4-8章习题解答 第4章振动 P174 π1-n/3=±2/3 4.1一物体沿x轴做简谐振动,振幅由于物体向x轴负方向运动,即v<0,所以 A=012m,周期T=2s.当t=0时,物体sin(x-m/3)>0,因此 的位移x=0.06m,且向x轴正向运动.求: π1-/3=2/3 (1)此简谐振动的表达式; 得n (2)t=m14时物体的位置、速度和加 当物体从x=-0.06m处第一次回到平衡 速度 位置时,x=0,v>0,因此 (3)物体从x=-006m,向x轴负方向 cos(π2-x/3)=0, 运动第一次回到平衡位置所需的时间 可得x12-x/3=-x2或3m/2等 [解答](1)设物体的简谐振动方程为由于>0,所以 x= Acos(ot +o), 12-/3=3/2, 其中A=0.12m,角频率=2π/T=π 可得2=116=1.83(s) 当t=0时,x=0.06m,所以 所需要的时间为 COSp=0.5 △t=12-1=0.83(s) 因此 方法二:反向运动.物体从x=-0.06m, 向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所 物体的速度为 的时间就是它从x=006m,即从起点向x v=dx/dt=-0Asin(ot +o) 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的 当t=0时, 时间.在平衡位置时,x=0,<0,因此 v=-@.Asin, cos(t-/3)=0 由于v>0,所以sing<0,因此 可得xt-x/3=/2, 9=-/3 解得t=5/6=0.83(s) 简谐振动的表达式为 注意根据振动方程 x=0.12cos(πt-兀/3) x= Acos(@t +o). (2)当t=T4时物体的位置为 当t=0时,可得 x=0.12cos(x2-π/3) g=± arccos(xo/4),(-兀<吾π) =0.12cos/6=0.104(m) 初位相的取值由速度决定 速度为 由于 v=dx/dt=-@Asin(ot+o) -0.12rsin/6=0.l88(ms4) 当t=0时, 加速度为 V=-oAsino a=dv/dr=-@aCos(@t +o) 当v>0时,sing<0,因此 元2Acos(-/3) os(xo/A): 0,因此 (3)方法一:求时间差 o= arccos(xo/A) 时,可得 可见:当速度大于零时,初位相取负值 cos(πt-n/3)=-0.5, 当速度小于零时,初位相取正值.如果速度 因此 等于零,当初位置x0=A时,p=0;当初位
4-8 章习题解答 第 4 章 振动 P174． 4．1 一物体沿 x 轴做简谐振动，振幅 A = 0.12m，周期 T = 2s．当 t = 0 时，物体 的位移 x = 0.06m，且向 x 轴正向运动．求： （1）此简谐振动的表达式； （2）t = T/4 时物体的位置、速度和加 速度； （3）物体从 x = -0.06m，向 x 轴负方向 运动第一次回到平衡位置所需的时间． [解答]（1）设物体的简谐振动方程为 x = Acos(ωt + φ)， 其中 A = 0.12m，角频率 ω = 2π/T = π． 当 t = 0 时，x = 0.06m，所以 cosφ = 0.5， 因此 φ = ±π/3． 物体的速度为 v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)． 当 t = 0 时， v = -ωAsinφ， 由于 v > 0，所以 sinφ < 0，因此 φ = -π/3． 简谐振动的表达式为 x = 0.12cos(πt – π/3)． （2）当 t = T/4 时物体的位置为 x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为 v = -πAsin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1 )． 加速度为 a = dv/dt = -ω 2Acos(ωt + φ) = -π 2Acos(πt - π/3) = -0.12π2 cosπ/6 = -1.03(m·s-2 )． （3）方法一：求时间差．当 x = -0.06m 时，可得 cos(πt1 - π/3) = -0.5， 因此 πt1 - π/3 = ±2π/3． 由于物体向 x 轴负方向运动，即 v < 0，所以 sin(πt1 - π/3) > 0，因此 πt1 - π/3 = 2π/3， 得 t1 = 1s． 当物体从 x = -0.06m 处第一次回到平衡 位置时，x = 0，v > 0，因此 cos(πt2 - π/3) = 0， 可得 πt2 - π/3 = -π/2 或 3π/2 等． 由于 t2 > 0，所以 πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)． 所需要的时间为 Δt = t2 - t1 = 0.83(s)． 方法二：反向运动．物体从 x = -0.06m， 向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需 的时间就是它从 x = 0.06m，即从起点向 x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的 时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此 cos(πt - π/3) = 0， 可得 πt - π/3 = π/2， 解得 t = 5/6 = 0.83(s)． [注意]根据振动方程 x = Acos(ωt + φ)， 当 t = 0 时，可得 φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π）， 初位相的取值由速度决定． 由于 v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)， 当 t = 0 时， v = -ωAsinφ， 当 v > 0 时，sinφ < 0，因此 φ = -arccos(x0/A)； 当 v < 0 时，sinφ > 0，因此 φ = arccos(x0/A)． 可见：当速度大于零时，初位相取负值； 当速度小于零时，初位相取正值．如果速度 等于零，当初位置 x0 = A 时，φ = 0；当初位
置x0=-A时,g=兀 td=t+T/12=Th2 到达e点的时刻为 4.2已知一简谐振子的振动曲线如图 e=t+T/2=2T/3 所示,试由图求 (2)设振动表达式为 (1)a,b,c,d,e各点的位相,及到 达这些状态的时刻t各是多少?已知周期为当t=0时,x=A/2时,所以 (2)振 因此 动表达式 =±/3 (3)画 由于零时刻的位相小于a点的位相,所以 出旋转矢量 p=-U/3, 图 因此振动表达式为 [解答] 方法一:由 x=Acos(2π 图6.2 位相求时 另外,在O时刻的曲线上作一切线,由 于速度是位置对时间的变化率,所以切线代 (1)设曲线方程为 表速度的方向 x= acos 由于其斜率大于 其中A表示振幅,φ=ot+ρ表示相位 零,所以速度大 由于x=A,所以 于零,因此初位 相取负值,从而 O 因此 可得运动方程 由于xb=A/2,所以 (3)如图旋 转矢量图所示 因此b=±兀/3 由于位相φ随时间t增加,b点位相就应该二:由时间 大于a点的位相,因此 求位相.将 b=元/3. 曲线反方 由于x=0,所以 向延长与 轴相交于∫ 又由于c点位相大于b位相,因此 点,由于x 0,根据 同理可得其他两点位相为 运动方程,可得 中d=2/3,Φ cos(2T=-I)=0 c点和a点的相位之差为/2,时间之差 为T4,而b点和a点的相位之差为/3,时所以 间之差应该为76.因为b点的位移值与O 时刻的位移值相同,所以到达a点的时刻为 2: 到达b点的时刻为 显然∫点的速度大于零,所以取负值,解得 tb=2la=7/3 到达c点的时刻为 从∫点到达a点经过的时间为74,所 te=la+T/4=5m/12 以到达a点的时刻为 到达d点的时刻为 a=74+4=716
置 x0 = -A 时，φ = π． 4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图 所示，试由图求： （1）a，b，c，d，e 各点的位相，及到 达这些状态的时刻 t 各是多少？已知周期为 T； （2）振 动表达式； （3）画 出旋转矢量 图． [ 解答] 方法一：由 位相求时 间． （1）设曲线方程为 x = AcosΦ， 其中 A 表示振幅，Φ = ωt + φ 表示相位． 由于 xa = A，所以 cosΦa = 1， 因此 Φa = 0． 由于 xb = A/2，所以 cosΦb = 0.5， 因此 Φb = ±π/3； 由于位相 Φ 随时间 t 增加，b 点位相就应该 大于 a 点的位相，因此 Φb = π/3． 由于 xc = 0，所以 cosΦc = 0， 又由于 c 点位相大于 b 位相，因此 Φc = π/2． 同理可得其他两点位相为 Φd = 2π/3，Φe = π． c 点和 a 点的相位之差为 π/2，时间之差 为 T/4，而 b 点和 a 点的相位之差为 π/3，时 间之差应该为 T/6．因为 b 点的位移值与 O 时刻的位移值相同，所以到达 a 点的时刻为 ta = T/6． 到达 b 点的时刻为 tb = 2ta = T/3． 到达 c 点的时刻为 tc = ta + T/4 = 5T/12． 到达 d 点的时刻为 td = tc + T/12 = T/2． 到达 e 点的时刻为 te = ta + T/2 = 2T/3． （2）设振动表达式为 x = Acos(ωt + φ)， 当 t = 0 时，x = A/2 时，所以 cosφ = 0.5， 因此 φ = ±π/3； 由于零时刻的位相小于 a 点的位相，所以 φ = -π/3， 因此振动表达式为 cos(2 ) 3 t x A T = − ． 另外，在 O 时刻的曲线上作一切线，由 于速度是位置对时间的变化率，所以切线代 表速度的方向； 由于其斜率大于 零，所以速度大 于零，因此初位 相取负值，从而 可得运动方程． （3）如图旋 转矢量图所示． 方 法 二：由时间 求位相．将 曲线反方 向延长与 t 轴相交于 f 点，由于 xf = 0，根据 运动方程，可得 cos(2 ) 0 3 t T − = 所以 2 3 2 f t T − = ． 显然 f 点的速度大于零，所以取负值，解得 tf = -T/12． 从 f 点到达 a 点经过的时间为 T/4，所 以到达 a 点的时刻为 ta = T/4 + tf = T/6， O t x a b c d e A/2 A 图 6.2 O x a A b c d e φ O t x a b c d e A/2 A f
其位相为 4.4如图所示,www 在倔强系数为k的 弹簧下,挂一质量为 由图可以确定其他点的时刻,同理可得各点M的托盘.质量为m 的位相 的物体由距盘底高 h处自由下落与盘 发生完全非弹性碰 4.3如图所示,质量为l0g的子弹以撞,而使其作简谐振 速度ν=10msl水平射入木块,并陷入木动,设两物体碰后瞬 块中,使弹簧 时为t=0时刻,求 图4.4 压缩而作简谐一W 振动方程 振动.设弹簧 [解答]物体落下后、碰撞前的速度为 的倔强系数k =8×103Nm1,木块的质量为499kg,不计 桌面摩擦,试求: 物体与托盘做完全非弹簧碰撞后,根据动量 (1)振动的振幅 守恒定律可得它们的共同速度为 (2)振动方程 解答](1)子弹射入木块时,由于时间 Mm+M √2gh, 很短,木块还来不及运动,弹簧没有被压缩,这也是它们振动的初速度 它们的动量守恒,即 设振动方程为 mv=(m + Mvo x=Acos(or+o) 解得子弹射入后的速度为 其中圆频率为 10=mv/m+M=2(ms2) 这也是它们振动的初速度 子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守 恒,可得 物体没有落下之前,托盘平衡时弹簧伸 (m+M)102/2=k42/2 长为x1,则 所以振幅为 物体与托盘碰撞之后,在新的平衡位置,弹 5×102(m) 簧伸长为x2,则 k (2)振动的圆频率为 取新的平衡位置为原点,取向下的方向为 正,则它们振动的初位移为 =40(rad s") m+M 因此振幅为 取木块静止的位置为原点、向右的方向为位 移x的正方向,振动方程可设为 A +o=/mg 21 2ghm kk(m+M) x= Acos(at +o) 当t=0时,x=0,可得 由于速度为正,所以取负的初位相,因此振 kv (m+M)g 动方程为 初位相为 x=5×102cos(401-m/2)(m) p=arctan --o xo v(m+M)g
其位相为 2 0 3 a a t T = − = ． 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点 的位相． 4．3 如图所示，质量为 10g 的子弹以 速度 v = 103m·s-1 水平射入木块，并陷入木 块中，使弹簧 压缩而作简谐 振动．设弹簧 的倔强系数 k = 8×103N·m-1，木块的质量为 4.99kg，不计 桌面摩擦，试求： （1）振动的振幅； （2）振动方程． [解答]（1）子弹射入木块时，由于时间 很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩， 它们的动量守恒，即 mv = (m + M)v0． 解得子弹射入后的速度为 v0 = mv/(m + M) = 2(m·s-1 )， 这也是它们振动的初速度． 子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守 恒，可得 (m + M) v0 2 /2 = kA2 /2， 所以振幅为 0 m M A v k + = = 5×10-2 (m)． （2）振动的圆频率为 k m M = + = 40(rad·s-1 )． 取木块静止的位置为原点、向右的方向为位 移 x 的正方向，振动方程可设为 x = Acos(ωt + φ)． 当 t = 0 时，x = 0，可得 φ = ±π/2； 由于速度为正，所以取负的初位相，因此振 动方程为 x = 5×10-2 cos(40t - π/2)(m)． 4．4 如图所示， 在倔强系数为 k 的 弹簧下，挂一质量为 M 的托盘．质量为 m 的物体由距盘底高 h 处自由下落与盘 发生完全非弹性碰 撞，而使其作简谐振 动，设两物体碰后瞬 时为 t = 0 时刻，求 振动方程． [解答]物体落下后、碰撞前的速度为 v gh = 2 ， 物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量 守恒定律可得它们的共同速度为 0 2 m m v v gh m M m M = = + + ， 这也是它们振动的初速度． 设振动方程为 x = Acos(ωt + φ)， 其中圆频率为 k m M = + ． 物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸 长为 x1，则 x1 = Mg/k． 物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹 簧伸长为 x2，则 x2 = (M + m)g/k． 取新的平衡位置为原点，取向下的方向为 正，则它们振动的初位移为 x0 = x1 - x2 = -mg/k． 因此振幅为 2 2 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) v mg ghm A x k k m M = + = + + 2 1 ( ) mg kh k m M g = + + ； 初位相为 0 0 2 arctan ( ) v kh x m M g − = = + ． m v M k 图 4.3 k M m h x x1 x2 O 图 4.4
de 即192+ meRsin e=0, 4.5重量为P的物体用两根弹簧竖直由于环做小幅度摆动,所以sin0≈θ,可得 悬挂,如图所示,各弹簧的倔强系数标明在微分方程 图上.试求在图示两种情况下,系统沿竖直 d-6 mgR 方向振动的固有频率 6=0 dt 解答](1)可以证 摆动的圆频率为 明:当两根弹簧串联时, 总倔强系数为k= k1k/(k+k2),因此固有 频率为 周期为 2τ T 方法二:用机械能守恒定律.取环的质 心在最底点为重力势能零点,当环心转过角 度θ时,重力势能为 kk,g 一图4.5 Ep=mg(R-Rcose 2T V(K,+k)P 绕O点的转动动能为 E (2)因为当两根弹簧并联时,总倔强 系数等于两个弹簧的倔强系数之和,因此固总机械能为 有频率为 E=:lo+mg(R-Rcoso) g 环在转动时机械能守恒,即E为常量 将上式对时间求导,利用O=dOd,B do/dt,得 0=loB+ mgR(sine)a 4.6一匀质细圆环质量为m,半径为由于≠0,当θ很小有sin0≈,可得振动 R,绕通过环上一点而与环平面垂直的水平的微分方程 光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动,求摆动的 d-6 mgR 6=0 周期 解答]方法一:用转动定理.通过质心从而可求角频率和周期 垂直环面有一个轴,环绕此 [注意]角速度和圆频率使用同一字母 轴的转动惯量为 不要将两者混淆 I= mR. 根据平行轴定理,环绕过O 点的平行轴的转动惯量为 47横截面均匀的光y I=Ic mR=2mR 滑的U型管中有适量液 当环偏离平衡位置时,重力的力矩为体如图所示,液体的总0y M=-mgRsine 长度为L,求液面上下 方向与角度θ增加的方向相反 微小起伏的自由振动的 根据转动定理得 频率 1B=M
4．5 重量为 P 的物体用两根弹簧竖直 悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在 图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直 方向振动的固有频率． [解答]（1）可以证 明：当两根弹簧串联时， 总 倔 强 系 数 为 k = k1k2/(k1 + k2)，因此固有 频率为 2π = 1 2π k m = 1 2 1 2 1 2 ( ) k k g k k P = + ． （2）因为当两根弹簧并联时，总倔强 系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固 有频率为 2π = 1 2 1 2 2 2 k kg m P = = ． 4．6 一匀质细圆环质量为 m，半径为 R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平 光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的 周期． [解答]方法一：用转动定理．通过质心 垂直环面有一个轴，环绕此 轴的转动惯量为 Ic = mR2． 根据平行轴定理，环绕过 O 点的平行轴的转动惯量为 I = Ic + mR2 = 2mR2． 当环偏离平衡位置时，重力的力矩为 M = -mgRsinθ， 方向与角度 θ 增加的方向相反． 根据转动定理得 Iβ = M， 即 2 2 d sin 0 d I mgR t + = ， 由于环做小幅度摆动，所以 sinθ≈θ，可得 微分方程 2 2 d 0 d mgR t I + = ． 摆动的圆频率为 mgR I = ， 周期为 2π T = 2 2 2 I R mgR g = = ． 方法二：用机械能守恒定律．取环的质 心在最底点为重力势能零点，当环心转过角 度 θ 时，重力势能为 Ep = mg(R - Rcosθ)， 绕 O 点的转动动能为 1 2 2 E I k = ， 总机械能为 1 2 ( cos ) 2 E I mg R R = + − ． 环在转动时机械能守恒，即 E 为常量， 将上式对时间求导，利用 ω = dθ/dt，β = dω/dt，得 0 = Iωβ + mgR(sinθ) ω， 由于 ω ≠ 0，当 θ 很小有 sinθ≈θ，可得振动 的微分方程 2 2 d 0 d mgR t I + = ， 从而可求角频率和周期． [注意]角速度和圆频率使用同一字母 ω，不要将两者混淆． 4.7 横截面均匀的光 滑的U型管中有适量液 体如图所示，液体的总 长度为 L，求液面上下 微小起伏的自由振动的 频率。 C R mg θ O k1 k2 k k (a) (b) 图 4.5 0 y y y y 图 4.7
0.1(m) 解:建立竖直坐标如图,令微小振动中,两位相为 臂水银面相平时,水银面坐标为0,水银的 重力势能为0,则以右臂水银面的坐标为准, 在振动中任一时刻,水银的运动速度 (2)速度的最大值为 bdy.这时振动中水银的动能为加速度的最大值为 8π=2.5l(ms2) am=2A=642=632(ms2) mU2,水银的势能(看作两水银面相平的 (3)弹簧的倔强系数为 状态下,从右臂移高度为y的一段水银柱到 左臂,则有质量为Sp的水银升高了高度y)最大回复力为 为Spgy2.因振动中机械能守恒 f∫=kA=mo2A=0.632(N); mU2+Sgy2=常量 振动能量为 E=k42/2=mo22/2=3.16×102(J) 对求导数可得平均动能和平均势能为 D 2Spgyu=0 EA=En=k214=mo242/4=158×102(J 化 3y+2Sy=0 (4)如图=1,2,10s 所示,当t为1 2,10s等时刻 这就是简谐振动的微分方程 时,旋转矢量的 由此可得振动角频率 位置是相同的 sPg SpL VL 4.9一氢原子在分子中的振动可视为 简谐振动.已知氢原子质量m= 4.8质量为10×10kg的小球与轻弹簧1.68×102kg,振动频率v=10×104Hz,振 幅A=1.0×101lm.试计算: 组成的系统,按x=0.lcos(8t+-)的规 (1)此氢原子的最大速度 律作振动,式中t以秒(s)计,x以米m)计,求 (2)与此振动相联系的能量 (1)振动的圆频率、周期、振幅、初 解答](1)氢原子的圆频率为 位相 =2r=628×101(rads), (2)振动的速度、加速度的最大值:最大速度为 (3)最大回复力、振动能量、平均动 Vm=O4=6.28×103(ms) 能和平均势能 (2)氢原子的能量为 (4)画出这振动的旋转矢量图,并在 E=mv2=3.32×1020(J) 图上指明t为1,2,10s等各时刻的矢量位 置 解答](1)比较简谐振动的标准方程 10质量为025kg的物体,在弹性 x=Acos(t +o), 力作用下作简谐振动,倔强系数k 可知:圆频率为 25Nm-,如果开始振动时具有势能0.6J O=8兀 和动能02J,求: 周期 (1)振幅 T=2/=1/4=0.25(s), (2)位移多大时,动能恰等于势能? 振幅为 (3)经过平衡位置时的速度
解：建立竖直坐标如图，令微小振动中，两 臂水银面相平时，水银面坐标为 0，水银的 重力势能为 0，则以右臂水银面的坐标为准， 在 振 动中 任 一时 刻， 水银 的 运动 速 度 t y d d = ． 这 时 振 动 中 水 银 的 动 能 为 2 2 1 mv ，水银的势能（看作两水银面相平的 状态下，从右臂移高度为 y 的一段水银柱到 左臂，则有质量为 Sy 的水银升高了高度 y） 为 Sgy 2．因振动中机械能守恒 + = 2 2 2 1 m Sgy 常量 对 t 求导数可得 2 0 d d v + = S gy t m 化 简 2 0 d d 2 2 + S gy = t y m 这就是简谐振动的微分方程． 由此可得振动角频率 m Sg 2 = L g S L 2S g 2 = = 4．8 质量为 10×10-3kg 的小球与轻弹簧 组成的系统，按 2 0.1cos(8 ) 3 x t = + 的规 律作振动，式中 t 以秒(s)计，x 以米(m)计．求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初 位相； （2）振动的速度、加速度的最大值； （3）最大回复力、振动能量、平均动 能和平均势能； （4）画出这振动的旋转矢量图，并在 图上指明 t 为 1，2，10s 等各时刻的矢量位 置． [解答]（1）比较简谐振动的标准方程 x = Acos(ωt + φ)， 可知：圆频率为 ω =8π， 周期 T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)， 振幅为 A = 0.1(m)， 位相为 φ = 2π/3． （2）速度的最大值为 vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s-1 )； 加速度的最大值为 am = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s-2 )． （3）弹簧的倔强系数为 k = mω2， 最大回复力为 f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为 E = kA2 /2 = mω2A 2 /2 = 3.16×10-2 (J)， 平均动能和平均势能为 E E k p = = kA2 /4 = mω2A 2 /4 = 1.58×10-2 (J)． （4）如图 所示，当 t 为 1， 2，10s 等时刻 时，旋转矢量的 位置是相同的． 4．9 一氢原子在分子中的振动可视为 简谐振动．已知氢原子质量 m = 1.68×10-27kg，振动频率 v = 1.0×1014Hz，振 幅 A = 1.0×10-11m．试计算： （1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量． [解答]（1）氢原子的圆频率为 ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s-1 )， 最大速度为 vm = ωA = 6.28×103 (m·s-1 )． （2）氢原子的能量为 1 2 2 E mv = m = 3.32×10-20(J)． 4．10 质量为 0.25kg 的物体，在弹性 力 作 用下 作简 谐 振动 ，倔 强 系数 k = 25N·m-1，如果开始振动时具有势能 0.6J， 和动能 0.2J，求： （1）振幅； （2）位移多大时，动能恰等于势能？ （3）经过平衡位置时的速度． O x t=1,2,10s A