第六章沉降6.1直径60um的石英颗粒，密度为2600kg/m2，求在常压下，其在20℃的水中和20℃的空气中的沉降速度（已知该条件下，水的密度为998.2kg/m，黏度为1.005×10-3Pa·S；空气的密度为1.205kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa.s）。解：（1）在水中假设颗粒的沉降处于层流区，由式（6.2.6）得：(pp-p)gd,2_(2600-998.2)×9.81x(60×10-)3.13x10-m/su:18μ18×1.005×10Rs -mP_ 60×10*×3.13x10*x98.2= 0.1862检验：1.005×10-3μ位于在层流区，与假设相符，计算正确。（2）在空气中应用K判据法，得K=d,gp(p-p) (60×10~)×9.81×1.205×2600=20.3<36μ?(1.81x10~)所以可判断沉降位于层流区，由斯托克斯公式，可得：(pp-p)gd,2 2600×9.81x(60×10-)*=0.28m/su,18×1.81×10~18μ6.2密度为2650kg/m2的球形颗粒在20℃的空气中自由沉降，计算符合斯托克斯公式的最大颗粒直径和服从牛顿公式的最小颗粒直径（已知空气的密度为1.205kg/m2，黏度为1.81×10-Pas）。解：如果颗粒沉降位于斯托克斯区，则颗粒直径最大时，R=duP=2u(pp-p)gdp所以u,=2-，同时u=18μdpp1
1 ݁ゴ ≝䰡 6.1 Ⳉᕘ 60ȝm ⱘ㣅乫㉦ˈᆚᑺЎ 2600kg/m3ˈ∖ᐌय़ϟˈ݊ 20ćⱘ ∈Ё 20ćⱘぎ⇨Ёⱘ≝䰡䗳ᑺ˄Ꮖⶹ䆹ᴵӊϟˈ∈ⱘᆚᑺЎ 998.2kg/m3ˈ咣 ᑺЎ 1.005×10-3Pa·s˗ぎ⇨ⱘᆚᑺЎ 1.205kg/m3ˈ咣ᑺЎ 1.81×10-5Pa·s˅DŽ 㾷˖˄1˅∈Ё ؛䆒乫㉦ⱘ≝䰡໘Ѣሖ⌕ऎˈ⬅ᓣ˄6.2.6˅ᕫ˖ 2 2 6 3 3 2600 998.2 9.81 60 10 3.13 10 18 18 1.005 10 P P t gd u U U P u uu u u u m/s Ẕ偠˖ 6 3 3 60 10 3.13 10 998.2 0.186 2 1.005 10 P t eP d u R U P uuuu u ԡѢሖ⌕ऎˈϢ؛䆒Ⳍヺˈ䅵ㅫℷ⹂DŽ ˄2˅ぎ⇨Ё ᑨ⫼ K ߸⊩ˈᕫ 3 3 6 2 2 5 60 10 9.81 1.205 2600 20.3 36 1.81 10 P P d g K UU U P u uu u | u ᠔ҹৃ߸ᮁ≝䰡ԡѢሖ⌕ऎˈ⬅ᮃᠬܟᮃ݀ᓣˈৃᕫ˖ 2 2 6 5 2600 9.81 60 10 0.28 18 18 1.81 10 P P t gd u U U P u uu | u u m/s 6.2 ᆚᑺЎ 2650kg/m3 ⱘ⧗ᔶ乫㉦ 20ćⱘぎ⇨Ё㞾⬅≝䰡ˈ䅵ㅫヺড়ᮃᠬ ܟᮃ݀ᓣⱘ᳔乫㉦Ⳉᕘ᳡Ң⠯乓݀ᓣⱘ᳔ᇣ乫㉦Ⳉᕘ˄Ꮖⶹぎ⇨ⱘᆚᑺЎ 1.205kg/m3ˈ咣ᑺЎ 1.81×10-5Pa·s˅DŽ 㾷˖བᵰ乫㉦≝䰡ԡѢᮃᠬܟᮃऎˈ߭乫㉦Ⳉᕘ᳔ᯊˈ 2 P t eP d u R U P ᠔ҹ 2 t P u d P U ˈৠᯊ 2 18 P P t gd u U U P
2x18μ2所以d,代入数值，解得d，=7.22x10~mVp(p,-p)gdpu,P=1000同理，如果颗粒沉降位于牛顿区，则颗粒直径最小时，R(pp-p)gd,所以u,=1000-同时u,=1.74dpppμt?代入数值，解得d，=1.51x10-m所以d,=32.3p(p,-p)6.3粒径为76um的油珠（不挥发，可视为刚性）在20℃的常压空气中自由沉降，恒速阶段测得20s内沉降高度为2.7m。已知20℃时，水的密度为998.2kg/m2，黏度为1.005×10-Pas；空气的密度为1.205kg/m2，黏度为1.81×10-Pa-S。求：（1）油的密度；（2）相同的油珠注入20℃水中，20s内油珠运动的距离。解：（1）油珠在空气中自由沉降的速度为u,=L/s=2.7/20=0.135m/s假设油珠在空气中自由沉降位于层流区，由斯托克斯公式(p, - p)gd,?18μ18×1.81×10~ ×0.135+1.205=7774kg/m18u,0-Pp=gd,29.81×(76×10-6)d,P_76x10×0.135×1.205=0.682检验油珠的雷诺数为Re。1.81×10~5u属于层流区，计算正确。（2）假设油珠在水中自由上浮位于层流区，由斯托克斯公式(p-p,)gd,2 (998.2-777.4)x9.81x(76x10-6)26.92×10-*m/s18×1.005×10-18μd,u,P_ (76x10-)×6.92x10* ×998.2计算油珠的雷诺数Re，0.052<21.005×10-3u2
2 ᠔ҹ 2 3 2 18 p p d g P UU U u ˈҷ᭄ܹؐˈ㾷ᕫ 5 7.22 10 p d u m ৠ⧚ˈབᵰ乫㉦≝䰡ԡѢ⠯乓ऎˈ߭乫㉦Ⳉᕘ᳔ᇣᯊˈ 1000 P t eP d u R U P ᠔ҹ 1000 t P u d P U ˈৠᯊ 1.74 p p t gd u U U U ᠔ҹ 2 32.33 p p d P UU U ˈҷ᭄ܹؐˈ㾷ᕫ 3 1.51 10 p d u m 6.3 ㉦ᕘЎ 76ȝm ⱘ⊍⦴˄ϡথˈৃ㾚Ў߮ᗻ˅ 20ćⱘᐌय़ぎ⇨Ё㞾⬅ ≝䰡ˈᘦ䗳䰊↉⌟ᕫ 20s ݙ≝䰡催ᑺЎ 2.7mDŽᏆⶹ 20ćᯊˈ∈ⱘᆚᑺЎ 998.2kg/m3 ˈ咣ᑺЎ 1.005×10-3Pa·s ˗ぎ⇨ⱘᆚᑺЎ 1.205kg/m3 ˈ咣ᑺЎ 1.81×10-5Pa·sDŽ∖˖ ˄1˅⊍ⱘᆚᑺ˗ ˄2˅Ⳍৠⱘ⊍⦴⊼ܹ 20ć∈Ёˈ20s ݙ⦴⊍䖤ࡼⱘ䎱⾏DŽ 㾷˖˄1˅⊍⦴ぎ⇨Ё㞾⬅≝䰡ⱘ䗳ᑺЎ u L s m s t / 2.7 / 20 0.135 / ؛䆒⊍⦴ぎ⇨Ё㞾⬅≝䰡ԡѢሖ⌕ऎˈ⬅ᮃᠬܟᮃ݀ᓣ P U U 18 2 p p t gd u 3 2 6 5 2 1.205 777.4kg/m 9.81 76 10 18 18 1.81 10 0.135 u u u u u U P U p t p gd u Ẕ偠⊍⦴ⱘ䳋䇎᭄Ў 6 5 76 10 0.135 1.205 Re 0.68 2 1.81 10 p t p d u U P uu u u ሲѢሖ⌕ऎˈ䅵ㅫℷ⹂DŽ ˄2˅؛䆒⊍⦴∈Ё㞾⬅Ϟ⍂ԡѢሖ⌕ऎˈ⬅ᮃᠬܟᮃ݀ᓣ 2 2 6 4 3 998.2 777.4 9.81 76 10 6.92 10 m/s 18 18 1.005 10 p p t gd u U U P u uu u u u 䅵ㅫ⊍⦴ⱘ䳋䇎᭄ 6 4 3 76 10 6.92 10 998.2 Re 0.052 2 1.005 10 p t p d u U P u uuu u
属于层流区，假设正确，所以油珠在水中运动的距离为L=u,t=6.92×10-×20=0.0138m6.4容器中盛有密度为890kg/m3的油，黏度为0.32Pa?S，深度为80cm，如果将密度为2650kg/m3、直径为5mm的小球投入容器中，每隔3s投一个，则：（1）如果油是静止的，则容器中最多有几个小球同时下降？（2）如果油以0.05m/s的速度向上运动，则最多有几个小球同时下降？解：（1）首先求小球在油中的沉降速度，假设沉降位于斯托克斯区，则(pp-p)gdp_ (2650-890)×9.81×(5×10-3)2=7.49×10m/su, =18μ18×0.32d,u,P_ 5×10-×7.49×10-~×890 =1.04<2检验Re，=0.32μ沉降速度计算正确。小球在3s内下降的距离为7.49×10-×3=22.47×10-m(80×10-2)/(22.47x10-)=3.56所以最多有4个小球同时下降。（2）以上所求得的小球的沉降速度是小球与油的相对速度，当油静止时，也就是相对于容器的速度。当油以0.05m/s的速度向上运动，小球与油的相对速度仍然是u,=7.49×10-2m/s，但是小球与容器的相对速度为u=2.49×10-2m/s所以，小球在3s内下降的距离为2.49×10-×3=7.47×10-m(80×10-)/(7.47×10-2)=10.7所以最多有11个小球同时下降。6.5设颗粒的沉降符合斯托克斯定律，颗粒的初速度为零，试推导颗粒的沉降速度与降落时间的关系。现有颗粒密度为1600kg/m，直径为0.18mm的小球，在20℃的水中自由沉降，试求小球加速到沉降速度的99%所需要的时间以及在这段时间内下降的距离（已知水的密度为998.2kg/m3，黏度为1.005×10-3Pa?s）。3
3 ሲѢሖ⌕ऎˈ؛䆒ℷ⹂ˈ᠔ҹ⊍⦴∈Ё䖤ࡼⱘ䎱⾏Ў L ut t 6.92 10 20 0.0138m 4 u u 6.4 ᆍ఼Ёⲯ᳝ᆚᑺЎ 890kg/m3 ⱘ⊍ˈ咣ᑺЎ 0.32Pa·sˈ⏅ᑺЎ 80cmˈབᵰ ᇚᆚᑺЎ 2650kg/m3ǃⳈᕘЎ 5mm ⱘᇣ⧗ᡩܹᆍ఼Ёˈ↣䱨 3s ᡩϔϾˈ߭˖ ˄1˅བᵰ⊍ᰃ䴭ℶⱘˈ߭ᆍ఼Ё᳔᳝Ͼᇣ⧗ৠᯊϟ䰡˛ ˄2˅བᵰ⊍ҹ 0.05m/s ⱘ䗳ᑺϞ䖤ࡼ᳔᳝߭ˈϾᇣ⧗ৠᯊϟ䰡˛ 㾷˖˄1˅佪ܜ∖ᇣ⧗⊍Ёⱘ≝䰡䗳ᑺˈ؛䆒≝䰡ԡѢᮃᠬܟᮃऎˈ߭ 2 2 3 2 2650 890 9.81 5 10 7.49 10 18 18 0.32 P P t gd u U U P u uu u u m/s Ẕ偠 3 2 5 10 7.49 10 890 Re 1.04 2 0.32 p t p d u U P uu uu ≝䰡䗳ᑺ䅵ㅫℷ⹂DŽ ᇣ⧗ 3s ݙϟ䰡ⱘ䎱⾏Ў 2 2 7.49 10 3 22.47 10 u u u m 2 2 80 10 / 22.47 10 3.56 u u ᠔ҹ᳔᳝ 4 Ͼᇣ⧗ৠᯊϟ䰡DŽ ˄2˅ҹϞ᠔∖ᕫⱘᇣ⧗ⱘ≝䰡䗳ᑺᰃᇣ⧗Ϣ⊍ⱘⳌᇍ䗳ᑺˈᔧ⊍䴭ℶᯊˈ гህᰃⳌᇍѢᆍ఼ⱘ䗳ᑺDŽᔧ⊍ҹ 0.05m/s ⱘ䗳ᑺϞ䖤ࡼˈᇣ⧗Ϣ⊍ⱘⳌᇍ䗳 ᑺҡ✊ᰃ 2 7.49 10 t u u m/sˈԚᰃᇣ⧗Ϣᆍ఼ⱘⳌᇍ䗳ᑺЎ 2 u ' 2.49 10 u m/s ᠔ҹˈᇣ⧗ 3s ݙϟ䰡ⱘ䎱⾏Ў 2 2 2.49 10 3 7.47 10 u u u m 2 2 80 10 / 7.47 10 10.7 u u ᠔ҹ᳔᳝ 11 Ͼᇣ⧗ৠᯊϟ䰡DŽ 6.5 䆒乫㉦ⱘ≝䰡ヺড়ᮃᠬܟᮃᅮᕟˈ乫㉦ⱘ߱䗳ᑺЎ䳊ˈ䆩ᇐ乫㉦ⱘ≝ 䰡䗳ᑺϢ䰡㨑ᯊ䯈ⱘ݇㋏DŽ⦄᳝乫㉦ᆚᑺЎ 1600kg/m3ˈⳈᕘЎ 0.18mm ⱘᇣ⧗ˈ 20ćⱘ∈Ё㞾⬅≝䰡ˈ䆩∖ᇣ⧗ࡴ䗳ࠄ≝䰡䗳ᑺⱘ 99%᠔䳔㽕ⱘᯊ䯈ҹঞ 䖭↉ᯊ䯈ݙϟ䰡ⱘ䎱⾏˄Ꮖⶹ∈ⱘᆚᑺЎ 998.2kg/m3ˈ咣ᑺЎ 1.005×10-3Pa·s˅DŽ
解：（1）对颗粒在水中的运动做受力分析元元1.3F=F-F,-F,ppg-3元udupPpg66F(p,-p)gdu_F18uu所以，dtd,'ppmd.0Ppdu对上式积分得，(p,-p)g18μud,ppPp18ud,p,dpPp得t：其中U为终端沉降速度，或u=18μu,(p,- p)gd,2_ (1600 998.2)9.81×(0.18×10-3)2=1.06×10-m/su,18u18×1.005×10-ud,_1.06×10×0.1810998.2=1.92，符合题意，检验Re1.005×10-3A所以小球加速到沉降速度99%的时间为(0.18×10-3)*×1600d,ppuIn(1-0.99)=1.32x10-2s18×1.005×10-318μu,sudLdpPp(2）由u=dt所以L-18u18x1.005x10~31.32x10~(0.18×10-3×1600(0.18x10)x1600L=1.06×10-×1.32×10-2+1.1x10-m18×1.005×10-6.6落球黏度计是由一个钢球和一个玻璃简组成，将被测液体装入玻璃筒，然后记录下钢球落下一定距离所需要的时间，即可以计算出液体黏度。现在已知钢球直径为10mm，密度为7900kg/m2，待测某液体的密度为1300kg/m2，钢球在液体中下落200mm，所用的时间为9.02s，试求该液体的黏度。4
4 㾷˖˄1˅ᇍ乫㉦∈Ёⱘ䖤خࡼফߚᵤ 3 3 3 6 6 F F F F d g d g du g b D pp p p S S U U SP ᠔ҹˈ 2 3 ( ) 18 6 p p pp p p du F F u g dt m d d U U P S U U U ᇍϞᓣ⿃ߚᕫˈ 0 0 2 ( ) 18 t t u p p pp du dt g u d U U P U U ³ ³ ᕫ 2 ln 1 18 p p t d u t u U P § · ¨ ¸ © ¹ 2 18 1 p p t d t uu e P U § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ ˈ݊Ё UtЎ㒜ッ≝䰡䗳ᑺˈ 2 2 3 2 3 1600 998.2 9.81 0.18 10 1.06 10 18 18 1.005 10 p p t gd u U U P uu u u u u m/s Ẕ偠 2 3 3 1.06 10 0.18 10 998.2 Re 1.9 2 1.005 10 t p p u d U P uuuu u ˈヺড়乬ᛣˈ ᠔ҹᇣ⧗ࡴ䗳ࠄ≝䰡䗳ᑺ 99%ⱘᯊ䯈Ў 2 2 3 2 3 0.18 10 1600 ln 1 ln 1 0.99 1.32 10 18 18 1.005 10 p p t d u t u U P § · u u u ¨ ¸ u u © ¹ s ˄2˅⬅ 2 18 1 p p t d t dL u ue dt P U § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ ᠔ҹ 2 2 18 18 2 0 1 1 18 pp pp t t t d d p p t t d L u e dt u t e P P U U U P §· §· ª º ¨¸ ¨¸ « » ©¹ ©¹ ¬ ¼ ³ 3 2 2 3 18 1.005 10 2 3 1.32 10 0.18 10 1600 22 4 3 0.18 10 1600 1.06 10 1.32 10 1 1.1 10 m 18 1.005 10 L e u u uu u u ª º § · « » u u ¨ ¸ u u u u u u ¬ ¼ © ¹ 6.6 㨑⧗咣ᑺ䅵ᰃ⬅ϔϾ䩶⧗ϔϾ⦏⩗ㄦ㒘៤ˈᇚ㹿⌟⎆ԧ㺙ܹ⦏⩗ㄦˈ ✊ৢ䆄ᔩϟ䩶⧗㨑ϟϔᅮ䎱⾏᠔䳔㽕ⱘᯊ䯈ˈेৃҹ䅵ㅫߎԧ⎆咣ᑺDŽ⦄Ꮖⶹ 䩶⧗ⳈᕘЎ 10mmˈᆚᑺЎ 7900 kg/m3ˈᕙ⌟ᶤ⎆ԧⱘᆚᑺЎ 1300 kg/m3ˈ䩶⧗ ⎆ԧЁϟ㨑 200mmˈ᠔⫼ⱘᯊ䯈Ў 9.02sˈ䆩∖䆹⎆ԧⱘ咣ᑺDŽ
解：钢球在液体中的沉降速度为u,=L/s=200x10-3/9.02=0.022m/s假设钢球的沉降符合斯托克斯公式，则(p,-p)gd,_ (7900-1300)×9.81x(10×10-)16.35Pa's418u,18×0.022ud,P_0.022×10×10x1300=0.017<2，假设正确。检验：Re16.35u6.7降尘室是从气体中除去固体颗粒的重力沉降设备，气体通过降尘室具有一定的停留时间，若在这个时间内颗粒沉到室底，就可以从气体中去除，如下图所示。现用降尘室分离气体中的粉尘（密度为4500kg/m3），操作条件是：气体体积流量为6m/s，密度为0.6kg/m，黏度为3.0×10-Pa-s，降尘室高2m，宽2m，长5m。求能被完全去除的最小尘粒的直径。含尘气体净化气体ut降尘室图6-1习题6.7图示解：设降尘室长为1，宽为b，高为h，则颗粒的停留时间为t=l/u,，沉降时间为1=h/u,，当1#≥1坑时，颗粒可以从气体中完全去除，停=1沉对应的是能够去除的最小颗粒，即1/u,=h/u,hu,_hqv_=6因为u=5=0.6m/s所以u,hbhblb5×2假设沉降在层流区，应用斯托克斯公式，得18×3×10~×0.618μu,8.57×10-m=85.7μmdpmin9.81x(4500-0.6)Vg(p,-p)1检验雷诺数5
5 㾷˖䩶⧗⎆ԧЁⱘ≝䰡䗳ᑺЎ 3 / 200 10 / 9.02 0.022 t u Ls u m/s ؛䆒䩶⧗ⱘ≝䰡ヺড়ᮃᠬܟᮃ݀ᓣˈ߭ 2 2 3 7900 1300 9.81 10 10 16.35 18 18 0.022 p p t gd u U U P u uu u Pa·s Ẕ偠˖ 3 0.022 10 10 1300 Re 0.017 2 16.35 t p p u d U P uu u ˈ؛䆒ℷ⹂DŽ 6.7 䰡ᇬᅸᰃҢ⇨ԧЁ䰸এԧ乫㉦ⱘ䞡≝䰡䆒ˈ⇨ԧ䗮䖛䰡ᇬᅸ᳝ ϔᅮⱘذᯊ⬭䯈ˈ㢹䖭Ͼᯊ䯈ݙ乫㉦≝ࠄᅸᑩˈህৃҹҢ⇨ԧЁএ䰸ˈབϟ ᠔⼎DŽ⦄⫼䰡ᇬᅸߚԧ⇨行Ёⱘ㉝ᇬ˄ᆚᑺЎ 4500kg/m3˅ˈ᪡ᴵӊᰃ˖⇨ԧ ԧ⿃⌕䞣Ў 6m3 /sˈᆚᑺЎ 0.6kg/m3ˈ咣ᑺЎ 3.0×10-5Pa·sˈ䰡ᇬᅸ催 2mˈᆑ 2mˈ 䭓 5mDŽ∖㛑㹿ᅠܼএ䰸ⱘ᳔ᇣᇬ㉦ⱘⳈᕘDŽ 6-1 д乬 6.7 ⼎ 㾷˖䆒䰡ᇬᅸ䭓Ў lˈᆑЎ bˈ催Ў hˈ߭乫㉦ⱘذᯊ⬭䯈Ў / i t lu ذ≝ˈ 䰡 ᯊ䯈Ў / t t hu ≝ ˈᔧt t ذ t ≝ ᯊˈ乫㉦ৃҹҢ⇨ԧЁᅠܼএ䰸ˈ t t ذ ≝ ᇍᑨⱘᰃ 㛑এ䰸ⱘ᳔ᇣ乫㉦ˈे / / i t lu hu Ў V i q u hb ˈ᠔ҹ 6 0.6 5 2 i VV t hu hq q u l lhb lb u m/s ؛䆒≝䰡ሖ⌕ऎˈᑨ⫼ᮃᠬܟᮃ݀ᓣˈᕫ 5 5 min 18 18 3 10 0.6 8.57 10 9.81 4500 0.6 t p p u d g P U U uu u u u m 85.7 ȝm Ẕ偠䳋䇎᭄ ԧ⇨࣪ޔ ԧ⇨ᇬ ui ut 䰡ᇬᅸ