 和 为确定值， 可能是在（0，2π）内的随机取值。 3．能量与功率信号 在我们常用的电子通信系统中，信号以电压或电流（变化）值表示，它在电阻 上的瞬时 功率为： 或 (2-4) 功率 正比于信号幅度的平方。其归一化瞬时功率或能量（ =1Ω）表示式为： (2-5) 在 =1Ω 负载上的电压或者电流信号的（归一化）能量为：
E-Clgb) de (2-6) 单位时段27内的平均能量等于该被截短时段内信号平均功率。而信号g的总平均功率 则为 般地,能量有限的信号称为能量信号,即0<丑<∞;而平均功率有限的信号称为功率 信号,即0<P 能量信号与功率信号是不相容的——能量信号的总平均功率(在全时轴上时间平均)等于 0,而功率信号的能量等于无限大。通常,周期信号和随机信号是功率信号:确知而非周期信号 为能量信号 从理论上,表示信号的方法很多,但实际上傅立叶分析在信号处理与通信中沿用至今,它 将任何函数波形∫均正交分解为一系列正弦波之和表示,在应用上具有很大的广泛性。在通 信系统中,利用变换域,如频域分析,可更方便地揭示信号本质性特点 4.基带与频带信号 从信源发出的信号,最初的表示方法,大都为基带信号形式(模拟或数字、数据形式 它们的主要能量在低频段,如语音、视频等。它们均可以由低通滤波器取出或限定,因此又称为 低通信号。为了传输的需要,特别是长途通信与无线通信,需将源信息基带信号以特定调制方式 载荷”到某一指定的高频载波,以载波的某一、二个参量变化受控于基带信号或数字码流,后 者称为调制信号,受控后的载波称为已调信号或已调载波,属于频带信号。它限制在以载频为中 心的一定带宽范围内,因此又称为带通信号。 2.1.2系统表示法 通信系统或信号系统涉及线性时不变系统和非线性的、时变系统。在先行课信号与系统 分析中已对线性时不变系统进行过充分研究;一个复杂的通信系统,特别是无线通信系统(如短 波信道),需以非线性时变系统分析方法来处理, 根据傅立叶分析方法,一个正弦波输入到系统,响应结果等于相同频率的另一正弦波的条 件有两个:
(2-6) 单位时段 2 内的平均能量等于该被截短时段内信号平均功率。而信号 的总平均功率 则为： (2-7) 一般地，能量有限的信号称为能量信号，即 0< <∞；而平均功率有限的信号称为功率 信号，即 0< <∞。 能量信号与功率信号是不相容的——能量信号的总平均功率（在全时轴上时间平均）等于 0，而功率信号的能量等于无限大。通常，周期信号和随机信号是功率信号；确知而非周期信号 为能量信号。 从理论上，表示信号的方法很多，但实际上傅立叶分析在信号处理与通信中沿用至今，它 将任何函数波形 均正交分解为一系列正弦波之和表示，在应用上具有很大的广泛性。在通 信系统中，利用变换域，如频域分析，可更方便地揭示信号本质性特点。 4．基带与频带信号 从信源发出的信号，最初的表示方法，大都为基带信号形式（模拟或数字、数据形式）， 它们的主要能量在低频段，如语音、视频等。它们均可以由低通滤波器取出或限定，因此又称为 低通信号。为了传输的需要，特别是长途通信与无线通信，需将源信息基带信号以特定调制方式 “载荷”到某一指定的高频载波，以载波的某一、二个参量变化受控于基带信号或数字码流，后 者称为调制信号，受控后的载波称为已调信号或已调载波，属于频带信号。它限制在以载频为中 心的一定带宽范围内，因此又称为带通信号。 2.1.2 系统表示法 通信系统或信号系统涉及线性时不变系统和非线性的、时变系统。在先行课信号与系统 分析中已对线性时不变系统进行过充分研究；一个复杂的通信系统，特别是无线通信系统（如短 波信道），需以非线性时变系统分析方法来处理。 根据傅立叶分析方法，一个正弦波输入到系统，响应结果等于相同频率的另一正弦波的条 件有两个：
1.系统是线性的——遵循迭加原理和比例倍增。如系统输入为J(和,响应各为 g和g(),如果存在阴+(9的响应为B+B因(可迭加性)及 auJ+a9作为激励,其响应为 1)+a2B)(比例倍增) 其中a、a为任意常数。则该系统为线性系统。 2.系统是时不变的—如果系统激励为f的,响应为gQ,当输入信号∫的延<时司 即-),而响应恩也产生同样延时与,即g-),则该系统为时不变系统 2.1.3通信系统中的统计分析方法 从通信系统的通信过程而言,是具有基于概率统计特征的。从信源到信号表示,有噪信道 传输和接收,各个环节均需利用统计分析方法来处理通信信号及通信系统问题。对于接收者来说 关于信源随机发送的信息序列是不确定的,不可预测的,因此属于一定特征的随机信号。在传输 过程中,由于信道介入各种干扰、噪声,受到污染的信号到达接收端,使接收者更增大了不确定 程度。因此,基于统计理论的随机过程和信息论是分析与解决信息传输和最佳接收问题的重要理 论基础,这正是本章第4节开始重点讨论的问题。 2.2信号频谱分析概述 为了知识的连续性,同时作为随机信号分析的基础,兹概要回顾确知信号傅立叶分析方法。 2.2.1傅立叶级数 任何一个周期为雲的周期信号∫的-±m,n=0,1,2…,只要满足狄里赫利条件, 就可以展开为正交序列之和——傅立叶级数: 0-94城 0,1,2 (2-9) 式中系数
1. 系统是线性的——遵循迭加原理和比例倍增。如系统输入为 和 ，响应各为 和 ，如果存在 的响应为 （可迭加性）及 作为激励，其响应为： （比例倍增） (2-8) 其中 a1、a2为任意常数。则该系统为线性系统。 2. 系统是时不变的——如果系统激励为 ，响应为 ，当输入信号 延<时 ， 即 ，而响应 也产生同样延时 ，即 ，则该系统为时不变系统。 2.1.3 通信系统中的统计分析方法 从通信系统的通信过程而言，是具有基于概率统计特征的。从信源到信号表示，有噪信道 传输和接收，各个环节均需利用统计分析方法来处理通信信号及通信系统问题。对于接收者来说， 关于信源随机发送的信息序列是不确定的，不可预测的，因此属于一定特征的随机信号。在传输 过程中，由于信道介入各种干扰、噪声，受到污染的信号到达接收端，使接收者更增大了不确定 程度。因此，基于统计理论的随机过程和信息论是分析与解决信息传输和最佳接收问题的重要理 论基础，这正是本章第 4 节开始重点讨论的问题。 2.2 信号频谱分析概述 为了知识的连续性，同时作为随机信号分析的基础，兹概要回顾确知信号傅立叶分析方法。 2.2.1 傅立叶级数 任何一个周期为 的周期信号 ， ，只要满足狄里赫利条件， 就可以展开为正交序列之和——傅立叶级数： (2-9) 式中系数
J的n),2 fsdna ed —(的均值,即直流分量 式(2-9)中,由c四十b血器:"cac-) =2+∑oa-) 式中-只2乳-m+c-4 则∮的可表示为指数形式: 0-C 12) 式中:74w而-4阿业 以上三种级数表示方式实质相同。各项之间均为正交,这样当有限项来逼近∫Q)时,在同 样项数时,以正交项之和精度最高。 2.2.2傅立叶变换
(2-10) —— 的均值，即直流分量。 式（2-9）中，由 则得： (2-11) 式中： ， ， 。 又由 ，则 可表示为指数形式： (2-12) 式中： ， ， ， 以上三种级数表示方式实质相同。各项之间均为正交，这样当有限项来逼近 时，在同 样项数时，以正交项之和精度最高。 2.2.2 傅立叶变换