自动下载此图片 帕拉哈(K. Prachar)等的书,在讲述维诺格拉朵夫方法时,都是按照华罗庚 的方法来阐述的。 华林问题及有关的问题 1770年,华林猜想,对于整数k≥2,存在仅依赖于k的整数s(k),使每 一个正整数皆可表为s个非负数整数的k次方幂之和,即 (3)N=x+…+x2,N>0,x.s≥0 华林的猜想是希尔伯特(D. Hilbert)于1900年证明的,但由希尔伯特方法 确定的s(k)是非常大的。1920年代,哈代与李特伍德发展了堆垒数论中一个 强有力的方法—圆法这一方法将给出华林问题精密得多的结果。命g(k)表 示最小的s使(3)成立,又命G(k)表示最小的s使(3)对于充分大的N成立。 则g(k)比G)大的多,所以G(k)的上界估计更为重要。命r:A(N)表示(3)式 的解答个数,则哈代与李特伍德证明了
自动下载此图片 此处(N)称为奇异级数,他有一个独立于N的正下界。由此立即推出 G(k)≤(k-2)24+5,华罗庚在1938年将哈代—李特伍德的结果改进为 (4)G(k)≤22+1 同时,他也证明了当s≥2+1时,r:(N)的渐进公式成立。华罗庚的这项工作 的核心在于证明下面所谓的华氏不等式。 (5) da=olp 当k较小时,由华氏不等式得到的华林问题结果,直到近年才由沃恩(R.C Vaughan)与希斯一仆朗(D.R. Heath-Brown)作了一点改进,他们将r(N)
自动下载此图片 渐进公式成立的条件分别改进为s≥2与s≥2+1,另外,不用圆法,基于 史尼尔曼(L.G. Schniselman)关于自然数贯的密率方法,林尼克(YiuV. Linnik)给了希尔伯特定理一个初等新证明。达文坡特( H. Davenport)评述 这项工作时写道:“这个证明的想法无疑受到哈代和李特伍德方法某些性质 的启发,特别是华氏不等式。 在1930s,很多数学家研究了将x换成一个k次多项式的华林问题的推 。这种推广的主要困难是由于华罗庚的估计(1)而得到克服,他得到希 伯特定理一个非常一般的表述。命f(x为1≤i≤s)为s个首项系数为正的k次 整值多项式。华罗庚在1940年完成了将方程(3)的主要结果推广至 N=f(x1)+…+f(x:)