38土质边坡穗定分析一原理·方法·程序 表14.3Lam& Fredlund法中的未知量数目和已知条件统计表 数目 说明 已知条件 ∑Fx=0,每个条柱沿轴的静力平衡 ∑F=0,每个条柱沿轴的静力平衡 ∑F=0,每个条柱沿轴的静力平衡 Mohr- coulomb抗剪强度准则(每个条柱) ∑M2=0,绕轴的整体力矩平衡 A和3的组合,使F最小 共计 4mm+2 N,为条柱底部正应力 ar a, a,为的作用点 Txy,为条柱底部平行于xy平面的剪应力 T,为条柱底部平行于y0平面的剪应力 E,为行界面正应力 G,为行界面沿y轴方向的剪切力 为行界面沿轴方向的剪切力 Q,为列界面正应力 P,为列界面沿x轴方向的剪切力 V,为列界面沿y轴方向的剪切力 Fn,为对应力矩平衡的安全系数 F,为对应静力平衡的安全系数 共计 12mm+2 (2)假定所有的剪力与其相应的正应力存在一定的函数关系,即 E=4/( (147) A2f(2) (148) E A3f(3) (149) P A4f(4) T N=2/(5) (14.11) 式中:f(1)为GE与x坐标的函数关系;f(2)为HE与x坐标的函数关系;f(3)为WQ与
538 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 表 14. 3 Lam & Fredlund 法中的未知量数目和已知条件统计表 数目 说明 nm ∑ = 0 Fx 每个条柱沿x轴的静力平衡 nm ∑ = 0 Fy 每个条柱沿y轴的静力平衡 nm ∑ = 0 Fz 每个条柱沿z轴的静力平衡 nm Mohr−Coulomb抗剪强度准则 每个条柱 1 ∑ = 0 M z 绕z轴的整体力矩平衡 已知条件 1 λ1和λ3的组合 使F最小 共计 4nm+2 nm N, 为条柱底部正应力 3nm ax, ay, az , 为N的作用点 nm Tx,y , 为条柱底部平行于xoy平面的剪应力 nm Ty,z , 为条柱底部平行于yoz平面的剪应力 nm E, 为行界面正应力 nm G, 为行界面沿y轴方向的剪切力 nm H, 为行界面沿z轴方向的剪切力 nm Q, 为列界面正应力 nm P, 为列界面沿x轴方向的剪切力 nm V, 为列界面沿y轴方向的剪切力 1 Fm , 为对应力矩平衡的安全系数 未知量 1 Ff , 为对应静力平衡的安全系数 共计 12nm+2 (2) 假定所有的剪力与其相应的正应力存在一定的函数关系 即 (1) 1 f E G = λ (14.7) (2) 2 f E H = λ (14.8) (3) 3 f Q V = λ (14.9) (4) 4 f Q P = λ (14.10) (5) 5 , f N Ty z = λ (14.11) 式中 f (1) 为 G/E 与 x 坐标的函数关系 f (2) 为 H/E 与 x 坐标的函数关系 f (3) 为 V/Q 与
第14章三维极限平衡分析方法539 二坐标的函数关系;f(4)为PQ与二坐标的函数关系;f(5)为T=/N与z坐标的函数关系 λ,2,42,A,为求解安全系数过程中上述函数关系采用的百分比 经过此项假定,剪应力G,H,V,P和T=都可以根据相应的正应力确定,未知量的数目 相应会减少5mm个,同时又引入了5个新的未知量λ,A2,A3,A4,A,最终未知量的数目变为 (3)Lam& Fredlund根据有限元程序 ANSYS对一些算例的计算结果指出,对一般的边 坡,只有G/E与WQ对安全系数有比较大的影响,所以λ,A4都可以假定为零,这样未知 量的数目减为4mm+4,但还是多出了两个未知量λ1和λ3,可根据以下两个条件确定。 I)如果整体静力平衡条件得到满足,则根据力矩平衡条件得到的安全系数Fm一定等于 根据静力平衡条件得到的安全系数F; 2)A1和应当给出最小的安全系数 至此,未知量的数目最终变为4mm+2个,可以求解安全系数 本方法试图使建立的方程和经假定后剩余的未知物理量的数量匹配,但最终还多出了两 个系数λ1和3,于是他们又进一步假定,从而使得方程可解。在平衡未知物理量和静力方程 数目时,似也有可商榷之处,E,G,H,V,Q,P,V的总数应当为(n-1m或mm1),而不是表143 中的mm。另外,本方法在求解的过程中需要求解大型非线性方程组,而实际工程问题又比 较复杂,故其在实际应用中,收敛性可能存在问题 5. Huang Tsai (2000) Huang&Tsai首先定义了一系列的安全系 数。如图143所示,根据Mohr- Coulomb抗剪 强度准则,每个条柱的安全系数Fx定义为 F,==s4+Mtmn(1412) 抗滑力T由两部分组成,即平行于xoy平 条柱底面 面的rx和平行于y0x平面的rx,分别定义沿 轴的安全系数Fx和沿z轴的安全系数F为 图14.3条柱底部抗滑力示意图 (14.13) 根据图143所示力的平行四边形,可以得到 Far (14.15) sIn a (1416)
第 14 章 三维极限平衡分析方法 539 z 坐标的函数关系 f (4) 为 P/Q 与 z 坐标的函数关系 f (5)为 Ty,z/N 与 z 坐标的函数关系 λ1, λ2, λ3, λ4, λ5为求解安全系数过程中上述函数关系采用的百分比 经过此项假定 剪应力 G, H, V, P 和 Ty,z都可以根据相应的正应力确定 未知量的数目 相应会减少 5nm 个 同时又引入了 5 个新的未知量λ1, λ2, λ3, λ4, λ5 最终未知量的数目变为 4nm+7 (3) Lam & Fredlund 根据有限元程序 ANSYS 对一些算例的计算结果指出 对一般的边 坡 只有 G/E 与 V/Q 对安全系数有比较大的影响 所以λ2, λ4, λ5都可以假定为零 这样未知 量的数目减为 4nm+4 但还是多出了两个未知量λ1和λ3 可根据以下两个条件确定 1) 如果整体静力平衡条件得到满足 则根据力矩平衡条件得到的安全系数 Fm一定等于 根据静力平衡条件得到的安全系数 Ff 2) λ1和λ3应当给出最小的安全系数 至此 未知量的数目最终变为 4nm+2 个 可以求解安全系数 本方法试图使建立的方程和经假定后剩余的未知物理量的数量匹配 但最终还多出了两 个系数λ1和λ3 于是他们又进一步假定 从而使得方程可解 在平衡未知物理量和静力方程 数目时 似也有可商榷之处 E, G, H, V, Q, P, V 的总数应当为(n-1)m 或 n(m-1) 而不是表 14.3 中的 nm 另外 本方法在求解的过程中需要求解大型非线性方程组 而实际工程问题又比 较复杂 故其在实际应用中 收敛性可能存在问题 5. Huang & Tsai (2000) Huang & Tsai 首先定义了一系列的安全系 数 如图 14.3 所示 根据 Mohr−Coulomb 抗剪 强度准则 每个条柱的安全系数 Fs,i定义为 i i i i i i f i s i T c A N T T F , tanφ , + ′ = = (14.12) 抗滑力 Ti由两部分组成 即平行于 xoy 平 面的 Tx,y和平行于 yoz 平面的 Ty,z 分别定义沿 x 轴的安全系数 Fsx和沿 z 轴的安全系数 Fsz为 图 14. 3 条柱底部抗滑力示意图 x y f i sx T T F , , = (14.13) y z f i sz T T F , , = (14.14) 根据图 14.3 所示力的平行四边形 可以得到 i i i sz sx F F α θ α sin sin( − ) = (14.15) i sz i i s i F F θ θ α sin sin( ) , − = (14.16)
540土质边坡穗定分析一原理 程序 F sin e 定义整体安全系数F为 31 244*7 Huang&Tsai假定Fx和F对于每个条柱都是相等的,但每个条柱的Fx由于随G和a 的变化而不同。 Huang&Tsai给出的未知量和已知条件的数目如表144所示。本方法忽略条 柱间沿y轴方向的所有剪力,因本方法只考虑条柱沿y轴方向的静力平衡,故条柱间的其他 作用力E,P,H,Q均未出现在建立的方程中,故也未列入表144。通过表144中建立的方程 即可分别求得安全系数F3,F3F和F 本方法可以看作是二维 Bishop法在三维条件下的扩展,其中一个特点是每个条柱的滑 动方向也作为求解的一部分。但本方法由于未满足沿x轴和二轴方向的整体力的平衡,所以 在建立力矩平衡方程时就与所绕坐标轴的位置有关,这也就要求滑裂面至少有一部分为球 表144 Huang&Tsai法中的未知量和已知条件数目统计表 未知量 已知条件 变量 数目 方程 数目 每个条柱沿轴方向的静力平衡 Mohr-Coulomb抗剪强度准则(每个条柱)n F和a之间的关系,即式(14.15) F4和F之间的关系,即式(14.16) 沿x轴的整体力矩平衡 沿轴的整体力矩平衡 F的定义,即式(14.18) 4n+3 6.冯树仁等(199) 本方法可看作二维简化 Janbu法在三维条件下的扩展。其假定主要包括(参见图142) 1)忽略条柱间沿y轴方向的所有剪力G和V 2)忽略平行于y平面的剪切力T 本方法满足每个条柱沿y轴方向力的平衡,并根据沿x轴方向的整体力的平衡求解安全 系数。本方法也是比较适合滑裂面对称的情况。冯树仁等也指出若滑面为球面,旋转椭圆面 等规则光滑曲面,上述假定比较真实地反映了实际情况。若剪切面形状不规则,上述假定可 能会导致一定的误差。 表145总结了上述各方法中包括的静力假定和满足的平衡条件
540 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 i sx i s i F F θ α sin sin , = (14.17) 定义整体安全系数 Fs为 ∑ ∑ ∑ ∑ + ′ = = i i i i i i f s T c A N T T F i tanφ (14.18) Huang & Tsai 假定 Fsx和 Fsz对于每个条柱都是相等的 但每个条柱的 Fs,i由于随θi和αi 的变化而不同 Huang & Tsai 给出的未知量和已知条件的数目如表 14.4 所示 本方法忽略条 柱间沿 y 轴方向的所有剪力 因本方法只考虑条柱沿 y 轴方向的静力平衡 故条柱间的其他 作用力 E, P, H, Q 均未出现在建立的方程中 故也未列入表 14.4 通过表 14.4 中建立的方程 即可分别求得安全系数 Fs,i, Fsx, Fsz和 Fs 本方法可以看作是二维 Bishop 法在三维条件下的扩展 其中一个特点是每个条柱的滑 动方向也作为求解的一部分 但本方法由于未满足沿 x 轴和 z 轴方向的整体力的平衡 所以 在建立力矩平衡方程时就与所绕坐标轴的位置有关 这也就要求滑裂面至少有一部分为球 形 表 14. 4 Huang & Tsai 法中的未知量和已知条件数目统计表 未知量 已知条件 变量 数目 方程 数目 Ti n 每个条柱沿y轴方向的静力平衡 n N′i n Mohr−Coulomb抗剪强度准则 每个条柱 n αi n Fsx, Fsz和αi之间的关系 即式(14.15) n Fs,i n Fs,i和Fsz之间的关系 即式(14.16) n Fsx 1 沿x轴的整体力矩平衡 1 Fsz 1 沿z轴的整体力矩平衡 1 Fs 1 Fs的定义 即式(14.18) 1 共计 4n+3 共计 4n+3 6. 冯树仁等 (1999) 本方法可看作二维简化 Janbu 法在三维条件下的扩展 其假定主要包括 参见图 14.2 1) 忽略条柱间沿 y 轴方向的所有剪力 G 和 V 2) 忽略平行于 yoz 平面的剪切力 Ty,z 本方法满足每个条柱沿 y 轴方向力的平衡 并根据沿 x 轴方向的整体力的平衡求解安全 系数 本方法也是比较适合滑裂面对称的情况 冯树仁等也指出若滑面为球面 旋转椭圆面 等规则光滑曲面 上述假定比较真实地反映了实际情况 若剪切面形状不规则 上述假定可 能会导致一定的误差 表 14.5 总结了上述各方法中包括的静力假定和满足的平衡条件
表14.5各种三维稳定分析方法包含的假定 剪力假定(2) 个坐标轴方向整体力的平衡(3)绕三个坐标轴整体力矩平衡(4) 作者 条柱底 行界面 列界面 滑裂面形状 面在 x轴1轴轴 轴分量 √对称旋转面 Hungr (1989 条柱间所有作用力简化为一个平行 xOy平面且具有相同倾角的作用力 Chen 合力与条柱底面 平行 √对称 (1982) Fredlund (1993) 冯树仁等 (1999 STAB-3D (本章) √任意 注第栏中“V”表示考虑此作用力,“”表示忽略此作用力,第3、4栏中“V”表示满足此条件,“”表示不满足此条件
表 14. 5 各种三维稳定分析方法包含的假定 条间剪力假定 (2) 三个坐标轴方向整体力的平衡 (3) 绕三个坐标轴整体力矩平衡 (4) 作者 行界面 列界面 (1) 条柱底 面在z 轴分量 y轴 z轴 x轴 y轴 x轴 y轴 z轴 x轴 y轴 z轴 滑裂面形状 (5) Hungr (1989) (Bishop) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ √ ∗ ∗ ∗ √ 对称旋转面 Hungr (1989) (Janbu) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ √ √ ∗ ∗ ∗ ∗ 对称 Zhang Xing (1988) ∗ 条柱间所有作用力简化为一个平行 xoy平面且具有相同倾角的作用力 √ √ ∗ ∗ ∗ √ 对称 Chen & Chameau (1982) ∗ √ ∗ 合力与条柱底面 平行 √ √ ∗ ∗ ∗ √ 对称 Lam & Fredlund (1993) ∗ √ ∗ ∗ √ √ √ √ ∗ ∗ √ 任意 Huang & Tsai (2001) √ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ √ ∗ √ ∗ √ 至少一部分 为球形 冯树仁等 (1999) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ √ √ ∗ ∗ ∗ ∗ 对称 STAB−3D 本章 √ √ ∗ ∗ ∗ √ √ √ ∗ ∗ √ 任意 注 第2栏中 √ 表示考虑此作用力 ∗ 表示忽略此作用力 第3 4栏中 √ 表示满足此条件 ∗ 表示不满足此条件
542土质边坡德定分析一原理·方法·程序 14.2水科院三维极限平衡分析方法的理论框架 2001年,陈祖煜、弥宏亮和汪小刚在总结前人工作基础上,提出了一个理论基础更为 严密、计算步骤相对简单,同时收敛性能较好的三维极限平衡分析方法。本节简要介绍这 方法。 首先,建立如图141所示的坐标系,xoy平面应基本反映主滑方向,但在一般情况下, 并不知道主滑方向。这一方面的不精确处将通过下面讨论的求解底滑面剪力与xoy平面夹 角p得到弥补。 在分析条柱上作用力的力和力矩平衡条件 时,我们引入如下假定(参见图144) 水平方向 (1)作用在行界面(平行于y0平面的界面, 图144中的ABFE和DCGH)的条间力G平行 于xoy平面,其与x轴的倾角为常量,这一假 定相当于二维领域中的 Spencer法 (2)作用在列界面(平行于xoy平面的界 面,图144中的ADHE和BCGF)的作用力Q 为水平方向,与〓轴平行。 (3)作用在底滑面的剪切力T与xoy平面的 夹角为p。规定剪切力的z轴分量为正时p为正 GL/T-pV 假定同一列条柱(=常量)的ρ值相同, 图14.4作用在具有垂直界面的条柱上的力 对不同二坐标的条柱,假定p的一个分布形状。 1)p=K=常量,见图14(a); 2)在xoy平面的左、右两侧假定p的方向相反,并线性分布,见图145(b),假定此分布 形状为f,则有 假定2)中含有一个系数,此值反映左、右侧P的变化的不对称特性,当滑体的几何形 状和物理指标完全对称时,相应假定1)的k应为零,相应假定2)的7应为1。和二维领域一样 我们期待在合理性条件限制下,不同的分布形状假定将不会导致安全系数的重大差别。 κ=常量 图14.5底滑面的剪切力T与xoy平面的夹角的分布形状
542 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 14. 2 水科院三维极限平衡分析方法的理论框架 2001 年 陈祖煜 弥宏亮和汪小刚在总结前人工作基础上 提出了一个理论基础更为 严密 计算步骤相对简单 同时收敛性能较好的三维极限平衡分析方法 本节简要介绍这一 方法 首先 建立如图 14.1 所示的坐标系 xoy 平面应基本反映主滑方向 但在一般情况下 并不知道主滑方向 这一方面的不精确处将通过下面讨论的求解底滑面剪力与 xoy 平面夹 角ρ得到弥补 在分析条柱上作用力的力和力矩平衡条件 时 我们引入如下假定 参见图 14.4 (1) 作用在行界面 平行于yoz平面的界面 图 14.4 中的 ABFE 和 DCGH 的条间力 G 平行 于 xoy 平面 其与 x 轴的倾角β为常量 这一假 定相当于二维领域中的 Spencer 法 (2) 作用在列界面 平行于 xoy 平面的界 面 图 14.4 中的 ADHE 和 BCGF 的作用力 Q 为水平方向 与 z 轴平行 (3) 作用在底滑面的剪切力T与xoy平面的 夹角为ρ 规定剪切力的 z 轴分量为正时ρ为正 值 假定同一列条柱 z=常量 的ρ值相同 图 14. 4 作用在具有垂直界面的条柱上的力 对不同 z 坐标的条柱 假定ρ 的一个分布形状 1) ρ = κ =常量 见图 14.5(a) 2) 在 xoy 平面的左 右两侧假定ρ的方向相反 并线性分布 见图 14.5(b) 假定此分布 形状为 f(z) 则有 (14.19) 0 0 = − ⋅ < = ⋅ ≥ z z z z L R ρ ηκ ρ κ 假定 2)中含有一个系数η 此值反映左 右侧ρ的变化的不对称特性 当滑体的几何形 状和物理指标完全对称时 相应假定 1)的κ应为零 相应假定 2)的η应为 1 和二维领域一样 我们期待在合理性条件限制下 不同的分布形状假定将不会导致安全系数的重大差别 图 14. 5 底滑面的剪切力 T 与 xoy 平面的夹角ρ的分布形状