第十四章稳恒电流的磁场 14.1通有电流I的导线形状如图所示,图中ACDO是边长 为b的正方形.求圆心O处的磁感应强度B=? [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的根 据毕萨定律: dB 圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直,在O点产生的磁感应强度 大小为 图141 由于 积分得 ,=, d OA和OD方向的直线在O点产生的磁感应强度为零.在AC段, 电流元在O点产生的磁感应强度为 dB uo ld/sin 0 由于 7=bcot(I-8)=-bcot 所以 d/= bdesin2 0: 又由于 可得 dB uo I sin ed8 T 积分得 B 6d6 同理可得CD段在O点产生的磁感应强度B3=B2.O点总磁感应强度为 B1+B2+B3 310 4πb 讨论](1)假设圆弧张角为φ,电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为 B
1 第十四章 稳恒电流的磁场 P117． 14．1 通有电流 I 的导线形状如图所示，图中 ACDO 是边长 为 b 的正方形．求圆心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根 据毕-萨定律： 0 0 2 d d 4π I r = l r B ， 圆弧上的电流元与到 O 点的矢径垂直，在 O 点产生的磁感应强度 大小为 0 1 2 d d 4π I l B a = ， 由于 dl = adφ， 积分得 1 1 d L B B = 3π / 2 0 0 d 4π I a = 0 3 8 I a = ． OA 和 OD 方向的直线在 O 点产生的磁感应强度为零．在 AC 段， 电流元在 O 点产生的磁感应强度为 0 2 2 d sin d 4π I l B r = ， 由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ， 所以 dl = bdθ/sin2θ； 又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ， 可得 0 2 sin d d 4π I B b = ， 积分得 3π / 4 0 2 π / 2 d sin d 4π L I B B b = = 3π/ 4 0 0 π/ 2 2 ( cos ) 4π 8π I I b b = − = 同理可得 CD 段在 O 点产生的磁感应强度 B3 = B2．O 点总磁感应强度为 0 0 1 2 3 3 2 8 4π I I B B B B a b = + + = + ． [讨论]（1）假设圆弧张角为 φ，电流在半径为 a 的圆心处产生的磁感应强度为 0 4π I B a = ， I C O b a D A 图 14.1 l r θ Idl Idl C O b a D A
2π时,可得 31n1 B1 (2)有限长直导线产生的磁感应大小为 B (cos0,-cos 8,) 对于AC段,1=2、O2=3m/4;对于CD段,O1=/4、O2=π/2,都可得 B、=B √2A 8πb 如果不用毕-萨定律,可直接引用由毕-萨定律所得出的结果 14.2如图所示的载流导线,图中半圆的的半径为R 直线部分伸向无限远处.求圆心O处的磁感应强度B=? 「解答]在直线电流的磁感应强度公式中: (cos 0,-cos0,) 4πR 令01=0、B2=m/2,或者O1=/2、O2=π,就得半无限长导 线在端点半径为R的圆心上产生的磁感应强度 图142 4πR 两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向,大小为B:=02兀R 半圆在O处产生的磁场方向沿着X方向,大小为 Bx=4o//4R O点的磁感应强度为 B=-Bi-Bk=1以k 4R2πR 场强大小为 tB 4+2 与X轴的夹角为 0= arctan B. arctan B 14.3如图所示的正方形线圈ABCD,每边长为a,通有电流l.求 正方形中心O处的磁感应强度B=? 解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2,在O点产生的磁场大 小相等、方向相同.以AD边为例,利用直线电流的磁感应强度公式: 84me(cos日-cosB2), 图143 令1=/4、O2=3/4、R=a2,AD在O产生的场强为 2
2 当 3 2π 4 = 时，可得 0 1 3 8 I B a = ． （2）有限长直导线产生的磁感应大小为 0 1 2 (cos cos ) 4π I B b = − ． 对于 AC 段，θ1 = π/2、θ2 = 3π/4；对于 CD 段，θ1 = π/4、θ2 = π/2，都可得 0 2 3 2 8π I B B b = = ． 如果不用毕-萨定律，可直接引用由毕-萨定律所得出的结果． 14．2 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为 R， 直线部分伸向无限远处．求圆心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]在直线电流的磁感应强度公式中： 0 1 2 (cos cos ) 4π I B R = − ， 令 θ1 = 0、θ2 = π/2，或者 θ1 = π/2、θ2 = π，就得半无限长导 线在端点半径为 R 的圆心上产生的磁感应强度 0 4π I B R = ． 两无限长半直线在 O 点产生的磁场方向都向着-Z 方向，大小为 Bz = μ0I/2πR． 半圆在 O 处产生的磁场方向沿着-X 方向，大小为 Bx = μ0I/4R． O 点的磁感应强度为 0 0 4 2π x z I I B B R R B i k i k = − − = − − ． 场强大小为 2 2 2 0 4 π 4π x z I B B B R = + = + ， 与 X 轴的夹角为 2 arctan arctan π z x B B = = ． 14．3 如图所示的正方形线圈 ABCD，每边长为 a，通有电流 I．求 正方形中心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]正方形每一边到 O 点的距离都是 a/2，在 O 点产生的磁场大 小相等、方向相同．以 AD 边为例，利用直线电流的磁感应强度公式： 0 1 2 (cos cos ) 4π I B R = − ， 令 θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2，AD 在 O 产生的场强为 B I θ1 b θ2 X Y R I Z O 图 14.2 I O D B C A 图 14.3
2Ia O点的磁感应强度为 22 B=4B 方向垂直纸面向里 14.7两个共轴圆线圈,每个线圈中的电流强度都是l,半径为R,两个圆心间距离O1O2 R,试证:O1、O2中点O处附近为均匀磁场 [证明]方法一:用二阶导数.一个半径为R的环电流在离圆心 为x的轴线上产生的磁感应强度大小为 R 2(R2+x2)2 图14.7 设两线圈相距为2a,以O点为原点建立坐标,两线圈在x点产 生的场强分别为 B 2R2+(a+x)2 IR B 2[R2+(a-x)P 方向相同,总场强为B=B1+B2 个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状,两边各有一个 拐点.两个线圈的磁场叠加之后,如果它们相距太近,其曲线 就是更高的凸状:如果它们相距太远,其曲线的中间部分就会 下凹,与两边的峰之间各有一个拐点.当它们由远而近到最适 当的位置时,两个拐点就会在中间重合,这时的磁场最均匀, 而拐点处的二阶导数为零 a=R/2 设k=olR2/2,则 B=ki R2+(a+x)y+(R2+(a-x)2 B对x求一阶导数得 dB a-x dr-3kir'+(a+x)F2R+(a-x)25/) ZaeR 求二阶导数得 d-B R2-4(a+x)2 +n2 4(a-x) [R2+(a+x)] 在x=0处dB/dx2=0,得R2=4a2,所以 R x=0处的场强为
3 2 0 2π AD I B a = ， O 点的磁感应强度为 0 2 2 4 π AD I B B a = = ， 方向垂直纸面向里． 14．7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是 I，半径为 R，两个圆心间距离 O1O2 = R，试证：O1、O2 中点 O 处附近为均匀磁场． [证明]方法一：用二阶导数．一个半径为 R 的环电流在离圆心 为 x 的轴线上产生的磁感应强度大小为： 2 0 2 2 3/ 2 2( ) IR B R x = + ． 设两线圈相距为 2a，以 O 点为原点建立坐标，两线圈在 x 点产 生的场强分别为 2 0 1 2 2 3/ 2 2[ ( ) ] IR B R a x = + + ， 2 0 2 2 2 3/ 2 2[ ( ) ] IR B R a x = + − ． 方向相同，总场强为 B = B1 + B2． 一个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状，两边各有一个 拐点．两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线 就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会 下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适 当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀， 而拐点处的二阶导数为零． 设 k = μ0IR2 /2，则 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 1 1 { } [ ( ) ] [ ( ) ] B k R a x R a x = + + + + − B 对 x 求一阶导数得 2 2 5/ 2 d 3 { d [ ( ) ] B a x k x R a x + = − + + ， 2 2 5/ 2 } [ ( ) ] a x R a x − − + − 求二阶导数得 2 2 2 2 2 2 7/ 2 d 4( ) 3 { d [ ( ) ] B R a x k x R a x − + = − + + 2 2 2 2 7/ 2 4( ) } [ ( ) ] R a x R a x − − + + − ， 在 x = 0 处 d 2B/dx 2 = 0，得 R 2 = 4a 2，所以 2a = R． x = 0 处的场强为 x O2 C I O x R B O1 C 2a I R 图14.7 B
6840l b=k. [R2+(R/2)2 √5R5√5R 方法二:用二项式展开.将B1展开得 B=2(R2+a 2(R2+a2) ax+x2 (R2+ k Ho/R- 2ax+x B1=k(1 同理可得 B2=k( 1-2ax+x2 R2+ 当x很小时,二项式展开公式为 (1+x)=1+nx+ n(n-1) 将B1和B2按二项式展开,保留二次项,总场强为 B=B+B1=+÷3.32ax+x21-3.-52ax+x2 2R2+a21.222R2+ 2R2+ 1.22 2k[1+ 24(R2+a2)2 R2-4a2 2(R2+a2)2 IR 8√5n1 B=2k 可知:O点附近为均强磁场 14.5将半径为R的无限长导体圆柱面,沿轴向割去一宽为hh<R) 的无限长缝后,沿轴向均匀地通有电流,面密度为i,求轴线上的磁感应 强度B=? 解答]方法一:补缺法.导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成, 如果补上长缝,由于对称的缘故,电流在轴线上产生的磁感应强度为零.割 去长缝,等效于同时加上两个大小相等,方向相反的电流,其中,与i相 同的电流补上了长缝,与i相反的电流大小为I=ih 在轴线上产生的磁感应强度为 图14.5
4 2 2 3/ 2 2 [ ( / 2) ] B k R R = + 0 3 16 8 5 5 5 5 I k R R = = ． 方法二：用二项式展开．将 B1 展开得 2 0 1 2 2 2 3/ 2 2[ 2 ] IR B R a ax x = + + + 2 0 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2( ) [1 (2 ) /( )] IR R a ax x R a = + + + + ． 设 2 0 2 2 3/ 2 2( ) IR k R a = + ，则 2 3/ 2 1 2 2 2 (1 ) ax x B k R a + − = + + ． 同理可得 2 3/ 2 2 2 2 2 (1 ) ax x B k R a − + − = + + ． 当 x 很小时，二项式展开公式为 2 ( 1) (1 ) 1 ... 1 2 n n n x nx x − + = + + + ． 将 B1 和 B2 按二项式展开，保留二次项，总场强为 2 1 2 2 2 3 2 [1 2 ax x B B B k R a − + = + = + + + 2 2 2 2 1 3 5 2( ) ...] 1 2 2 2 ax x R a − − + + + 2 2 2 3 2 [1 2 ax x k R a − − + + + + + 2 2 2 2 1 3 5 2 ( ) ...] 1 2 2 2 ax x R a − − − + + + 2 2 2 3 2 [1 2 x k R a − = + + + 2 2 2 2 2 3 5 4 ...] 2 4 ( ) a x R a − − + + 2 2 2 2 2 2 3 4 2 [1 ...] 2 ( ) R a k x R a − − = + + + 令 R 2 - 4a 2 = 0，即 a = R/2，得 2 0 0 2 2 3/ 2 8 5 2 ( ) 25 IR I B k R a R = = = + ， 可知：O 点附近为均强磁场． 14．5 将半径为 R 的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为 h(h<<R) 的无限长缝后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为 i，求轴线上的磁感应 强度 B = ？ [解答]方法一：补缺法．导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成， 如果补上长缝，由于对称的缘故，电流在轴线上产生的磁感应强度为零．割 去长缝，等效于同时加上两个大小相等，方向相反的电流，其中，与 i 相 同的电流补上了长缝，与 i 相反的电流大小为 I = ih． 在轴线上产生的磁感应强度为 O' O R i h 图 14.5
h 方法二:积分法.在导体的截面上建立坐标,x坐标轴平分角a,a=hR 电流垂直纸面向外,在圆弧上取一线元 ds= rde 无限长直线电流为 d/= ids= iRda, 在轴线产生的磁感应强度大小为 2R2 两个分量分别为 dB =-dB 0=- o cos 0de 积分得 2r sin ed0=-2r Case/Rx-al2 o cos(2T-a12)-cos(a/2)]=0 cos 0d6 2x sinolzx-al2 ol [sin(2T-a/2)-sin(a/2) 2 C u,ih C 22: B的方向沿着y方向.B3的大小和方向正是无限长直线电流伽产生的磁感应强度 14.6在半径为R=10cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通 有电流l=50A,如图所示,求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B 解答]取导体面的横截面,电流方向垂直纸面向外 半圆的周长为 面电流线密度为 i=I/C=ITR 在半圆上取一线元d=Rd代表无限长直导线的截面,电流元为图146 d/= id=Ido/t 在轴线上产生的磁感应强度为 foldo 2πR2x2R 方向与径向垂直.dB的两个分量为 积分得 B sin 0
5 0 0 2π 2π I ih B R R = = ． 方法二：积分法．在导体的截面上建立坐标，x 坐标轴平分角 α，α = h/R． 电流垂直纸面向外，在圆弧上取一线元 ds = Rdθ， 无限长直线电流为 dI = ids = iRdθ， 在轴线产生的磁感应强度大小为 0 0 d d d 2π 2π I i B R = = ， 两个分量分别为 0 d d sin sin d 2π x i B B = = ， 0 d d cos cos d 2π y i B B = − = − ． 积分得 2π / 2 2π / 2 0 0 / 2 / 2 sin d cos 2π 2π x i i B − − = = − 0 [cos(2π / 2) cos( / 2)] 0 2π i = − − − = ； 2π / 2 2π / 2 0 0 / 2 / 2 cos d sin 2π 2π y i i B − − = − = − 0 [sin(2π / 2) sin( / 2)] 2π i = − − − 0 0 0 2sin 2π 2 2π 2π i i ih R = = ． By的方向沿着 y 方向．By的大小和方向正是无限长直线电流 ih 产生的磁感应强度． 14．6 在半径为 R = 1.0cm 的无限长半圆柱形导体面中均匀地通 有电流 I=5.0A，如图所示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度 B = ？ [解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外． 半圆的周长为 C = πR， 面电流线密度为 i = I/C = IπR． 在半圆上取一线元 dl = Rdφ 代表无限长直导线的截面，电流元为 dI = idl = Idφ/π， 在轴线上产生的磁感应强度为 0 0 2 d d d 2π 2π I I B R R = = ， 方向与径向垂直．dB 的两个分量为 dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ． 积分得 π π 0 0 2 2 0 0 cos d sin 0 2π 2π x I I B R R = = = ， x dBy dBx dB y R O 1 φ x y O R θ ds α dB dBy dBx I R 图 14.6