例:设二维随机变量(X,n的概率密度 kx0≤x≤y≤1 f(x,y) 0其他 求(1)常数k,(2)PCX+Y≤1) 解()由了xy的b=1 -O-00 得1-∫4 k hxdi 0 6 所以k=6 (2)P(x+Ys1)=∫6xd=6x∫= 上页
例: 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度 0 1 ( , ) . 0 kx x y f x y = 其他 求:(1)常数 k; (2) P X Y ( 1) + . 解 (1)由 f x y dxdy ( , ) 1 + + − − = 得 1 1 0 1 6 x k = = dx kxdy 所以 k=6 (2) 1 2 1 1 0 1 ( 1) 6 6 4 x x y x P X Y xdxdy xdx dy − + + = = =
例:设二维随机变量(XY)的概率密度 x>1,y>1 (x, y)=xy 0其它 求(X,Y)的联合分布函数 上解由F(xy)= f(u,s)dudu 当x≤1或y1时,f(xy)=0则F(x,y)=0 工工工 当x121时,F(ph dhv=(1--)1--) 00-0 所以(X,Y)的联合分布函数 (1--)(1--)x>1,y F(X, y 其它 王页下
例: 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度 2 2 1 1, 1 ( , ) 0 x y f x y x y = 其它 , 求( , ) X Y 的联合分布函数. 解 由 ( , ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − = 当x 1或y 1时, f x y ( , ) 0 = 则 F x y ( , ) 0 = 当x>1,y>1时, 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) (1 )(1 ) x x y y F x y f u v dudv dudv u v x y − − = = = − − 所以(X,Y)的联合分布函数 1 1 (1 )(1 ) 1, 1 ( , ) 0 x y F x y x y − − = 其它
A例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度 2e(2x+y)x>0 y 0 p(x,y) 0 其他 (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{Y≤X ·解:(1) ·(2)将(X,Y)看着平面上随 F(,y) p(u, vdudv 机点的坐标.G是xoy平面上 直线y=x下方的部分 2Mnh,x>0y>0P{Y≤}=P(X,Y)∈G} 2 工工 其他 I p(x,y)dxdy e)(1-e),x>0,y>0 2e -(2x+y)dxdy 0, 其他 y 上页
• 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度 = − + 0, 其他 2 , 0, 0 ( , ) (2 ) e x y p x y x y • (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}. • 解:(1) − − = y x F(x, y) p(u,v)dudv •(2)将(X,Y)看着平面上随 机点的坐标.G是xoy平面上 直线y=x下方的部分. P{Y X} = P{(X,Y)G} = − + 0, ,其他 2 , 0, 0 0 0 (2 ) y x u v e dudv x y − − = − − 0, ,其他 (1 )(1 ), 0, 0 2 e e x y x y = G p(x, y)dxdy − + = = 0 (2 ) 3 1 2 y x y dxdy e
关于二维随机向量的讨论,可以推广到 cn(m〉2)维随机向量的情况 设(X1,Ⅹ2,…,Xn)为n维随机向量,对于任意n 个实数x,x2…,x元函数 F(x,x2,…,xn)=P(X1≤x,X2≤x2,,Xn≤x 王称为维随机向量(x,x,,X)的分布函数或 牛随机变量X,X,X的联合分布函数它具有 类似于二维随机向量的分布函数的性质 上页
• 关于二维随机向量的讨论,可以推广到 n(n>2)维随机向量的情况. • 设(X1, X2,…, Xn)为n维随机向量,对于任意n 个实数x1, x2,…, xn,n元函数 F(x1, x2,…, xn)=P{X1≤x1,X2 ≤x2,…, Xn ≤xn} 称为n维随机向量(X1, X2,…, Xn)的分布函数或 随机变量X1, X2,…, Xn的联合分布函数.它具有 类似于二维随机向量的分布函数的性质
王s24常用的二维连续型随机变量 (1)设G为平面上的有限区域,如果(X,Y)的概率密度 f(x,v)=A(G) (x,y)∈G (x,y)Eg 其中A(G)是区域G的面积称(xD)服从区域G上 的均匀分布 工工 上页
§2.4 常用的二维连续型随机变量 (1)设 G 为平面上的有限区域,如果 ( , ) X Y 的概率密度 1 ( , ) ( , ) , ( ) 0 ( , ) x y G f x y A G x y G = 其中 A(G)是区域 G 的面积,称( , ) X Y 服从区域 G 上 的均匀分布