当x>N时恒有a<;当x>N2时恒有<; 取N=max{N1,N2,当x>N时,恒有 88 ±β≤+β<+ 22 ±β→>0(x→>0) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如,n→∞时,是无穷小, 但n个之和为不是无穷小
; 2 1 当 x N 时恒有 ; 2 2 当 x N 时恒有 max{ , }, 取 N = N1 N2 当 x N时,恒有 + 2 2 + = , → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证设函数u在U(x0,81内有界, 则丑M>0,81>0,使得当0<x-x<8时 恒有u≤M 又设是当x→>x时的无穷小, ve>0,382>0,使得当0<x-x0<82时 恒有a<M
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x − 恒有 则 使得当 时 , 又设是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x − 恒 有 使得当 时
取8=min{81,82},则当0<x-x0<6时,恒有 u·ol=·a<M M .当x→>x时,·a为无穷小 推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 例如,当x→0时,xsin-,x2 arctan都是无穷小
min{ , }, 1 2 取 = 则当0 x − x0 时,恒有 u = u M M = , , . 当x → x0时 u 为无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小
二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么 小),总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0<x-x0<8(或x>X)的一切x,所对应的函数 值∫(x)都满足不等式f(x)>M 则称函数∫(x)当x→x0(或x-0)时为无穷小 记作limf(x)=∞(或lm∫(x)=∞) x→X
二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定 义 2 如果对于任意给定的正数M (不论它多么 小),总存在正数(或正数X ),使得对于适合不等式 − 0 0 x x (或 x X )的一切x ,所对应的函数 值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M , 则称函数 f ( x)当 0 x → x (或x → )时为无穷小, 记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 或
特殊情形:正无穷大,负无穷大 imf(x)=+∞(或lim∫(x)=-0) (x→>0) (x→>∞) 注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆; 2切勿将lmf(x)=0∞认为极限存在 x→x 3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 = + = − → → → → f x f x x x x x x x 或 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 2. lim ( ) . 0 切勿将 = 认为极限存在 → f x x x 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大