二项分布的分布形态 若X~B(mnp),则 P{X=k)_1n+1-k X=k-1 kq 由此可知,二项分布的分布 PiX=k 先是随着k的增大而增大,达到其最大值后再随着 k的增大而减少.这个使得 PiX=k 达到其最大值的k称为该二项分布的最可能次数
二项分布的分布形态 由此可知，二项分布的分布 { } { } ( ) ( ) q p kq n p k P X k P X k = − + − = + = − = 1 1 1 1 P{ } X = k 先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少．这个使得 P{ } X = k 达到其最大值的 k 0称为该二项分布的最可能次数 。 若X~B(n,p)，则
可以证明: 如果n+)不是整数,则k1(m+1)l; 如果(n+1)p是整数,则k=(n+1)p, 或k=(m+1)p1
可以证明： 如果(n+1)p不是整数，则k0=[(n+1)p]; 如果(n+1)p是整数，则k0= (n+1)p， 或k0=(n+1)p-1
例:某人射击的命中率为0.02, 他独立射击400次,试求其命中次数 不少于2的概率。 解设X表示400次独立射击中命中的次数, 则X~B(400,0.02),故 PX2}=1-P{X=0}-P{X=1 =1-0.9840-(400)(0.02)(0.9839)= 泊松定理(p40):设随机变量XB(n,p),(n =1,2,…,),且n很大,p很小,记λ=np,则 P{X=l}≈e,k=0.1,2
例: 某人射击的命中率为0.02， 他独立射击400次，试求其命中次数 不少于2的概率。 泊松定理(p40): 设随机变量Xn~B(n, p), (n ＝1, 2,…), 且n很大，p很小，记λ=np，则 , 0,1,2,... ! { = } ≈ = − e k k P X k k λ λ 解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则X～B(400, 0.02)，故 P{X≥2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…
证明: np=n n-k n-k
证明： n 令 ： n p = λ ( ) ( )( ) ( ) 1 12 1 1 n k k k n k nk n n Cp p nn n n k k nn λ λ − − − − − −+ = − " ！
k k-1, 对于固定的k,有 由imxn= limp=2得imx=xk n→00 n→00 n→00 n n-k m m e n→ n→00
n k n k n n n k k n n − − − − − = − λ λ 1 1 1 2 1 1 1 ! " 对于固定的 k，有 k k n n n n n n λ = = np = λ λ λ →∞ →∞ →∞ 由lim lim 得 lim n n n n k n n n n k n n n n λ λ λ λ ⋅ − − − →∞ − →∞ = − lim 1− lim 1 −λ = e