解得极化电荷为a=(--1)Q 充电到电压为U时,断开电源,使电容器的 半浸在相对介电常量为c的液体中.求: 介质层内表面的极化电荷面密度为 (1)电容器的电容C (2)浸入液体后电容器的静电能 (-1) 4R2 R (3)极板上的自由电荷面密度 [解答](1)如前所述,两电容器并联的 在介质层外表面,极化电荷为 电容为 C=(1+ Er)co q2=-q1 (2)电容器充电前的电容为C0=coSa, 面密度为 充电后所带电量为 0=CoU q2-=(1 1、 当电容器的一半浸在介质中后,电容虽然改 R2 变了,但是电量不变,所以静电能为 w=0/2C=CoUA/2C=aSU/(1+Er)d (3)电容器的一半浸入介质后,真空 13.12两个电容器电容之比C1:C2=的一半的电容为C1=coS2d 12,把它们串联后接电源上充电,它们的介质中的一半的电容为C2=coES/2d 静电能量之比为多少?如果把它们并联后设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2,则 接到电源上充电,它们的静电能之比又是多 01+02=Q 由于C=QU,所以 解答]两个电容器串联后充电,每个电 容器带电量是相同的,根据静电能量公式W解联立方程得 Q2n2C,得静电能之比为 W1:W2=C2:C1=2:1 g=C10=CU 两个电容器并联后充电,每个电容器两 C1+C21+C2/C1 端的电压是相同的,根据静电能量公式W=真空中一半电容器的自由电荷面密度为 CU/2,得静电能之比为 2C0 W1:W2=C1:C2=1:2 S/2(1+C2/C1)S(+E)d 13.13一平行板电容器板面积为S,板同理,介质中一半电容器的自由电荷面密度 间距离为d,接在电源上维持其电压为U.将为 块厚度为d相对介电常量为e的均匀介电 2CU 质板插入电容器的一半空间内,求电容器的 (C1C2+1)S(1+En)d 静电能为多少? 解答]平行板电容器的电容为 C=coS/d, 13.15平行板电容器极板面积为 当面积减少一半时,电容为C1=c0S2d 200cm2,板间距离为10mm,电容器内有 另一半插入电介质时,电容为C2=εe^S2d.块1.0mm厚的玻璃板(er=5).将电容器与 两个电容器并联,总电容为 300V的电源相连.求: C=C1+C2=(+Er)cos/2d 1)维持两极板电压不变抽出玻璃板 静电能为 电容器的能量变化为多少 =CU/2=(1+Er)S2/4d. (2)断开电源维持板上电量不变,抽 出玻璃板,电容器能量变化为多少? 13.14一平行板电容器板面积为S,板 [解答]平行板电容器的电容为 间距离为d,两板竖直放着.若电容器两板 cr sd
16 解得极化电荷为 ` 1 0 1 ( 1) r q Q = − ， 介质层内表面的极化电荷面密度为 ` ` 1 0 1 2 2 1 1 1 ( 1) 4 4 r q Q R R = = − ． 在介质层外表面，极化电荷为 ` ` 2 1 q q = − ， 面密度为 ` ` 2 0 2 2 2 2 2 1 (1 ) 4 4 r q Q R R = = − ． 13．12 两个电容器电容之比 C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的 静电能量之比为多少？如果把它们并联后 接到电源上充电，它们的静电能之比又是多 少？ [解答]两个电容器串联后充电，每个电 容器带电量是相同的，根据静电能量公式 W = Q2 /2C，得静电能之比为 W1:W2 = C2:C1 = 2:1． 两个电容器并联后充电，每个电容器两 端的电压是相同的，根据静电能量公式 W = CU2 /2，得静电能之比为 W1:W2 = C1:C2 = 1:2． 13．13 一平行板电容器板面积为 S，板 间距离为 d，接在电源上维持其电压为 U．将 一块厚度为d相对介电常量为εr 的均匀介电 质板插入电容器的一半空间内，求电容器的 静电能为多少？ [解答]平行板电容器的电容为 C = ε0S/d， 当面积减少一半时，电容为 C1 = ε0S/2d； 另一半插入电介质时，电容为 C2 = ε0εrS/2d． 两个电容器并联，总电容为 C = C1 + C2 = (1 + εr)ε0S/2d， 静电能为 W = CU2 /2 = (1 + εr)ε0SU2 /4d． 13．14 一平行板电容器板面积为 S，板 间距离为 d，两板竖直放着．若电容器两板 充电到电压为 U 时，断开电源，使电容器的 一半浸在相对介电常量为 εr 的液体中．求： （1）电容器的电容 C； （2）浸入液体后电容器的静电能； （3）极板上的自由电荷面密度． [解答]（1）如前所述，两电容器并联的 电容为 C = (1 + εr)ε0S/2d． （2）电容器充电前的电容为 C0 = ε0S/d， 充电后所带电量为 Q = C0U． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改 变了，但是电量不变，所以静电能为 W = Q2 /2C = C0 2U2 /2C = ε0SU2 /(1 + εr)d． （3）电容器的一半浸入介质后，真空 的一半的电容为 C1 = ε0S/2d； 介质中的一半的电容为 C2 = ε0εrS/2d． 设两半的所带自由电荷分别为 Q1 和 Q2，则 Q1 + Q2 = Q． ① 由于 C = Q/U，所以 U = Q1/C1 = Q2/C2． ② 解联立方程得 1 0 1 1 2 2 1 1 / C Q C U Q C C C C = = + + ， 真空中一半电容器的自由电荷面密度为 1 0 0 1 2 1 2 2 / 2 (1 / ) (1 ) r Q C U U S C C S d = = = + + ． 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度 为 0 0 2 1 2 2 2 ( / 1) (1 ) r r C U U C C S d = = + + ． 13．15 平行 板电 容器极 板面 积为 200cm2，板间距离为 1.0mm，电容器内有一 块 1.0mm 厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与 300V 的电源相连．求： （1）维持两极板电压不变抽出玻璃板， 电容器的能量变化为多少？ （2）断开电源维持板上电量不变，抽 出玻璃板，电容器能量变化为多少？ [解答]平行板电容器的电容为 C0 = ε0εrS/d
静电能为Wo=C0UP/2 玻璃板抽出之后的电容为 13.17两个同轴的圆柱面,长度均为l, 半径分别为a、b,柱面之间充满介电常量为 (1)保持电压不变抽出玻璃板,静电ε的电介质(忽略边缘效应).当这两个导体 能为 W=CU/2 带有等量异号电荷(土Q时,求 电能器能量变化为 (1)在半径为r(a<r<b)、厚度为dr △=W-Wo=(C-C0)U2/2 长度为l的圆柱薄壳中任一点处,电场能量 =(1-e)a0SUa/2d=-3.18×105(J) 体密度是多少?整个薄壳层中总能量是多 (2)充电后所带电量为Q=CoU, 少 保持电量不变抽出玻璃板,静电能为 (2)电介质中总能量是多少(由积分 W=Q2/2C, 算出)? 电能器能量变化为 (3)由电容器能量公式推算出圆柱形 电容器的电容公式? △W=W-W=(-1) 2 解答](1)圆柱形内柱面的电荷线密度 为 (E-1)55SU2 A=o/ =1.59×104(J) 根据介质是高斯定理,可知电位移为 D=2Tr=o/tRl 场强为 E= D/e= o/ter, 13.16设圆柱形电容器的内、外圆筒能量密度为w=DE2=DE/2=Q2/8ner2P 半径分别为a、b.试证明电容器能量的一半 薄壳的体积为d=2rldr, 储存在半径R=√b的圆柱体内 能量为dW=dV=Q2d4xelr (2)电介质中总能量为 解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ, 场强为 E=0/2xcor, 4eIr tEl a 能量密度为 =c0E2/2, 体积元为d=2mrld (3)由公式W=Q2/2C得电容为 能量元为 dw=wdv 在半径a到R的圆柱体储存的能量为 O- 22l 22.R 13.18两个电容器,分别标明为 4 00PF/500V和300PF/900V.把它们串联起 4 来,等效电容多大?如果两端加上1000V电 当R=b时,能量为 压,是否会被击穿? 221 b [解答]当两个电容串联时,由公式 wI 当R=√ab时,能量为 得C=CC2=120PF 22l 加上U=1000V的电压后,带电量为 所以W2=W1/2,即电容器能量的一半储存 0=CU, 第一个电容器两端的电压为 在半径R=√ab的圆柱体内
17 静电能为 W0 = C0U2 /2． 玻璃板抽出之后的电容为 C = ε0S/d． （1）保持电压不变抽出玻璃板，静电 能为 W = CU2 /2， 电能器能量变化为 ΔW = W - W0 = (C - C0)U2 /2 = (1 - εr)ε0SU2 /2d = -3.18×10-5 (J)． （2）充电后所带电量为 Q = C0U， 保持电量不变抽出玻璃板，静电能为 W = Q2 /2C， 电能器能量变化为 2 0 0 0 ( 1) 2 C C U W W W C = − = − 2 0 ( 1) 2 r r SU d = − = 1.59×10-4 (J)． 13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒 半径分别为 a、b．试证明电容器能量的一半 储存在半径 R ab = 的圆柱体内． [解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ， 场强为 E = λ/2πε0r， 能量密度为 w = ε0E 2 /2， 体积元为 dV = 2πrldr， 能量元为 dW = wdV． 在半径 a 到 R 的圆柱体储存的能量为 0 2 d d V V 2 W w V E V = = 2 2 0 0 d ln 4 4 R a l l R r r a = = ． 当 R = b 时，能量为 2 1 0 ln 4 l b W a = ； 当 R ab = 时，能量为 2 2 2 0 0 ln ln 4 8 l b l b W a a = = ， 所以 W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存 在半径 R ab = 的圆柱体内． 13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为 l， 半径分别为 a、b，柱面之间充满介电常量为 ε 的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体 带有等量异号电荷(±Q)时，求： （1）在半径为 r(a < r < b)、厚度为 dr、 长度为 l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量 体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多 少？ （2）电介质中总能量是多少（由积分 算出）？ （3）由电容器能量公式推算出圆柱形 电容器的电容公式？ [解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度 为 λ = Q/l， 根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = λ/2πr = Q/2πrl， 场强为 E = D/ε = Q/2πεrl， 能量密度为 w = D·E/2 = DE/2 = Q2 /8π 2 εr2 l 2． 薄壳的体积为 dV = 2πrldr， 能量为 dW = wdV = Q2dr/4πεlr． （2）电介质中总能量为 2 2 d d ln 4 4 b V a Q Q b W W r lr l a = = = ． （3）由公式 W = Q2 /2C 得电容为 2 2 2 ln( / ) Q l C W b a = = ． 13．18 两个 电容 器，分 别标 明为 200PF/500V 和 300PF/900V．把它们串联起 来，等效电容多大？如果两端加上 1000V 电 压，是否会被击穿？ [解答]当两个电容串联时，由公式 2 1 1 2 1 2 1 1 1 C C C C C C C + = + = ， 得 1 2 1 2 120PF C C C C C = = + ． 加上 U = 1000V 的电压后，带电量为 Q = CU， 第一个电容器两端的电压为