讨论]过空腔中A点作一半径为r的同 心球形高斯面,由于面内没有电荷,根据高 =P(3R2-n2-2A) 斯定理,可得空腔中A点场强为 E=0,(r≤R1) A和B点的电势与前面计算的结果相同. 过球壳中B点作一半径为r的同心球形 高斯面,面内球壳的体积为 12.21(1)设地球表面附近的场强约 R 为200Vm-1,方向指向地球中心,试求地球 所带有的总电量 包含的电量为q=pV, (2)在离地面1400m高处,场强降为 根据高斯定理得方程4xE=qlo, 20Vm,方向仍指向地球中心,试计算在 可得B点的场强为 1400m下大气层里的平均电荷密度 R3 解答]地球的平均半径为 E (r-)),(R1sr至R2) R=6.371×10°m (1)将地球当作导体,电荷分布在地 这两个结果与上面计算的结果相同 球表面,由于场强方向指向地面,所以地球 在球壳外面作一半径为r的同心球形高带负量 斯面,面内球壳的体积为 根据公式 E=-0/o V=r(R2-R), 电荷面密度为 E 地球表面积为 S=4πR 包含的电量为q=pV, 地球所带有的总电量为 根据高斯定理得可得球壳外的场强为 0=oS=-4xcoR2E=-R2E/K, P(r2-R) k是静电力常量,因此电量为 E (Rsr 4 3 Q=-(6371×10)2×200 9.02×10°(C) A点的电势为 (2)在离地面高为h=1400m的球面 E·d=|Edr 内的电量为 (R+h-E k 大气层中的电荷为 p(Ri -)d q=Q-Q=8. 由于大气层的厚度远小于地球的半径, 其体积约为 =4Rh=0.714×1018(m3), =B(R2-R2 平均电荷密度为 =1.137×1012(Cm3) B点的电势为 UB=「Ed=「Ed P(R2-Ri 11
11 [讨论] 过空腔中A 点作一半径为r的同 心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高 斯定理，可得空腔中 A 点场强为 E = 0， (r≦R1)． 过球壳中 B 点作一半径为 r 的同心球形 高斯面，面内球壳的体积为 3 3 1 4 ( ) 3 V r R = − ， 包含的电量为 q = ρV， 根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ε0， 可得 B 点的场强为 3 1 2 0 ( ) 3 R E r r = − ， (R1≦r≦R2)． 这两个结果与上面计算的结果相同． 在球壳外面作一半径为 r 的同心球形高 斯面，面内球壳的体积为 3 3 2 1 4 ( ) 3 V R R = − ， 包含的电量为 q = ρV， 根据高斯定理得可得球壳外的场强为 3 3 2 1 2 2 0 0 ( ) 4 3 q R R E r r − = = ，(R2≦r)． A 点的电势为 d d A A A r r U E r = = E l 1 2 1 3 1 2 0 0d ( )d 3 A R R r R R r r r r = + − 2 3 3 2 1 2 0 ( ) d 3 R R R r r − + 2 2 2 1 0 ( ) 2 R R = − ． B 点的电势为 d d B B B r r U E r = = E l 2 3 1 2 0 ( )d 3 B R r R r r r = − 2 3 3 2 1 2 0 ( ) d 3 R R R r r − + 3 2 2 1 2 0 (3 2 ) 6 B B R R r r = − − ． A 和 B 点的电势与前面计算的结果相同． 12．21 （1）设地球表面附近的场强约 为 200V·m-1，方向指向地球中心，试求地球 所带有的总电量． （2）在离地面 1400m 高处，场强降为 20V·m-1，方向仍指向地球中心，试计算在 1400m 下大气层里的平均电荷密度． [解答]地球的平均半径为 R =6.371×106m． （1）将地球当作导体，电荷分布在地 球表面，由于场强方向指向地面，所以地球 带负量． 根据公式 E = -σ/ε0， 电荷面密度为 σ = -ε0E； 地球表面积为 S = 4πR 2， 地球所带有的总电量为 Q = σS = -4πε0R 2E = -R 2E/k， k 是静电力常量，因此电量为 6 2 9 (6.371 10 ) 200 9 10 Q = − =-9.02×105 (C)． （2）在离地面高为 h = 1400m 的球面 内的电量为 2 ( ) ` ` R h E Q k + = − =-0.9×105 (C)， 大气层中的电荷为 q = Q - Q` = 8.12×105 (C)． 由于大气层的厚度远小于地球的半径， 其体积约为 V = 4πR 2h = 0.714×1018(m3 )， 平均电荷密度为 ρ = q/V = 1.137×10-12(C·m-3 )．
[解答]介质中的 电场强度和电位移下注2 是轴对称分布的.在 内外半径之间作一 第13章静电场中的导体个半径为F长为1 和电介质 的圆柱形高斯面,根 据介质中的高斯定 理,通过圆柱面的电 P70. 位移通过等于该面 13.1一带电量为q,半径为r的金包含的自由电荷,即φ=q=l 属球A,与一原先不带电、内外半径分别为 设高斯面的侧面为S0,上下两底面分别 rB和rc的金属球壳B 为S1和S2.通过高斯面的电位移通量为 同心放置,如图所示, N D·dS 则图中P点的电场强团 度如何?若用导线将 A和B连接起来,则 =J D dS+DdS+Dds=2TrID, A球的电势为多少? 可得电位移为D=/2xr, (设无穷远处电势为 图141 其方向垂直中心轴向外 电场强度为E=D∥e0r=/2 TCdRi, 解答]过P点作一个同心球面作为高斯方向也垂直中心轴向外 面,尽管金属球壳内侧会感应出异种,但是 高斯面内只有电荷q.根据高斯定理可得 E4xr-=g/eo, 球壳原来带有电量 可得P点的电场强度为 Q,壳内外半径分别 为a、b,壳内距球 4 心为r处有一点电 荷q求球心O的电 当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q势为多少? 图143 时,外侧将出现同种电荷q.用导线将A和 解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷 B连接起来后,正负电荷将中和.A球是一-q,不论电荷如何分布,距离球心都为a.外 个等势体,其电势等于球心的电势.A球的壳上就有电荷q+Q,距离球为b.球心的电 电势是球壳外侧的电荷产生的,这些电荷到势是所有电荷产生的电势叠加,大小为 球心的距离都是r,所以A球的电势为 4 3.4三块平行金属板A、B和C,面 13.2同轴电缆是由半径为R1的导体积都是S=100cm2,A、B相距dh1=2mm,A 圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的,其C相距d=4mm,B、C接地,A板带有正 间充满了相对介电常数为c的均匀电介质,电荷q=3×10°C 设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量忽略边缘效应求 分别为+λ和-,则通过介质内长为l,半径 (1)B、C 为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多板上的电荷为多 少?圆柱面上任一点的场强为多少? 少? 图144
12 第 13 章 静电场中的导体 和电介质 P70． 13．1 一带电量为 q，半径为 rA 的金 属球 A，与一原先不带电、内外半径分别为 rB 和 rC的金属球壳 B 同心放置，如图所示， 则图中 P 点的电场强 度如何？若用导线将 A 和 B 连接起来，则 A 球的电势为多少？ （设无穷远处电势为 零） [解答]过 P 点作一个同心球面作为高斯 面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是 高斯面内只有电荷 q．根据高斯定理可得 E4πr 2 = q/ε0， 可得 P 点的电场强度为 2 0 4 q E r = ． 当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷 q．用导线将 A 和 B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一 个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的 电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到 球心的距离都是 rc，所以 A 球的电势为 0 4 c q U r = ． 13．2 同轴电缆是由半径为 R1 的导体 圆柱和半径为 R2 的同轴薄圆筒构成的，其 间充满了相对介电常数为 εr 的均匀电介质， 设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量 分别为+λ 和-λ，则通过介质内长为 l，半径 为 r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多 少？圆柱面上任一点的场强为多少？ [解答]介质中的 电场强度和电位移 是轴对称分布的．在 内外半径之间作一 个半径为 r、长为 l 的圆柱形高斯面，根 据介质中的高斯定 理，通过圆柱面的电 位移通过等于该面 包含的自由电荷，即 Φd = q = λl． 设高斯面的侧面为 S0，上下两底面分别 为 S1 和 S2．通过高斯面的电位移通量为 d d S = Ñ D S 0 1 2 d d d 2 S S S = + + = rlD D S D S D S ， 可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外． 电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外． 13．3 金属 球壳原来带有电量 Q，壳内外半径分别 为 a、b，壳内距球 心为 r 处有一点电 荷 q，求球心 o 的电 势为多少？ [解答]点电荷 q 在内壳上感应出负电荷 -q，不论电荷如何分布，距离球心都为 a．外 壳上就有电荷 q+Q，距离球为 b．球心的电 势是所有电荷产生的电势叠加，大小为 0 0 0 1 1 1 4 4 4 o q q Q q U r a b − + = + + 13．4 三块平行金属板 A、B 和 C，面 积都是 S = 100cm2，A、B 相距 d1 = 2mm，A、 C 相距 d2 = 4mm，B、C 接地，A 板带有正 电荷 q = 3×10-8C， 忽略边缘效应．求 （1）B 、C 板上的电荷为多 少？ q o b a r 图 14.3 q B A C 图 14.4 B o A P rA rC rB 图 14.1 D S1 S2 S0 R r 2 R1 εr l
(2)A板电势为多少? 的场强向左,取向右的方向 解答](1)设A的左右两面的电荷面密度为正,可得 图14.5 分别为o1和a2,所带电量分别为 E1-E2-E=0 q=aS和q=a2S, 即 01-02-0=0, 在B、C板上分别感应异号电荷-q1和q,或者说q1-q+q=0 由电荷守恒得方程 解得电量分别为 q=q1+q2=aS+a2S.① A、B间的场强为E1=a1/a A、C间的场强为 E2=a2/E0. 13.6两平行金属板带有等异号电荷, 设A板与B板的电势差和A板与C板若两板的电势差为 3|04 的的电势差相等,设为△U,则 120V,两板间相距为 △U=E1d1=E2d2 1.2mm,忽略边缘效应 oidI=odz 求每一个金属板表面的 解联立方程①和③得 电荷密度各为多少? 01=gd2/s(d1+d2) [解答]由于左板接 所以q1=anS=qh/dh+d)=2×10(C;地,所以a1=0. 图146 q=q-q1=1×103(C 由于两板之间的电荷相互吸引,右板右 B、C板上的电荷分别为 面的电荷会全部吸引到右板左面,所以a4 (C) 0 gc=-q=-1×10°(C) 由于两板带等量异号的电荷,所以 (2)两板电势差为 △U=E1d1= gidley=qddh/ coS(di+d2),两板之间的场强为 由于 k=9×109=1/4re0, 所以 E0=10/36兀, 而 E=Uld 因此△U=144x=4524(V) 所以面电荷密度分别为 由于B板和C板的电势为零,所以 03=EE=ao=884×107Cm2) UA=△U=4524(V) a2=-03=-8.84×107(Cm2) 13.5一无限大均匀带电平面A,带 13.7一球形电容器,内外球壳半径分 电量为q,在它的附近放一块与A平行的金别为R1和R2,球壳与地面及其他物体相距 属导体板B,板B有一定的厚度,如图所很远.将内球用细导线接地.试证:球面间 示.则在板B的两个表面1和2上的感应电 4IEoR2 荷分别为多少? 电容可用公式C [解答]由于板B原来不带电,两边感应出 R2-R 电荷后,由电荷守恒得 (提示:可看作两个球电容器的并联 且地球半径R>R2) 虽然两板是无限大的,为了计算的方 证明]方法 便,不妨设它们的面积为S,则面电荷密度:并联电容法在 分别为 外球外面再接一个 a1=q1/S、02=qS、a=q/S 半径为R3大外球 它们产生的场强大小分别为 壳,外壳也接地.内 E1=a1/eo、E2=a2/o、E=a/o 球壳和外球壳之间 在B板内部任取一点P,其场强为零,是一个电容器,电 其中1面产生的场强向右,2面和A板产生容为
13 （2）A 板电势为多少？ [解答](1)设A 的左右两面的电荷面密度 分别为 σ1 和 σ2，所带电量分别为 q1 = σ1S 和 q2 = σ2S， 在 B、C 板上分别感应异号电荷-q1 和-q2， 由电荷守恒得方程 q = q1 + q2 = σ1S + σ2S． ① A、B 间的场强为 E1 = σ1/ε0， A、C 间的场强为 E2 = σ2/ε0． 设 A 板与 B 板的电势差和 A 板与 C 板 的的电势差相等，设为 ΔU，则 ΔU = E1d1 = E2d2， ② 即 σ1d1 = σ2d2． ③ 解联立方程①和③得 σ1 = qd2/S(d1 + d2)， 所以 q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8 (C)； q2 = q - q1 = 1×10-8 (C)． B、C 板上的电荷分别为 qB = -q1 = -2×10-8 (C)； qC = -q2 = -1×10-8 (C)． (2)两板电势差为 ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0， 所以 ε0 = 10-9 /36π， 因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于 B 板和 C 板的电势为零，所以 UA = ΔU = 452.4(V)． 13．5 一无限大均匀带电平面 A，带 电量为 q，在它的附近放一块与 A 平行的金 属导体板 B，板 B 有一定的厚度，如图所 示．则在板 B 的两个表面 1 和 2 上的感应电 荷分别为多少？ [解答]由于板 B 原来不带电，两边感应出 电荷后，由电荷守恒得 q1 + q2 = 0． ① 虽然两板是无限大的，为了计算的方 便，不妨设它们的面积为 S，则面电荷密度 分别为 σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S， 它们产生的场强大小分别为 E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0． 在 B 板内部任取一点 P，其场强为零， 其中 1 面产生的场强向右，2 面和 A 板产生 的场强向左，取向右的方向 为正，可得 E1 - E2 – E = 0， 即 σ1 - σ2 – σ = 0， 或者说 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为 q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2． 13．6 两平行金属板带有等异号电荷， 若 两 板 的 电 势 差 为 120V，两板间相距为 1.2mm，忽略边缘效应， 求每一个金属板表面的 电荷密度各为多少？ [解答]由于左板接 地，所以 σ1 = 0． 由于两板之间的电荷相互吸引，右板右 面的电荷会全部吸引到右板左面，所以 σ4 = 0． 由于两板带等量异号的电荷，所以 σ2 = -σ3． 两板之间的场强为 E = σ3/ε0， 而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为 σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7 (C·m-2 )， σ2 = -σ3 = -8.84×10-7 (C·m-2 )． 13．7 一球形电容器，内外球壳半径分 别为 R1 和 R2，球壳与地面及其他物体相距 很远．将内球用细导线接地．试证：球面间 电容可用公式 2 0 2 2 1 4 R C R R = − 表示． （提示：可看作两个球电容器的并联， 且地球半径 R>>R2） [ 证 明 ] 方 法 一：并联电容法．在 外球外面再接一个 半径为 R3 大外球 壳，外壳也接地．内 球壳和外球壳之间 是一个电容器，电 容为 P q1 q2 B A q 图14.5 σ1 σ2 σ3 σ4 图 14.6 o R2 R1 R3
C1=471R-1R2 Ruq 4TEoR2R R2 4TEoR2 外球壳和大外球壳之间也是一个电容器,电 球面间的电容为 容为 C=9-4TEoR2 C,=4丌a U R-R 1/R,-1/R 外球壳是一极,由于内球壳和大外球壳 13.8球形电容器 都接地,共用一极,所以两个电容并联.当的内、外半径分别为R1 R3趋于无穷大时,C2=4m0R2.并联电容为和R2,其间一半充满相 C=CI+C2=4TEo R,R 对介电常量为cn的均匀 +4E0R2 R2-R1 电介质,求电容C为多 少 图148 4TEo R5 [解答]球形电容器 R2-R 的电容为 R,R 方法二:电容定义法.假设外壳带正电 为q,则内壳将感应电荷q.内球的电势是 1/R-1/R2 R2-R1 两个电荷产生的叠加的结果.由于内球接 对于半球来说,由于相对面积减少了 地,所以其电势为零:由于内球是一个等势半,所以电容也减少一半 体,其球心的电势为 2TEoRR R2-R1 4IEoR2 4TEoR 当电容器中充满介质时,电容为 因此感应电荷为 2TEE,RR R R2-R1 R2 q 由于内球是一极,外球是一极,所以两 根据高斯定理可得两球壳之间的场强个电容器并联 2TE(1+E)RR2 R E R2-R1 4TEor- 4TeoR,r 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳 13.9设板面积为S的平板电容器析板 取外球壳指向内球壳的一条电力线,两间有两层介质,介电常量分别为e1和E2, 球壳之间的电势差为 厚度分别为d和d,求电容器的电容 解答]假设在 U=|E·dl=|Ed 两介质的介面插入d 薄导体,可知两d1 R 个电容器串联,电 19 4TE Rr2 容分别为 C1=E1Sh1和C2=2Sa2 总电容的倒数为
14 1 2 1 0 0 1 2 2 1 1 4 4 1/ 1/ R R C R R R R = = − − 外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电 容为 2 0 2 3 1 4 1/ 1/ C R R = − ． 外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳 都接地，共用一极，所以两个电容并联．当 R3 趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为 1 2 1 2 0 0 2 2 1 4 4 R R C C C R R R = + = + − 2 0 2 2 1 4 R R R = − ． 方法二：电容定义法．假设外壳带正电 为 q，则内壳将感应电荷 q`．内球的电势是 两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接 地，所以其电势为零；由于内球是一个等势 体，其球心的电势为 0 2 0 1 ` 0 4 4 q q R R + = ， 因此感应电荷为 1 2 ` R q q R = − ． 根据高斯定理可得两球壳之间的场强 为 1 2 2 0 0 2 ` 4 4 q R q E r R r = = − ， 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳． 取外球壳指向内球壳的一条电力线，两 球壳之间的电势差为 1 1 2 2 d d R R R R U E r = = E l 1 2 1 2 0 2 ( )d 4 R R R q r R r = − 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 1 ( ) ( ) 4 4 R q R R q R R R R − = − = 球面间的电容为 2 0 2 2 1 q 4 R C U R R = = − ． 13．8 球形电容器 的内、外半径分别为 R1 和 R2，其间一半充满相 对介电常量为 εr 的均匀 电介质，求电容 C 为多 少？ [解答]球形电容器 的电容为 1 2 0 0 1 2 2 1 1 4 4 1/ 1/ R R C R R R R = = − − ． 对于半球来说，由于相对面积减少了一 半，所以电容也减少一半： 0 1 2 1 2 1 2 R R C R R = − ． 当电容器中充满介质时，电容为： 0 1 2 2 2 1 2 r R R C R R = − ． 由于内球是一极，外球是一极，所以两 个电容器并联： 0 1 2 1 2 2 1 2 (1 ) r R R C C C R R + = + = − ． 13．9 设板面积为 S 的平板电容器析板 间有两层介质，介电常量分别为 ε1 和 ε2， 厚度分别为 d1 和 d2，求电容器的电容． [解答]假设在 两介质的介面插入 一薄导体，可知两 个电容器串联，电 容分别为 C1 = ε1S/d1 和 C2 = ε2S/d2． 总电容的倒数为 o R2 R1 εr 图 14.8 d2 ε1 ε2 d1 图 14.9
电容为C=9 Ears U In(r,/RD) 总电容为C=-662S 在真空时的电容为 E2d,+ed q U In(R,/R 13.10圆柱形电容器是由半径为R1的所以倍数为CCo=c/e0 导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒 构成的,其长为l,其间充满了介电常量为 13.11在半径为R1的金属球外还有 e的介质.设沿轴线单位长度导线上的电荷层半径为R2的均匀介质,相对介电常量为 为λ,圆筒的电荷为λ,略去边缘效应.求:E,设金属球带电Qo,求 (1)两极的电势差U; (1)介质层内、外D、E、P的分布 (2)介质中的电场强度E、电位移D (2)介质层内、外表面的极化电荷面 (3)电容C,它是真空时电容的多少密度 倍? [解答](1)在介质内,电场强度和电位 [解答]介质中 移以及极化强度是球对称分布的.在内外半 的电场强度和电位,2 径之间作一个半径为r的球形高斯面,通过 移是轴对称分布 高斯面的电位移通量为 的.在内外半径之 间作一个半径为r、 P,=fb.ds= Dds=4TrD 长为的圆柱形高 高斯面包围的自由电荷为q=Qo, 斯面,侧面为So 根据介质中的高斯定理φ=q 上下两底面分别为 可得电位为 D=004x2, S1和S2.通过高斯 方向沿着径向.用矢量表示为 面的电位移通量为 D=O Pa=NDds 电场强度为 E=D/coEr=Oor/4TCoerr' DdS+ D-dS+Dds=2rID 方向沿着径向 由于D=c0E+P, 高斯面包围的自由电荷为q=M 根据介质中的高斯定理a=q, 所以P=D-C0E=(1 E. 4Tr3 可得电位为D=2xr 方向垂直中心轴向外 在介质之外是真空,真空可当作介电常 电场强度为E=D/e=/2rer, 量=1的介质处理,所以 方向也垂直中心轴向外 D=gor/4, E=@or/4Cor,P=0 取一条电力线为积分路径,电势差为 (2)在介质层内靠近金属球处,自由 电荷Q0产生的场为 U=EdI=Edr Eo Oor/4cor: 极化电荷q产生的场强为 2 R E=qIr/4rcor 总场强为E=Qr/4re 由于 E=Eo+E
15 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 d d d d C C C S S S + = + = + = ， 总电容为 1 2 2 1 1 2 S C d d = + ． 13．10 圆柱形电容器是由半径为 R1 的 导线和与它同轴的内半径为 R2 的导体圆筒 构成的，其长为 l，其间充满了介电常量为 ε 的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷 为 λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求： （1）两极的电势差 U； （2）介质中的电场强度 E、电位移 D； （3）电容 C，它是真空时电容的多少 倍？ [ 解答] 介质中 的电场强度和电位 移 是 轴 对 称 分 布 的．在内外半径之 间作一个半径为 r、 长为 l 的圆柱形高 斯面，侧面为 S0， 上下两底面分别为 S1 和 S2．通过高斯 面的电位移通量为 d d S = Ñ D S 0 1 2 d d d 2 S S S = + + = rlD D S D S D S ， 高斯面包围的自由电荷为 q = λl， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = λ/2πr， 方向垂直中心轴向外． 电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr， 方向也垂直中心轴向外． 取一条电力线为积分路径，电势差为 2 1 d d d 2 R L L R U E r r r = = = E l 2 1 ln 2 R R = ． 电容为 2 1 2 ln( / ) q l C U R R = = ． 在真空时的电容为 0 0 2 1 2 ln( / ) q l C U R R = = ， 所以倍数为 C/C0 = ε/ε0． 13．11 在半径为 R1 的金属球外还有一 层半径为 R2 的均匀介质，相对介电常量为 εr．设金属球带电 Q0，求： （1）介质层内、外 D、E、P 的分布； （2）介质层内、外表面的极化电荷面 密度． [解答]（1）在介质内，电场强度和电位 移以及极化强度是球对称分布的．在内外半 径之间作一个半径为 r 的球形高斯面，通过 高斯面的电位移通量为 2 d d 4 d S S = = = 蜒 D S D S r D 高斯面包围的自由电荷为 q = Q0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = Q0/4πr2， 方向沿着径向．用矢量表示为 D = Q0r/4πr3． 电场强度为 E = D/ε0εr = Q0r/4πε0εrr 3， 方向沿着径向． 由于 D = ε0E + P， 所以 P = D - ε0E = 0 3 1 (1 ) r 4 Q r − r ． 在介质之外是真空，真空可当作介电常 量 εr = 1 的介质处理，所以 D = Q0r/4πr3，E = Q0r/4πε0r 3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由 电荷 Q0 产生的场为 E0 = Q0r/4πε0r 3； 极化电荷 q1`产生的场强为 E` = q1`r/4πε0r 3； 总场强为 E = Q0r/4πε0εrr 3． 由于 E = E0 + E`， D S1 S2 S0 R r 2 R1 ε l