大学物理习题解答 湖南大学物理与微电子科学学院 第一章质点运动学 10s内走过路程s=30m,而其速度增为n=5 倍.试证加速度为a 2(n-1)s (n+1)t 质点沿直线运动,运动方程为并由上述数据求出量值 t(n)=6r2-2r.试求: 证明]依题意得v=mo (1)第2s内的位移和平均速度 根据速度公式 (2)ls末及2s末的瞬时速度,第 内的路程 根据速度与位移的关系式2=12+2as,得 (3)ls末的瞬时加速度和第2s内的平 a=(n2-1)v2/2s,(2) 均加速度 (1)平方之后除以(2)式证得 解答](1)质点在第1s末的位移大小 (n-1) a x(1)=6×12-2×13=4(m) 在第2s末的位移大小为 计算得加速度为 x(2)=6×22-2×23=8(m) 在第2s内的位移大小为 2(5-1) (5+1)102 =0.4(ms2) △x=x1(2)-x(1)=4(m), 经过的时间为△t=ls,所以平均速度大小 3一人乘摩托车跳越一个大矿坑 v=△x/△t=4(ms2) 他以与水平成225°的夹角的初速度65ms1 (2)质点的瞬时速度大小为 从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东 v()=ddr=121-6r, 边比西边低70m,忽略空气阻力,且取g= 因此n(1)=12×1-6×12=6(ms) 1(2)=12×2-6×22=0, (1)矿 质点在第2s内的路程等于其位移的大小,坑有多宽? 即△s=△x=4m. 他飞越的时 70m (3)质点的瞬时加速度大小为 间多长? a()= dudt=12-121, (2)他 图1.3 因此ls末的瞬时加速度为 在东边落地 a(1)=12-12×1=0, 时的速度?速度与水平面的夹角? 第2s内的平均加速度为 解答]方法一:分步法.(1)夹角用0 a=[v(2)-(1)△t=[0-6]/=表示,人和车(他)在竖直方向首先做竖直 6(ms2) 上抛运动,初速度的大小为 [注意]第几秒内的平均速度和平均加 vy0=vosine= 24.87(m-s) 速度的时间间隔都是1秒. 取向上的方向为正,根据匀变速直线运 动的速度公式 1.2一质点作匀加速直线运动,在t Vt-10=at
1 大学物理习题解答 湖南大学物理与微电子科学学院 第一章 质点运动学 P23． 1．1 一质点沿直线运动，运动方程为 x(t) = 6t 2 - 2t 3．试求： （1）第 2s 内的位移和平均速度； （2）1s 末及 2s 末的瞬时速度，第 2s 内的路程； （3）1s 末的瞬时加速度和第 2s 内的平 均加速度． [解答]（1）质点在第 1s 末的位移大小 为 x(1) = 6×1 2 - 2×1 3 = 4(m)． 在第 2s 末的位移大小为 x(2) = 6×2 2 - 2×2 3 = 8(m)． 在第 2s 内的位移大小为 Δx = x(2) – x(1) = 4(m)， 经过的时间为 Δt = 1s，所以平均速度大小 为 v =Δx/Δt = 4(m·s-1 )． （2）质点的瞬时速度大小为 v(t) = dx/dt = 12t - 6t 2， 因此 v(1) = 12×1 - 6×1 2 = 6(m·s-1 )， v(2) = 12×2 - 6×2 2 = 0， 质点在第 2s 内的路程等于其位移的大小， 即 Δs = Δx = 4m． （3）质点的瞬时加速度大小为 a(t) = dv/dt = 12 - 12t， 因此 1s 末的瞬时加速度为 a(1) = 12 - 12×1 = 0， 第 2s 内的平均加速度为 a = [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2 )． [注意]第几秒内的平均速度和平均加 速度的时间间隔都是 1 秒． 1．2 一质点作匀加速直线运动，在 t = 10s 内走过路程 s = 30m，而其速度增为 n = 5 倍．试证加速度为 2 2( 1) ( 1) n s a n t − = + ． 并由上述数据求出量值． [证明]依题意得 vt = nvo， 根据速度公式 vt = vo + at，得 a = (n – 1)vo/t， (1) 根据速度与位移的关系式 vt 2 = vo 2 + 2as，得 a = (n 2 – 1)vo 2 /2s，(2) （1）平方之后除以（2）式证得 2 2( 1) ( 1) n s a n t − = + ． 计算得加速度为 2 2(5 1)30 (5 1)10 a − = + = 0.4(m·s-2 )． 1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑， 他以与水平成 22.5°的夹角的初速度 65m·s-1 从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东 边比西边低 70m，忽略空气阻力，且取 g = 10m·s-2．问： （1）矿 坑有多宽？ 他飞越的时 间多长？ （2）他 在东边落地 时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．（1）夹角用 θ 表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直 上抛运动，初速度的大小为 vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1 )． 取向上的方向为正，根据匀变速直线运 动的速度公式 vt - v0 = at， 70m 22.5º 图 1.3
这里的v就是v0,a=-g:当他达到最高点 4一个正在沿直线行驶的汽船,关 时,v=0,所以上升到最高点的时间为 闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反 t1=vo/g=2.49s) 向、大小与船速平方成正比例的加速度,即 再根据匀变速直线运动的速度和位移dvdr=-k2,k为常数. 的关系式 (1)试证在关闭发动机后,船在t时 可得上升的最大高度为 刻的速度大小为-=-+kt; h=102/2g=3094(m). 他从最高点开始再做自由落体运动,下 (2)试证在时间t内,船行驶的距离 落的高度为 为x=ln(vokt+1) h2=h+h=100.94(m) 根据自由落体运动公式s=g/2,得下落的 证明!(1)分离变量得=-d 时间为 2h2 积分 因此他飞越的时间为 11 12=698(s) 可得 他飞越的水平速度为 cos0=60.05(m:s) 所以矿坑的宽度为 (2)公式可化为v volt (2)根据自由落体速度公式可得他落由于v=d/d,所以 地的竖直速度大小为 dt +Vokt k(1+vok) 落地速度为 )2=92.08(ms) 与水平方向的夹角为 积分「dx= d(l+volt) o=arctan(vvx)=49.30%, +v4) 方向斜向下 方法二:一步法.取向上的方向为正 因此x=ln(vnkt+1).证毕 他在竖直方向的位移为y=101-g/2,移项 [讨论]当力是速度的函数时,即f=f(v), 得时间的一元二次方程 根据牛顿第二定律得∫=ma 由于a=d2x/ ogt -vo sin At+y=0 而 dx/d 解得 所以 dudt I=(vo sina y sin20-2gv)g 分离变量得方程 这里y=-70m,根号项就是他落地时在竖直 d 方向的速度大小,由于时间应该取正值,所 以公式取正根,计算时间为 解方程即可求解 t=6.98(s) 在本题中,k已经包括了质点的质量.如 由此可以求解其他问题 果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成 正比,则 2
2 这里的 v0 就是 vy0，a = -g；当他达到最高点 时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为 t1 = vy0/g = 2.49(s)． 再根据匀变速直线运动的速度和位移 的关系式 vt 2 - v0 2 = 2as， 可得上升的最大高度为 h1 = vy0 2 /2g = 30.94(m)． 他从最高点开始再做自由落体运动，下 落的高度为 h2 = h1 + h = 100.94(m)． 根据自由落体运动公式 s = gt2 /2，得下落的 时间为 2 2 2h t g = = 4.49(s)． 因此他飞越的时间为 t = t1 + t2 = 6.98(s)． 他飞越的水平速度为 vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1 )， 所以矿坑的宽度为 x = vx0t = 419.19(m)． （2）根据自由落体速度公式可得他落 地的竖直速度大小为 vy = gt = 69.8(m·s-1 )， 落地速度为 v = (vx 2 + vy 2 ) 1/2 = 92.08(m·s-1 )， 与水平方向的夹角为 φ = arctan(vy/vx) = 49.30º， 方向斜向下． 方法二：一步法．取向上的方向为正， 他在竖直方向的位移为 y = vy0t - gt2 /2，移项 得时间的一元二次方程 2 0 1 sin 0 2 gt v t y − + = ， 解得 0 2 2 0 t v v gy g = − ( sin sin 2 ) ． 这里 y = -70m，根号项就是他落地时在竖直 方向的速度大小，由于时间应该取正值，所 以公式取正根，计算时间为 t = 6.98(s)． 由此可以求解其他问题． 1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关 闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反 向、大小与船速平方成正比例的加速度，即 dv/dt = -kv2，k 为常数． （1）试证在关闭发动机后，船在 t 时 刻的速度大小为 0 1 1 kt v v = + ； （2）试证在时间 t 内，船行驶的距离 为 0 1 x v kt ln( 1) k = + ． [证明]（1）分离变量得 2 d d v k t v = − ， 积分 0 2 0 d d v t v v k t v = − ， 可得 0 1 1 kt v v = + ． （2）公式可化为 0 0 1 v v v kt = + ， 由于 v = dx/dt，所以 0 0 0 0 1 d d d(1 ) 1 (1 ) v x t v kt v kt k v kt = = + + + 积分 0 0 0 0 1 d d(1 ) (1 ) x t x v kt k v kt = + + ． 因此 0 1 x v kt ln( 1) k = + ． 证毕． [讨论]当力是速度的函数时，即 f = f(v)， 根据牛顿第二定律得 f = ma． 由于 a = d2 x/dt 2， 而 dx/dt = v， 所以 a = dv/dt， 分离变量得方程 d d ( ) m v t f v = ， 解方程即可求解． 在本题中，k 已经包括了质点的质量．如 果阻力与速度反向、大小与船速的 n 次方成 正比，则
dv/dt=-ky/ [解答](1)角速度为 (1)如果n=1,则得 @=de/dt=12/=48(rads), 法向加速度为 an=r2=230.4(ms2) 积分得 角加速度为 Iny =-kt+C B=do/dr=24/=48(rad-s-) 当t=0时,v=1,所以C=Inw,因此 切向加速度为 Inv/o=-kt ar=rB=4.8(m s-2) 得速度为 (2)总加速度为a=(a2+an2)12 当a1=a/2时,有4a2 而dv=ved,积分得 √3 e +O 当t=0时,x=0,所以C=1/k,因此 由此得ro2=rB√3, (1-e) 即(1212)2=24/√3, (2)如果n≠1,则得=-kdt,积解得t=√3 分得 所以 0=2+42=2(1+√3/3)=3154rad 3)当 时,可得 即 122)2, 当t=0时,y=,所以=C,因此解得t=(16)1/=0.(s) n 6一飞机在铅直面内飞行,某时刻 分+(n-1)k 飞机的速度为y=300ms1,方向与水平线 夹角为30°而斜向下,此后飞机的加速度为 如果n=2,就是本题的结果 如果n≠2,可得 a=20√3ms2,方向与水平前进方向夹角 {[+(n-1)0-k]n-1} 为30°而斜向上,问多长时间后,飞机又回 )vo- k 到原来的 高度?在 读者不妨自证 此期间飞 机在水平 1.5一质点沿半径为010m的圆周运方向飞行v 动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:的距离为 多少? (1)t=2s时,它的法向加速度和切向 解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的 加速度 初速度的大小为 (2)当切向加速度恰为总加速度大小 的一半时,O为何值? (3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度的大小为 加速度恰有相等的值? dx -acoso
3 dv/dt = -kvn． （1）如果 n = 1，则得 d d v k t v = − ， 积分得 lnv = -kt + C． 当 t = 0 时，v = v0，所以 C = lnv0，因此 lnv/v0 = -kt， 得速度为 v = v0e -kt． 而 dv = v0e -ktdt，积分得 0 e ` v kt x C k − = + − ． 当 t = 0 时，x = 0，所以 C` = v0/k，因此 0 (1-e ) v kt x k − = ． （2）如果 n≠1，则得 d d n v k t v = − ，积 分得 1 1 n v kt C n − = − + − ． 当 t = 0 时，v = v0，所以 1 0 1 n v C n − = − ，因此 1 1 0 1 1 ( 1) n n n kt v v − − = + − ． 如果 n = 2，就是本题的结果． 如果 n≠2，可得 1 ( 2)/( 1) 0 2 0 {[1 ( 1) ] 1} ( 2) n n n n n v kt x n v k − − − − + − − = − ， 读者不妨自证． 1．5 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运 动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： θ = 2 + 4t 3．求： （1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向 加速度； （2）当切向加速度恰为总加速度大小 的一半时，θ 为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向 加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度为 ω = dθ/dt = 12t 2 = 48(rad·s-1 )， 法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2 )； 角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2 )， 切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2 )． （2）总加速度为 a = (at 2 + an 2 ) 1/2， 当 at = a/2 时，有 4at 2 = at 2 + an 2，即 3 n t a a = ． 由此得 2 r r = 3 ， 即 2 2 (12 ) 24 3 t t = ， 解得 3 t = 3 / 6． 所以 3 = + = + 2 4 2(1 3 / 3) t =3.154(rad)． （3）当 at = an 时，可得 rβ = rω2， 即 24t = (12t 2 ) 2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)． 1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻 飞机的速度为 v = 300m·s-1，方向与水平线 夹角为 30°而斜向下，此后飞机的加速度为 a = 20 3 m·s-2，方向与水平前进方向夹角 为 30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回 到原来的 高度？在 此期间飞 机在水平 方向飞行 的距离为 多少？ [解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的 初速度的大小为 v0x = v0cosθ， v0y = v0sinθ． 加速度的大小为 ax = acosα， y x O α v0 θ a ax ay v0x v0y
asina 机的天花板上松落,天花板与升降机的底面 运动方程为 相距2.74m.计算 (1)螺帽从天花板落到底面所需的时 x=vorl+=, 间 (2)螺帽相对于升降机外固定柱子的 vo lt-a 下降距离 即x=0cos6·t+ a cos a.t2, [解答]在螺帽从天花板落到底面时,升 降机上升的高度为 y=- , sine1+ a sina·t2 h1=v2+an2; 令y=0,解得飞机回到原来高度时的时间为螺帽做竖直上抛运动,位移为 =0(舍去):t=2sin 10√3(s h2=V21-=gt a sina 将t代入x的方程求得x=9000m 由题意得h=h1-h,所以 注意选择不同的坐标系,例如x方向 沿着a的方向或者沿着1的方向,也能求出 h=-(a+g)t 相同的结果 解得时间为 1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘, √2h(a+g)=0705 可以绕一水平轴自由转 算得h=-0.716m,即螺帽相对于升降机外 动.一根轻绳绕在盘子 固定柱子的下降距离为0716m 的边缘,其自由端拴一 注意]以升降机为参考系,钉子下落时 物体A.在重力作用下, 相对加速度为a+g,而初速度为零,可列 物体A从静止开始匀加 方程 速地下降,在△t=20s h=(a+g)2, 内下降的距离h 由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降 0.4m.求物体开始下降 距离 后3末,圆盘边缘上任图1.7 点的切向加速度与法 9有一架飞机从A处向东飞到B处, 向加速度 然后又向西飞回到A处.已知气流相对于地 「解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于面的速度为,AB之间的距离为l,飞机相 物体A下落加速度 对于空气的速率ν保持不变 由于h1 2a△r,所以 (1)如果=0(空气静止),试证来 an=2h△2=0.2(m-s2) 回飞行的时间为 物体下降3s末的速度为 (2)如果气流的速度向东,证明来回 v=at=06(ms1), 这也是边缘的线速度,因此法向加速度为 飞行的总时间为=1p2 (3)如果气流的速度向北,证明来回 an=÷=0.36(ms2) R 飞行的总时间为2 1.8一升降机以加速度1.22ms2上升, [证明](1)飞机飞行来回的速率为v, 当上升速度为244ms1时,有一螺帽自升降路程为2l,所以飞行时间为t=2l/v
4 ay = asinα． 运动方程为 2 0 1 2 x x x v t a t = + ， 2 0 1 2 y y y v t a t = − + ． 即 2 0 1 cos cos 2 x v t a t = + ， 2 0 1 sin sin 2 y v t a t = − + ． 令 y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为 t = 0（舍去）； 0 2 sin 10 3 sin v t a = = (s)． 将 t 代入 x 的方程求得 x = 9000m． [注意]选择不同的坐标系，例如 x 方向 沿着 a 的方向或者沿着 v0 的方向，也能求出 相同的结果． 1．7 一个半径为 R = 1.0m 的轻圆盘， 可以绕一水平轴自由转 动．一根轻绳绕在盘子 的边缘，其自由端拴一 物体 A．在重力作用下， 物体 A 从静止开始匀加 速地下降，在 Δt = 2.0s 内 下 降 的 距 离 h = 0.4m．求物体开始下降 后 3s 末，圆盘边缘上任 一点的切向加速度与法 向加速度． [解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于 物体 A 下落加速度． 由于 1 2 2 t h a t = ，所以 at = 2h/Δt 2 = 0.2(m·s-2 )． 物体下降 3s 末的速度为 v = att = 0.6(m·s-1 )， 这也是边缘的线速度，因此法向加速度为 2 n v a R = = 0.36(m·s-2 )． 1．8 一升降机以加速度 1.22m·s-2 上升， 当上升速度为 2.44m·s-1 时，有一螺帽自升降 机的天花板上松落，天花板与升降机的底面 相距 2.74m．计算： （1）螺帽从天花板落到底面所需的时 间； （2）螺帽相对于升降机外固定柱子的 下降距离． [解答]在螺帽从天花板落到底面时，升 降机上升的高度为 2 1 0 1 2 h v t at = + ； 螺帽做竖直上抛运动，位移为 2 2 0 1 2 h v t gt = − ． 由题意得 h = h1 - h2，所以 1 2 ( ) 2 h a g t = + ， 解得时间为 t h a g = + 2 /( ) = 0.705(s)． 算得 h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外 固定柱子的下降距离为 0.716m． [注意]以升降机为参考系，钉子下落时 相对加速度为 a + g，而初速度为零，可列 方程 h = (a + g)t 2 /2， 由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降 距离． 1．9 有一架飞机从 A 处向东飞到 B 处， 然后又向西飞回到 A 处．已知气流相对于地 面的速度为 u，AB 之间的距离为 l，飞机相 对于空气的速率 v 保持不变． （1）如果 u = 0（空气静止），试证来 回飞行的时间为 0 2l t v = ； （2）如果气流的速度向东，证明来回 飞行的总时间为 0 1 2 2 1 / t t u v = − ； （3）如果气流的速度向北，证明来回 飞行的总时间为 0 2 2 2 1 / t t u v = − ． [证明]（1）飞机飞行来回的速率为 v， 路程为 2l，所以飞行时间为 t0 = 2l/v． R A 图 1.7
(2)飞机向东飞行顺风的速率为v+ vI=Visine+ v3sina u,向西飞行逆风的速率为v-l,所以飞行其中v3=v/cosa,而v1=p2cosO, 时间为 因此v=sin0+ vcosesina/cosa, V1=v2(sin+;cosO).证毕 v+u v-u v-ul 2l/ 方法二:利用正弦定理.根据正弦定理 1-u2/y21-2/v 可得 (3)飞机相对地 的速度等于相对风的 速度加风相对地的速 sin(+a)sin(90°-a) 度.为了使飞机沿着 所以 AB之间的直线飞行, sin(6+ 就要使其相对地的速 VI cosa 度偏向北方,可作矢 sin e cos a+cos esin a 量三角形,其中沿AB B cos a 方向的速度大小为 v, (sin+cos0 tana) y=2-n2,所以飞行时间为 即v1=n2(sinb+;cosb) 2l/ 2 V 22-u2V1-u/v2 方法三:利用位移关系.将雨滴的速度 分解为竖直和水平两个分量,在t时间内, 4/p2近毕 雨滴的位移为 1.10如图所示,一汽车在雨中沿直线两式消去时间t即得所求 证毕 行驶,其速度为v,下落雨的速度方向与铅 直方向的夹角 为θ,偏向于汽 第二章质点力学的运动定律 车前进方向,速 度为12.今在车 守恒定律 后放一长方形 物体,问车速 2.1一个重量为P的质点,在光滑的固 v为多大时此 图 物体刚好不会被雨水淋湿? 定斜面(倾角为a)上以初速度v运动,v 解答]雨对地的速度n2等于雨对车的的方向与斜面底 边的水平约AB平 速度加车对地的 行,如图所示,求 这质点的运动轨 速度诉,由此可作矢 12 道 图21 [解答]质点在 量三角形.根据题意 斜上运动的加速度为a= gina,方向与初速 得tana=h 度方向垂直.其运动方程为 方法一:利用直角三角形.根据直角三 x=lot, y==ar =g sin a 角形得
5 （2）飞机向东飞行顺风的速率为 v + u，向西飞行逆风的速率为 v - u，所以飞行 时间为 1 2 2 l l vl 2 t v u v u v u =+= + − − 0 2 2 2 2 2 / 1 / 1 / l v t u v u v = = − − ． （3）飞机相对地 的速度等于相对风的 速度加风相对地的速 度．为了使飞机沿着 AB 之间的直线飞行， 就要使其相对地的速 度偏向北方，可作矢 量三角形，其中沿 AB 方向的速度大小为 2 2 V v u = − ，所以飞行时间为 2 2 2 2 2 2 2 2 / 1 / l l l v t V v u u v = = = − − 0 2 2 1 / t u v = − ． 证毕． 1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线 行驶，其速度为 v1，下落雨的速度方向与铅 直方向的夹角 为 θ，偏向于汽 车前进方向，速 度为 v2．今在车 后放一长方形 物体，问车速 v1 为多大时此 物体刚好不会被雨水淋湿？ [解答]雨对地的速度 2 v 等于雨对车的 速度 3 v 加车对地的 速度 1 v ，由此可作矢 量三角形．根据题意 得 tanα = l/h． 方法一：利用直角三角形．根据直角三 角形得 v1 = v2sinθ + v3sinα， 其中 v3 = v⊥/cosα，而 v⊥ = v2cosθ， 因此 v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα， 即 1 2 (sin cos ) l v v h = + ． 证毕． 方法二：利用正弦定理．根据正弦定理 可得 1 2 sin( ) sin(90 ) v v = + − ， 所以 1 2 sin( ) cos v v + = 2 sin cos cos sin cos v + = 2 = + v (sin cos tan ) ， 即 1 2 (sin cos ) l v v h = + ． 方法三：利用位移关系．将雨滴的速度 分解为竖直和水平两个分量，在 t 时间内， 雨滴的位移为 l = (v1 – v2sinθ)t， h = v2cosθ∙t． 两式消去时间 t 即得所求． 证毕． 第二章 质点力学的运动定律 守恒定律 P91． 2.1 一个重量为 P 的质点，在光滑的固 定斜面（倾角为 α）上以初速度 0 v 运动， 0 v 的方向与斜 面底 边的水平约 AB 平 行，如图所示，求 这质点的运 动轨 道． [解答]质点在 斜上运动的加速度为 a = gsinα，方向与初速 度方向垂直．其运动方程为 x = v0t， 1 1 2 2 sin 2 2 y at g t = = ． α A B v0 P 图 2.1 A B A B v v + u v - u A B v u u v v v1 h l v2 θ 图 1.10 v1 h l θ v2 v3 α α v⊥