12.12 体在O`点产生的场强为零,大球在O点产 12.13一半径为R的均匀带电球体内生的场强大小为 的电荷体密度为 p,若在球内挖去 E 块半径为R<R 的小球体,如图所 方向也由O指向O 示,试求两球心O [证明]在小球内任一点P,大球和小球 与O处的电场强 产生的场强大 度,并证明小球空 小分别为 腔内的电场为均 图13.10 强电场 「解答]挖去一块小球体,相当于在该处 填充一块电荷体密度为-p的小球体,因此, 空间任何一点的场强是两个球体产生的场E 强的叠加 对于一个半径为R,电荷体密度为p的方向如图所示 球体来说,当场点P在球内时,过P点作 设两场强之间的夹角为O,合场强的平 半径为r的同心球形高斯面,根据高斯定理方为 可得方程 e=E+E+2EE. cos e eaR r+r+2rrcos P点场强大小为 根据余弦定理得 E 当场点P在球外时,过P点作一半径 为r的同心球形高斯面,根据高斯定理可得所以 方程 可见:空腔内任意点的电场是一个常量.还 E4丌n2= R E03 可以证明:场强的方向沿着O到O的方 向.因此空腔内的电场为匀强电场 P点场强大小为 R 12.14如图所示,在A、B两点处放 E 有电量分别为+q和-q的点电荷,AB间距离 为2R,现将另 O点在大球体中心、小球体之外.大球正试验电荷qo 体在O点产生的场强为零,小球在O点产从O点经过半圆 生的场强大小为 弧路径移到C 点,求移动过程 图1311 中电场力所做的功 [解答]正负电荷在O点的电势的和为 方向由O指向O 零 O点在小球体中心、大球体之内.小球 UO=0
6 12.12 12．13 一半径为 R 的均匀带电球体内 的电荷体密度为 ρ，若在球内挖去 一块半径为 R`<R 的小球体，如图所 示，试求两球心 O 与 O`处的电场强 度，并证明小球空 腔内的电场为均 强电场． [解答]挖去一块小球体，相当于在该处 填充一块电荷体密度为-ρ 的小球体，因此， 空间任何一点的场强是两个球体产生的场 强的叠加． 对于一个半径为 R，电荷体密度为 ρ 的 球体来说，当场点 P 在球内时，过 P 点作一 半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理 可得方程 2 3 0 1 4 4 3 E r r = P 点场强大小为 0 3 E r = ． 当场点 P 在球外时，过 P 点作一半径 为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得 方程 2 3 0 1 4 4 3 E r R = P 点场强大小为 3 2 3 0 R E r = ． O 点在大球体中心、小球体之外．大球 体在 O 点产生的场强为零，小球在 O 点产 生的场强大小为 3 2 0 ` 3 O R E a = ， 方向由 O 指向 O`． O`点在小球体中心、大球体之内．小球 体在 O`点产生的场强为零，大球在 O 点产 生的场强大小为 ` 0 3 E a O = ， 方向也由 O 指向 O`． [证明]在小球内任一点 P，大球和小球 产生的场强大 小分别为 0 3 E r r = ， ` 0 ` 3 E r r = ， 方向如图所示． 设两场强之间的夹角为 θ，合场强的平 方为 2 2 2 ` ` 2 cos E E E E E = + + r r r r 2 2 2 0 ( ) ( ` 2 `cos ) 3 r r rr = + + ， 根据余弦定理得 2 2 2 a r r rr = + − − ` 2 `cos( ) ， 所以 0 3 E a = ， 可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还 可以证明：场强的方向沿着 O 到 O`的方 向．因此空腔内的电场为匀强电场． 12．14 如图所示，在 A、B 两点处放 有电量分别为+q 和-q 的点电荷，AB 间距离 为 2R，现将另一 正试验电荷 q 0 从O点经过半圆 弧路径 移到 C 点，求移动过程 中电场力所做的功． [解答]正负电荷在 O 点的电势的和为 零： UO = 0； O R a R` O` 图 13.10 +q -q O B D C A 图 13.11 O a r` O` r Er Er` θ E P
在C点产生的电势为 12.17电荷Q均匀地分布在半径为R q 47TE03R 4TEoR 6EoR 的球体内,试证明离球心r(r<R)处的电势 为 电场力将正电荷q0从O移到C所做的功为 U=9() 8丌EnR 12.15真空中有两块相互平行的无限 大均匀带电平面A和B.A平面的电荷面密 [证明]球的体积为V=rR, 度为20,B平面的电荷面密度为a,两面间电荷的体密度为P-v-4nR3 的距离为d.当点电荷q从A面移到B面时, 电场力做的功为多少? 利用13.10题的方法可求球内外的电 解答]两平面产生的电场强度大小分别场强度大小为 EA=20/2:0=0/l0,EB=a/20, E= p O r,(r=R); 4re R 两平面在它们之间产生的场强方向相反,因 此,总场强大小为 E= EA- Eg= o/2eo (r≥R) 478 方向由A平面指向B平面 两平面间的电势差为 取无穷远处的电势为零,则r处的电势 为 当点电荷q从A面移到B面时,电场力做的 功为 U=Edl= Edr+ Edr w=qU= god/2eo 12.16一半径为R的均匀带电球面 4TE rs 带电量为Q.若规定该球面上电势值为零 则无限远处的电势为多少 解答]带电球面在外部产生的场强为 8E R E R2-r2)+ Q 8TTEoR 4兀ER 由于 Uk-U=JEd=「Edr Q(3R2-r2) 12.18在y=b和y=b两个“无限大 平面间均匀充满电荷,电荷体密度为p,其 他地方无电荷 4TeR (1)求此带电系统的电场分布,画Ey 图 (2)以y=0作为零电势面,求电势分 当UR=0时,U= 4丌EnR 布,画E-y图
7 在 C 点产生的电势为 4 3 4 6 0 0 0 C q q q U R R R − − = + = ， 电场力将正电荷 q 0 从 O 移到 C 所做的功为 W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/6πε0R． 12．15 真空中有两块相互平行的无限 大均匀带电平面 A 和 B．A 平面的电荷面密 度为 2σ，B 平面的电荷面密度为 σ，两面间 的距离为 d．当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时， 电场力做的功为多少？ [解答]两平面产生的电场强度大小分别 为 EA = 2σ/2ε0 = σ/ε0，EB = σ/2ε0， 两平面在它们之间产生的场强方向相反，因 此，总场强大小为 E = EA - EB = σ/2ε0， 方向由 A 平面指向 B 平面． 两平面间的电势差为 U = Ed = σd/2ε0， 当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时，电场力做的 功为 W = qU = qσd/2ε0． 12．16 一半径为 R 的均匀带电球面， 带电量为 Q．若规定该球面上电势值为零， 则无限远处的电势为多少？ [解答]带电球面在外部产生的场强为 2 0 4 Q E r = ， 由于 R d d R R U U E r − = = E l 2 0 0 d 4 4 R R Q Q r r r − = = 0 4 Q R = ， 当 UR = 0 时， 0 4 Q U R = − ． 12．17 电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内，试证明离球心 r（r<R）处的电势 为 2 2 3 0 (3 ) 8 Q R r U R − = ． [证明]球的体积为 4 3 3 V R = ， 电荷的体密度为 3 3 4 Q Q V R = = ． 利用 13．10 题的方法可求球内外的电 场强度大小为 3 3 4 0 0 Q E r r R = = ，（r≦R）； 2 4 0 Q E r = ，（r≧R）． 取无穷远处的电势为零，则 r 处的电势 为 d d d R r r R U E r E r = = + E l3 2 0 0 d d 4 4 R r R Q Q r r r R r = + 2 3 8 4 0 0 R r R Q Q r R r − = + 2 2 3 0 0 ( ) 8 4 Q Q R r R R = − + 2 2 3 0 (3 ) 8 Q R r R − = ． 12．18 在 y = -b 和 y = b 两个“无限大” 平面间均匀充满电荷，电荷体密度为 ρ，其 他地方无电荷． （1）求此带电系统的电场分布，画 E-y 图； （2）以 y = 0 作为零电势面，求电势分 布，画 E-y 图．
解平极电荷产生的场班的方向与U=-JEdn=-∫mdy=-my+c 板垂直且 在y=b处U=-pb220,所以C=pb2/2o, (1)在 因此电势为 板内取一底面 积为S,高为 b三y) 2y的圆柱面 Sy 作为高斯面, 当y三-b时,电势为 场强与上下两S 表面的法线方 fEdl=]pb dy=pb y+c 向平等而与侧 S 在y=-b处U=-pb2,所以C=pdF2e0, 面垂直,通过 因此电势为 高斯面的电通 量为 两个公式综合得 E·dS+|E·ds+EdS=2ES LyI ,(u|≡O 高斯面内的体积为W=2yS, 包含的电量为q=p=2pSy, 这是两条直线 根据高斯定理 中e=q/eo, U-y图如右图所示,Uy图的斜率就形 可得场强为 E=pyvo,(-byb).成Ey图,在y=±b点,电场强度是连续的, 穿过平板作一底面积为S,高为2y的因此,在U-y图中两条直线与抛物线在y= 圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为地±b点相切 中e=2ES, 高斯面在板内的体积为V=S2b, 包含的电量为q=p=pS2b, 根据高斯定理=q/a 可得场强为 (b三y); E pb/co, b 注意]根据电场求电势时,如果无法确 Ey图如左图所示 定零势点,可不加积分的上下限,但是要在 (2)对于平面之间的点,电势为 积分之后加一个积分常量.根据其他关系确 定常量,就能求出电势,不过,线积分前面 E·dI 要加一个负号,即 这是因为积分的起点位置是积分下限 在y=0处U=0,所以C=0,因此电势为 12.19两块“无限大”平行带电板如 图所示,A板带正电,B板带负电并接地(地 (bays 的电势为零),设A和B两 板相隔50cm,板上各带电 这是一条开口向下的抛物线 荷=3.3×10°C·m2,求: 当yb时,电势为 (1)在两板之间离A
8 [解答]平板电荷产生的场强的方向与平 板垂直且对称于中心面：E = E`，但方向相 反． （1）在 板内取一底面 积为 S，高为 2y 的圆柱面 作为高斯面， 场强与上下两 表面的法线方 向平等而与侧 面垂直，通过 高斯面的电通 量为 d e S = E S 0 d d d 2 S S S = + + = ES E S E S E S 1 2 ． 高斯面内的体积为 V = 2yS， 包含的电量为 q = ρV = 2ρSy， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρy/ε0， (-b≦y≦b)． 穿过平板作一底面积为 S，高为 2y 的 圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地 Φe = 2ES， 高斯面在板内的体积为 V = S2b， 包含的电量为 q = ρV = ρS2b， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρb/ε0， (b≦y)； E = -ρb/ε0， (y≦-b )． E-y 图如左图所示． （2）对于平面之间的点，电势为 0 d d y U y = − = − E l 2 2 0 y C = − + ， 在 y = 0 处 U = 0，所以 C = 0，因此电势为 2 2 0 y U = − ，(-b≦y≦b)． 这是一条开口向下的抛物线． 当 y≧b 时，电势为 0 0 d d nqb nqb U y y C = − = − = − + E l ， 在 y = b 处 U = -ρb 2 /2ε0，所以 C = ρb2 /2ε0， 因此电势为 2 0 0 2 b b U y = − + ，(b≦y)． 当 y≦-b 时，电势为 0 0 d d b b U y y C = − = = + E l ， 在 y = -b 处 U = -ρb 2 /2ε0，所以 C = ρd2 /2ε0， 因此电势为 2 0 0 2 b b U y = + ， 两个公式综合得 2 0 0 | | 2 b b U y = − + ，(|y|≧d)． 这是两条直线． U-y 图如右图所示．U-y 图的斜率就形 成 E-y 图，在 y = ±b 点，电场强度是连续的， 因此，在 U-y 图中两条直线与抛物线在 y = ±b 点相切． [注意]根据电场求电势时，如果无法确 定零势点，可不加积分的上下限，但是要在 积分之后加一个积分常量．根据其他关系确 定常量，就能求出电势，不过，线积分前面 要加一个负号，即 U = − d E l 这是因为积分的起点位置是积分下限． 12．19 两块“无限大”平行带电板如 图所示，A 板带正电，B 板带负电并接地（地 的电势为零），设 A 和 B 两 板相隔 5.0cm，板上各带电 荷 σ=3.3×10-6C·m-2，求： （1）在两板之间离 A o y E -b b o y U -b b -b o E` S2 S2 E` y b E b b E S1 S0 S0 S1 A B P 图 13.16
板10cm处P点的电势 总电势为 (2)A板的电势 「解答]两板之间的电场强度为 4 方向从A指向B. 以B板为原点建立 In(r-DI 4丌En 坐标系,则rB=0,PP= 0.04m,rA=-0.05m r+L (1)P点和B板间的 电势差为 (2)建立 U,-UR=Edl=Edr 坐标系,在细线 上取一线元dl P2 所带的电量为 dg = idl, L 在线的垂直平 d 由于UB=0,所以P点的电势为 分线上的P2点 3.3×10-6 产生的电势为 8.84×102×04=1493×10(V (2)同理可得A板的电势为 积分得 UA=-(rB-r4)=1.866×10(V 4mn(2+P2)2 12.20电量q均匀分布在长为2L的细 直线上,试求 2-1m(+F (1)带电直线延长线上离中点为r处 =-L 的电势 (2)带电直线中垂线上离中点为r处 hY"2+2+L 的电势 8EL"√r2+1-L (3)由电势梯度算出上述两点的场强 m2+p2 解答]电荷的线密度为λ=q2L 立坐标系,在 (3)P1点的场强大小为 细线上取 aU 线元dM,所带L1d/LP Er 的电量为 根据点电荷的电势公式,它在P1点产生的 8ITEoL r-L r+L 电势为 1 2d/ 4T8 r2-L2 4丌Eor-l 方向沿着x轴正向
9 板 1.0cm 处 P 点的电势； （2）A 板的电势． [解答]两板之间的电场强度为 E=σ/ε0， 方向从 A 指向 B． 以 B 板为原点建立 坐标系，则 rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05m． （1）P 点和 B 板间的 电势差为 d d B B P P r r P B r r U U E r − = = E l 0 ( ) B P r r = − ， 由于 UB = 0，所以 P 点的电势为 6 12 3.3 10 0.04 8.84 10 UP − − = =1.493×104 (V)． （2）同理可得 A 板的电势为 0 ( ) U r r A B A = − =1.866×104 (V)． 12．20 电量 q 均匀分布在长为 2L 的细 直线上，试求： （1）带电直线延长线上离中点为 r 处 的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为 r 处 的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强． [解答]电荷的线密度为 λ = q/2L． （1）建 立坐标系，在 细线上取一 线元 dl，所带 的电量为 dq = λdl， 根据点电荷的电势公式，它在 P1 点产生的 电势为 1 0 1 d d 4 l U r l = − 总电势为 1 0 d 4 L L l U r l − = − 0 ln( ) 4 L l L r l =− − = − 0 ln 8 q r L L r L + = − ． （2）建立 坐标系，在细线 上取一线元 dl， 所带的电 量为 dq = λdl， 在线的垂 直平 分线上的 P2 点 产生的电势为 2 2 2 1/ 2 0 d d 4 ( ) l U r l = + ， 积分得 2 2 2 1/ 2 0 1 d 4 ( ) L L U l r l − = + 2 2 0 ln( ) 4 L l L r l l =− = + + 2 2 2 2 0 ln 8 q r L L L r L L + + = + − 2 2 0 ln 4 q r L L L r + + = ． （3）P1 点的场强大小为 1 1 U E r = − 0 1 1 ( ) 8 q L r L r L = − − + 2 2 0 1 4 q r L = − ， ① 方向沿着 x 轴正向． A B P o r o dl x y L r -L l P1 o l x x x dl -L L y r θ P2
P2点的场强为 在球心处产生的电势为 U Ex 4丌EnLr 球心处的总电势为 +L( P了d=P(R2-R) q √r2+ 这就是A点的电势U4 方向沿着y轴正向 过B点作一球 [讨论]习题13.3的解答已经计算了带面,B的点电势是球 电线的延长线上的场强为 面外的电荷和球面 E1=_12L2 内的电荷共同产生 4 的 球面外的电荷 由于2L=q,取x=r,就得公式① 在B点产生的电势就等于这些电荷在球 (2)习题13.3的解答还计算了中处产生的电势,根据上面的推导可得 垂线上的场强为 2L2 U1=(R2-rB) E 4 Eo d2vd2 +L 球面内的电荷在B点产生的电势等于 取d2=r,可得公式② 这些电荷集中在球心处在B点产生的电 由此可见,电场强度可用场强叠加原理势.球壳在球面内的体积为 计算,也可以用电势的关系计算 =(r2-R1), 12.21如图所 包含的电量为 示,一个均匀带电 这些电荷集中在球心时在B点产生的电势 内、外半径分别为 为 R1和R2的均匀带电 球壳,所带电荷体密 R 度为p,试计算: (1)A,B两点 B点的电势为 的电势 UB=U1+U (2)利用电势梯度求A,B两点的场 =P(3R2-n2-2) [解答](1)A点在球壳的空腔内,空腔 内的电势处处相等,因此A点的电势就等于 (2)A点的场强为 球心O点的电势 在半径为r的球 E 壳处取一厚度为dr的 薄壳,其体积为 B点的场强为 包含的电量为 dq=pd
10 P2 点的场强为 2 2 U E r = − 2 2 2 2 0 1 [ ] 4 ( ) q r L r r L r L L = − + + + 2 2 0 1 4 q r r L = + ， ② 方向沿着 y 轴正向． [讨论]习题 13．3 的解答已经计算了带 电线的延长线上的场强为 1 2 2 0 1 2 4 L E x L = − ， 由于 2Lλ = q，取 x = r，就得公式①． （2）习题 13．3 的解答还计算了中 垂线上的场强为 2 2 0 2 2 1 2 4 y L E d d L = + 取 d2 = r，可得公式②． 由此可见，电场强度可用场强叠加原理 计算，也可以用电势的关系计算． 12．21 如图所 示，一个均匀带电， 内、外半径分别为 R1 和 R2 的均匀带电 球壳，所带电荷体密 度为 ρ，试计算： （1）A，B 两点 的电势； （2）利用电势梯度求 A，B 两点的场 强． [解答]（1）A 点在球壳的空腔内，空腔 内的电势处处相等，因此 A 点的电势就等于 球心 O 点的电势． 在半径为 r 的球 壳处取一厚度为 dr 的 薄壳，其体积为 dV = 4πr2dr， 包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr， 在球心处产生的电势为 0 0 d d d 4 O q U r r r = = ， 球心处的总电势为 2 1 2 2 2 1 0 0 d ( ) 2 R O R U r r R R = = − ， 这就是 A 点的电势 UA． 过 B 点作一球 面，B 的点电势是球 面外的电荷和球面 内的电荷共同产生 的． 球面外的电荷 在 B 点产生的电势就等于这些电荷在球心 处产生的电势，根据上面的推导可得 2 2 1 2 0 ( ) 2 U R rB = − ． 球面内的电荷在 B 点产生的电势等于 这些电荷集中在球心处在 B 点产生的电 势．球壳在球面内的体积为 3 3 1 4 ( ) 3 V r R = − B ， 包含的电量为 Q = ρV， 这些电荷集中在球心时在 B 点产生的电势 为 3 3 2 1 0 0 ( ) 4 3 B B B Q U r R r r = = − ． B 点的电势为 UB = U1 + U2 3 2 2 1 2 0 (3 2 ) 6 B B R R r r = − − ． （2）A 点的场强为 0 A A A U E r = − = ． B 点的场强为 3 1 2 0 ( ) 3 B B B B B U R E r r r = − = − ． A O R1 B R2 rA rB 图 13.18 O R1 R2 r dr O R1 R2 rB B